利用旋转解决几何问题.docx

利用旋转变换解决几何问题教学设计三河市第七中学 刘海英 一、教学目标：（1） 知识目标：通过具体实例认识旋转变换的基本图形，理解旋转的基本涵义；（2）能力目标：探索旋转变换的本质，理解旋转前后两个图形全等，并利用旋转变换能准确找到全等三角形；培养学生的动手操作能力、发展学生直观想像能力，和分析、归纳、抽象概括的思维能力。（3） 情感态度目标：通过讨论交流，合作学习培养学生团结协作，乐于助人的思想品质，并从中体会数学的简洁美、对称美、变换美。二、学生情况分析：九年级学生好动手、好动脑，有积极探究的热情三、教学重点：分析研究旋转变换，抽象概括旋转的基本图形，探索发现旋转的特征 。教学难点：利用旋转作图做出辅助线。四、教学过程1、复习导入：复习旋转的性质（点、线段、三角形的旋转）利用课件展示基本图形的旋转教师提问：观察图形中点、线段、三角形的旋转有何特性？师生活动：旋转前后的图形全等。设计意图：让学生熟悉并理解旋转的基本图形，准确找到全等图形，相等的线段和角。2、讲授新课：活动1：以等边三角形为背景的旋转问题 如图，BCM中，BMC120，以BC为边向三角形外作等边ABC，把ABM绕着点A按逆时针方向旋转60到CAN的位置.若BM2，MC3. 则 AMB的度数为 ；AM的长为 . 教师提问：（1）ABM和CAN有什么关系？（2）BM与CN有什么数量关系？（3）AMN是什么三角形？为什么？师生活动：学生思考并分析，因为旋转前后的两个三角形全等，所以BM=CN=2，AMN是等边三角形,AMBANC=60。因为AM=AN，MAN60,有一个角是60的三角形是等边三角形。（这道题比较简单，教师可直接让学生思考后回答，并将学生的解答过程用投影展示，方便教师讲评。）设计意图：让学生从具体实例中发现旋转现象，准确找到旋转中心、旋转方向、旋转角，借助实例，理解数学概念,准确找到全等三角形。活动2：以一般等腰三角形为背景的旋转问题(1)如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，求证：BQ=CP. (2)将点P移到等腰三角形ABC之外，(1)中的条件不变， “BQ=CP”还 成立吗？ 教师提问：（1）怎么证明BQ=CP?（2）证明这两个三角形全等需要哪些条件？师生活动：学生先回答此题思路，再将解答过程用投影展示出来。图1利用SAS证明ABQACP，由QAP=BAC，得到QAB=PAC，因为AB=AC, QAB=PAC,AQ=AP，所以ABQACP。图2中BQ=CP仍然成立，证法与图1相似。设计意图：让学生能够熟练应用旋转的性质，即旋转前后对应角相等，对应线段也相等，找到证明ABQ和ACP全等的依据。图2中P点变换了位置，证明ABQ和ACP全等的方法与图1类似，只是证明QAB=PAC的方法与图1略有不同，在证明是教师要提示学生注意。活动3：以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题已知，ABC中, ADBC于D, 且AD=BD,O是AD上一点，OD=CD,连结BO并延长交AC于E.求证：AC=OB 教师提问：（1）要证明AC=OB，需证明哪两个三角形全等？（2）证明这两个三角形全等需要具备哪几个条件？师生活动：要证明AC=OB，需证明ACD和BOD全等,条件有AD=BD，ADC=BDO=90，CD=OD，利用SAS证明ACDBOD. 学生先回答此题思路，再将解答过程用投影展示出来。学生做题时，教师巡视辅导。设计意图：让学生在没有叙述旋转的图形中也能准确的找到两个旋转的三角形，并证明这两个三角形全等。这道题的难度不大，大部分学生都能快速的找到全等三角形并写出证明过程。活动4：如图，在边长为1的正方形ABCD中，EBF=45，求DEF的周长.教师提问：（1）左图中EBF=45的条件如何使用？（2）如何利用旋转构造出全等三角形呢？（3）如何证明这两个三角形全等呢？师生活动：师生共同分析，首先分析EBF=45的条件如何使用，在左图中并没有全等三角形，将BCF绕着点B逆时针旋转90得到BAF，再根据SAS证明BEFBEF,从而得到EF= EF, DEF的周长为AD+DC=2。教师帮助学生一起分析出思路后，再由学生独立完成此题的证明。设计意图：本题的难点在利用旋转构造全等三角形，让学生体会一下利用旋转做辅助线，构造全等三角形的方法。这道题添加辅助线的方法不太容易想到，只要旋转作图完成，这道题就解决了。活动5：如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心，求图中阴影部分的面积教师提问：（1）这个阴影部分是规则图形吗？（2）怎么求这个不规则图形的面积？如何添加辅助线呢？师生活动：这道题教师可以让学生分组讨论一下，尖子生可独立完成，对于有困难的同学教师可稍加点拨。自O点向BC、CD作两条垂线段OM、ON，再证明两个三角形全等，将阴影部分转化成正方形得出结果。设计意图：有了前面几道题的分析，这道题学生应该很快想到辅助线的做法，将将阴影部分转化成正方形来求面积。3、作业如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时