通过优化柔性椭球体对欠驱动冗余度机械臂的自重构#中英文翻译#外文翻译匹配

1 通过优化柔性椭球体对欠驱动冗余度机械臂的自重构 何广平 北方工业大学机电工程学院 北京 100041 陆震 北京航空航天大学自动化学院 北京 100083 摘要 ：根据优化技术 ， 欠驱动冗余度机械臂的多模型特征、柔性操作的测量、自重构的控制方法 已被调查研究。分析了空间关节的结构变形和欠驱动冗余度机械臂柔性操作之间的关系， 处于锁定模式下欠驱动冗余度机械臂 的一种新型柔性椭球体操作的测量 被提出， 能应用于获得自重构控制的最理想结构。 因此， 基于简谐振动 随时间变化非线性控制方法 认为能完成其自重构 。被动关节三连杆 欠驱动机械臂等仿真例子在一些调查方面起重要作用。 关键词 ：欠驱动机械臂 自重构 优化 非线性控制 0 前言 欠驱动装置和 机械臂能应用于许多领域，例如太空技术、合作机械人、变形装置。在太空领域里，由于没有失去有用功能或 了解系统的自重构 。 当驱动构件出现一些问题时 ， 基于欠驱动技术的误差出现是不可避免的。欠驱动机械臂也能被设计为合作机器人，也就是说COBOT。 COBOT 的驱动不是作驱动装置而是提供动力学非函数约束 。 COBOT 需 要操作人员提供外力才能完成准确的应用，例如在生物工程学上外科手术和半导体制造等等。在机械领域机械变形有多种模态，并能从一种模态向另一种模态转变。 引用不同模态之间的改变可能导致连杆数目的变化或 机械变形的约束限制。很显然，欠驱动控制、冗余度驱动和柔性装置是不可避免的。因此，欠驱动系统逐渐的成为研究领域一个具有吸引力的话题。 从力学角度 看， 研究欠驱动机械臂系统是不可能控制的。被动关节的运动是必须靠与动力装置连接。 Jain等表明动力装置是欠驱动机械臂的非完整性约束 是二阶的 。 在机械实际上，与非完整性约束广泛被研究比较 也有 100多年历史，然而， 关于这种系统的运动规划和控制技术的研究只是近 10的事情 ， 研究多针对轮式移动机器人、跳跃机器人、航空航天机器人等一阶非完整性约束系统。 关于欠驱动机械臂的研究观点， Anthoney等研究运动的稳定性，Arai 等提出随时间变化方法完成系统的位置控制。 Lee 等为欠驱动 机器人提供了多种非线性控制方法。 欠驱动研究的这些方法已 从本质上 揭示了它是非线性的，并且是随时间变化的、抽象的。 事实上， Brockett 已证实 这并没有消除阻碍和稳定给定结构系统的静电状况反馈。很显然，非线性系统的特征在组合 空间多自由度是可以控制的。所以，非线性系统的控制研究受到更多的关注。 欠驱动 机构 和机械臂 是对传统机械设计基本原理相违背的，传动机械设计基本原理认为，原动件的数目要与自由度的数目相等时，机构才具有确定的运动。 欠驱动机械臂首先被提出并不是由于它的价值优点，但一些研究表明，欠驱动机构的故意设计也是很有价值的。例如， Rivhter 等 获得由柔性欠驱动机械臂多维受力的测量。 Nakamura 等设计出了轮式滚动接触的非完整机器人和平面四连杆二驱动机械臂的控制 。 He 等针对欠驱动冗余度机械臂提出一种自由碰撞运动规 划演算法。从以上讨论的结果来看，我们可推断出在研究欠驱动时，可能遇到一些未被发现的新 问题 ， 如 所提到的技术和理论的形成。因此， 我们改善这装置具有很大的潜能性。 这篇论文中，我们对欠驱动机械臂的静态特征和自重构控制方法进行探索与研究。 1 柔性椭球体 模型 机械硬度是机械臂的一个重要要素，它是用来抵抗受力和阻碍力的能力。对于开式链接机械臂而言，链接部分是非常重要的部分。所以末端位姿的变形将会对 连杆带 2 来不良影响。转矩可以近似满足如下方程： iii KM i=1， 2， ， n （ 1） 式中 iM 关节 i 的转矩 i 关节 i 的变形量 ik 关节 i 的硬度系数 如果忽略关节 i 的重力和摩擦力不计，假设机械臂末端位姿力矢 mRF ，则转矩方程又可以写成： FJM T （ 2） 式中 nRM 关节的转矩 nmRJ 雅可比矩阵 众所周知，关节有会有变形，机械臂末端位姿有如下关系式： Jx （ 3） 式中 x 机械臂末端位姿矢量 关节的位姿矢量 将（ 1）式写成矩阵的形式，结合（ 2）、（ 3）式，经简单的计算， X 和 F 之间的关系如下： F)JJk(X T1 （ 4） 式中 如果定义 T1 JJkC （ 6） （ 6）式是末端位姿的柔性矩阵。 然而，在太空工作 1c 强度矩阵一致。柔性矩阵 C可以用来测量机械臂的静态特征。矩阵 C 也有雅可比函数功能。 因此， 它 在组合和构造要素较大范围内是可改变的，在稳定条件下机械臂的可变特征能用于完成一些应该的复杂的操作。如装配、抛光、维修等等。由（ 5）、（ 6）式可知矩阵 C 是对称性矩阵。 如果定义 )CCdet( T （ 7） 3 对矩阵 C 进行微分，方程式（ 7）我们又可以得到 m1i i （ 8） 式中 i ， i=1,2,3,， m 应用了矩阵 C 的单一性。因此， TCC 是其对称矩阵，有如下关系： 1x)CC(x TT （ 9） 式（ 9）被描述为椭球体 曲线方程， 当椭球体的主要曲线与矩阵 C 的单一值相等时，这椭球体也被认为是一般柔性椭球体 GFE。 由于直观原因， 图一中 平面 2 连杆机械臂的的连杆长 2,1i,m0.1L i ， GFE 如图（ 2）和（ 3）所示。 图一 平面 2R 杆机械臂 图 2 平面 2R 杆全驱动机械臂的 GFE 模型 4 图 3 平面 2R 杆全驱动机械臂的 GFE 模型 这些图示表明测量是需要依赖组合和机构要素。然而全驱动机械臂 并不能 改变其机构要素。因此， 由于不同的构件 （图 2），而不是结构要素（从图 2 改变到图 3） ， GFE 模型是可以改变的 。当被动关节 被引进作为 全驱动机械臂时，为了方便使用，假设这些 被动关节具有制动装置和位置控制，以便被动关节能在自由模式和锁定模式下进行制动。然而在运动学上，欠驱动机械臂揭示了一些冗余度连杆问题，并没有表明在输入方式下的自运动不如工作状态下的自 运 动。另一方面，被动关节的制动模式能使欠驱动机械臂具有重构能力 ,系统具有敏捷性而使其能适合不同的工作。 2. 柔性矩阵 假设在欠驱动冗余度机械臂中 s 连杆为被动关节 ，被动关节装有制动装置，当被动关节处于自由状态时，其速度运动方程可以写成为： ppaa JJx （ 10） 式中 mRX 机械臂末端位姿矢量 nmRJ 驱动机械臂的雅可比矩阵 3pn R,R 分别为驱动和被动机械臂的广义坐标矢量 当机械臂中被动关节处于锁定状态时，系统运动方程可变为 qJx i （ 11） 式中 mRX 机械臂末端位姿矢量 nmi RJ 锁定状态下被动关节机械臂的雅可比矩阵 nRq 驱动关节的机械臂广义坐标 很显然，方程（ 11）和（ 3）是同一形式，方程（ 10）和（ 11）表明欠驱动机械臂在运动学上具有不同的模式。换句话说， 在运动学上 系统 具有多中模式特征。 图（ 4）平面 3R 连 5 杆机械臂就是很好的例子。机械臂的第二关节是被动关节，其他的都是驱动关节。当被动关节处于自由状态时， 3R 被选做为广义坐标变量。如果被动关节处于自锁状态，机械臂的 维数将变为 2 维，这广义坐标变量为 2Rq ，显然由于 0q ，但雅可比矩阵有如下关系： 图 4 平面 3R 杆机械臂 由于欠驱动机械臂存在不同的运动模式，一种可以用来优化和机械臂的机构组合及自重构以使用不同的工作。预测如何完成基于欠驱动下的全驱动机械臂操作是不可避免的问题。不象全驱动冗余度机械臂那样，欠驱动冗余度机械臂并不能改善其操作工作，执行机械臂任务类似于输入空间的体积比工作空间少的缘故。有一条可行的途径就是在不同的时间分解 机构的工作。例如， 当 机械臂 工作处于驱动模式下，机构组合能进行机构自重构。然而当机械臂工作在全驱动模式下，其功能之一就是能控制机构的运动。事实上， 处于欠驱动工作模式下的机械臂能辩别机构的运动，如位置控制或间断点对应点运动。但是这并不是此论文所讨论的重点。我们应关注的是欠驱动冗余度机械臂的静态特征和机构自重构控制方法。 欠驱动机械臂两中模式的运动方程可以被多种方法描述。但是在复杂的机械装置中多连杆机械臂的机构要素定义还存在一定的困难。为了解决这些问题，我们将进行分析欠驱动冗余度机械臂的两种模式间的关系。 假定一种特殊的机械臂组合机构，假设有 mn ，处于装置的两种模式下的末端位姿表达式是一致的，可以表示为 ppaai JJqJ （ 12） 假设 0JJaaaa （ 13） （ 13）式表示微运动发生在关节部分而不是发生在末端位姿处，根据（ 13）式，方程式又可以写成 aapp JJ （ 14） 把（ 14）代入（ 12）式中，我们可以得到 6 aappi J)JJI(qJ （ 15） （ 15）式描述欠驱动机械臂两种模式下的不同一机构。因此，两种广义坐标也是相等的。设q，又可以得到 appi J)JJI(J （ 16） （ 16）式表示两种模式下的雅可比矩阵间的关系。此式能预测出全驱动模式的运动。把（ 16）式代入方程式（ 5），可以得到全驱动模式下的欠驱动矩阵方程 Ti1i JkJC （ 17） 根据方程（ 7）， GFE 欠驱动机械臂也能定义，方程（ 17）表示在机械装置改装 后的系统静态特征。其一，我们以通过 3R 杆机械臂模拟（图 4）。作为非冗余度机械臂而言，如果我们假定处于工作状态下的一点，它不仅与柔性椭球体 模型有关。相反有许多与处于冗余度机械臂 工 作 状 态 下 的 这 一 点 相 关 。 假 设 3R 杆 平 面 机 械 臂 三 杆 长 分 别 为mm0.1Lmm5.0LL 321 和，机构的起始角度为 30,60,60 321 ，GFE 其他末端位姿起始位置如图 5 所示。 显然，根据处于工作状态下的这种状况，可知存在许多这样的关节组合。这些机构都是与 GFE 相关的。但是一欠驱动冗余度机械臂存在机构自重构的能力。一般而言，我们期望的 GFE 在不同的基本组合中有类似的运动。换句话说，椭球体模型类似于一个球。如图 5所示，在 3 杆中第一杆 运动 状态表现最佳。 7 3 非线性控制 我们通过分析系统的动态特性，为了寻求一种能有效地控制欠驱动机械臂运动。欠驱动机械臂动态方程可以写成 McII apapaaa （ 18） 0cIIppppaTap （ 19） 式中 为质量惯性矩， 为中心吸引力和摩擦转矩矢量。 M 是驱动关节转矩矢量。是驱动关节广义坐标矢量。p是被动关节广义坐标矢量 。 Jain 等证实方程（ 19）是二阶非线性约束方程。通过自重构，在工作状态下给定位置，欠驱动机械臂具有改善装置运动的能力。由于系统输入空间维数少于空间关节的维数，被动关节 的位置控制只能通过动态藕合来实现。基于 Brockett 理论，给定机构的系统并不是光滑的，稳定性完全符合静平衡反馈定律。因此，非线性控制的结果表明系统是非线性的、随时间变化的、离散的。非线性控制方法还有一种就是在 Ref（ 17）中所提到的全驱动关节的 简 谐 振动。这种方法的本质就是当驱动关 节运动到一个周期时被动关节将偏离平衡位置 （图 6） 。 驱动关节的简 谐 振动方程有 tcosAa （ 20） tsinA （ 21） tcosA 2a （ 22） 式中 A 简谐振动的振幅 8 W 简谐振动的角频率 如果我们将式中（ 22）变换一下，代入（ 19）式得到 2Tapp1ppp AIcI （ 23） 通常，角频率 是一个较大的数，因此，简 谐 振动周期 T=2是一个非常小的数。TPPPP ICI ,1 被作为一个周期的约束，（ 23）式有可以写成 22Tapp1pp TAIcI21p （ 24） （ 24）式表示一个周期后有一点发生偏离。显然，构成整体的价值在于简 谐 振动的振幅和角频率，者就是简 谐 振动中的驱动关节能控制被动关 节的原因之一。 4 自重构控制律 自重构需要稳定的控制技术。间谐振动非线性控制方法在第 3 部分已经简单地介绍了。下面我们将设计一个新的控制方法来 执行机构的自重构运动。这种方法将用于优化在工作状态下给定位置时的 广义 柔性椭球体 模型 。 假设d引用于一个期望的组合，此组合源于一些优化方法， 是驱动机械臂的驱动位 9 置角。 设 de （ 25） 式中 e 关节位置 矢量 误差 对方程（ 24）进行微分有： padadapaee （ 26） 取滑动模态为 a1aa ekeS （ 27） 集中律为 a3a2a Sk)Ss g n (kS （ 28） 式中 0,0,0321 KKK，且 sgn（）作为符号函数，有如下式子： 如果 矢量S有 Tn1 SSS ，可以得到下面式子： （ 27）式表示驱动关节的运动满足莱布罗定律。假设驱动关节输入与（ 20）、（ 21）有关，当0K4K,0K p2dd 时，又可以得到如下关系式 将（ 26）式中 2 杆的 2 倍偏离量代入（ 30）式，可以得到 设驱动关节输入为 将（ 32）和（ 31）式代入（ 19）式，有如下关系 振动振幅为 虽被动关节并没有达到期望的位置，驱动关节输入控制可用（ 32）式来描述，另一方面，被动关节处于期望的位置，输入控制方式有以下方程。从（ 27）式中可知偏离时间为 结合（ 28）和（ 35）式，控制律为 10 显然，这种控制方法是非线性的、随时间变化的、且遵循 Brockett 理论。有以上关系重新整理振幅，控制律为 当 ep=0 时满足 当 ep 0 时满足 5 仿真研究 在这部分中，选平面 3R 杆机械臂作为仿真模型，如图 4 所示。设第二杆为机械臂的被动关节，其他两杆为驱动关节 。如果初始位置为 30,60,60321 ，为了改善执行广义的柔性椭球体模型，更好的位置为 15.81,89.17,85.24321 ，这在第三部分已给出。我们认为后面一种情况是我们期望的结果。根据第四部分所提供的控制方法，模拟仿真结果如图 7 所示。 11 图 7 3R 杆欠驱动机械臂的自重构运动 1.连杆 1 2.连杆 2 3.连杆 3 图 7（ a）表示随时间变化的关节位置误差；图 7（ b）表示与时间有关的关节运动轨道轨迹；图 7（ c）表示在自重构控制中机械臂机构位置的改变；图 7（ d）表 示关节速度与位置间关系图。显然，机械臂已满足期望的机构完成自重构控制。 6 结束语 欠驱动技术是一个非常关键性的问题，它不仅能够产生空间机器人系统的线性误差，而 12 且能操控合作机器人和机器装置。欠驱动机械臂有实现机械自重构的能力。新的关仪广义柔性椭球体欠驱动冗余度制动式机械臂的测量被提出。这测量由于 优化系统的稳定性。简谐振动的非线性控制方法能执行自重构运动。有 3 连杆欠驱动机械臂的仿真结果证明测量和振幅的控制是有效的。 References 1 Nakamura Y, Mukerherjee R Nonholinomic path planning of space robotics via a bi-directional approach IEEE Transactions on Robotics and Automation， 1991，7(4)： 500 514 2 Moore C A， Peshkin M A， Colate J E Design of 3R cobot using continuous variable transmissions IEEE 1nternationa1 Conference on Robotics and Automation。1999： 3249 3254 3 Dai J S Zhang Q x Metamorphic mechanisms and their configuration models Chinese J of Meehanica1 Engineering， 2000， 13(3)： 212 218 4 Arai H Yanie K Thchi S Dynamic contro1 of a manipulator with passive joints in operational space IEEE Transactions on Robotics and Automation， 1993， 9(1)： 85 93 5 Arai H Tachi S Position contro1 of a manipulator with passive joints using dynamic coupling IEEE Transactions on Robotics and Automation， 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