高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章归纳整合课件 新人教A版选修21.ppt

知能整合提升 1 类比平面向量 理解空间向量 1 空间向量是平面向量的推广 所涉及的内容 如模 零向量 单位向量 自由向量 相等向量 平行向量等与平面向量基本相似 平面向量的运算律和运算法则同样适用于空间向量 因此要充分利用这两种向量间的内在联系 运用类比的数学思想进行学习 2 空间向量的加 减 数乘运算都可以通过平移使其转化为平面向量 并利用平面向量的加 减运算法则及有关运算律等知识来解决 因此要注意强化这种空间问题平面化的解题意识 2 准确把握三个定理 顺利解决向量平行 共面 分解问题 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使a b 共线向量定理是证明线线平行的主要依据 也是解决三点共线问题的重要方法 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 其中 a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 由定理可知 空间任一向量都可以用三个不共面的向量表示出来 空间向量基本定理是实现空间任意向量的基底化表示 空间向量的坐标化表示的理论基础 3 重视数量积学习 加强向量运算与坐标表示的结合 1 空间两个向量的数量积是a b a b cos a b 数量积满足运算律 与数乘的结合律 即 a b a b r 交换律 即a b b a 分配律 即 a b c a c b c 4 明晰两个向量含义 灵活判断位置关系设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则 5 三法解决立体几何问题 强化坐标法意识 1 综合法以逻辑推理作为工具解决问题 向量法利用向量的概念及其运算解决问题 坐标法利用数及其运算来解决问题 一般情况下 我们遵循的原则是 以综合法为基础 以向量法为主导 以坐标法为中心 2 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来 可以简单地处理线线 线面 面面的夹角及点到面的距离等计算问题 热点考点例析 1 空间向量及其加减运算 1 空间向量可以看作是平面向量的推广 它们之间有许多共同性质 如模 零向量 单位向量 相等向量 相反向量等都是一致的 2 空间向量的加减法是用几何方式引入的 向量的加法满足交换律及结合律 对于加法的平行四边形法则和三角形法则 以及减法的三角形法则要注意灵活运用 空间向量的概念及其运算 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 1 线线平行 证明两条直线平行 只需证明两条直线的方向向量是共线向量 2 线线垂直 证明两条直线垂直 只需证明两条直线的方向向量垂直 即a b a b 0 空间向量与线面位置关系 3 线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共线向量 4 线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 5 面面平行 证明两个平面的法向量平行 即是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 6 面面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 转化为线面垂直 线线垂直问题 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 abc 90 bc 2 cc1 4 eb1 1 d f g分别为cc1 b1c1 a1c1的中点 ef与b1d相交于点h 1 求证 b1d 平面abd 2 求证 平面egf 平面abd 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为ab b1c的中点 1 用向量法证明平面a1bd 平面b1cd1 2 用向量法证明mn 面a1bd 空间角包括 异面直线所成的角 线线角 直线与平面所成的角 线面角 二面角 面面角 用向量法求空间角 就把复杂的作角 证明 求角问题代数化 降低了思维难度 是近年来高考的一个方向 空间向量与空间角 如图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab 2 aa1 4 e为bc的中点 f为cc1的中点 1 求ef与平面abcd所成的角的余弦值 2 求二面角f de c的余弦值 3 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱bc cc1上的点 cf ab 2ce ab ad aa1 1 2 4 1 求异面直线ef与a1d所成角的余弦值 2 证明 af 平面a1ed 3 求二面角a1 ed f的正弦值 1 以下命题中 不正确的个数为 a b a b 是a b共线的充要条件 若a b 则存在唯一的实数 使a b 若a b 0 b c 0 则a c 若a b c为空间的一个基底 则a b b c c a构成空间的另一个基底 a b c a b c a 2b 3c 4d 5解析 只有命题 正确 答案 c 5 已知点a的基底 a b c 下的坐标为 8 6 4 其中 a i j b j k c k i 则点a在基底 i j k 下的坐标为 解析 8a 6b 4c 8 i j 6 j k 4 k i 12i 14j 10k 点a在 i j k 下的坐标为 12 14 10 答案 12 14 10 7 已知向量a 3b垂