国赛数学建模竞赛论文.doc

I、 问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ II、问题分析问题思路问题一： 本问题中，两组各10名评酒员分别对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒进行评分。其中，评分标准一样，评酒员都能理性的按照标准给酒一个合理的评分。由于，每个人的口感、视觉效果和嗅觉不一样，品酒员给每种酒打的分数不一样而产生误差。根据表格，分别计算出两组10名评酒员的评价总分、标准方差、平均值。运用SAS对两组进行配对样本T检验，并用Excle进行图标分析。对比两种结果并得出统一结论。给及两组评酒员的评价结果的差异性和可信度进行评估。问题二：根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级，这里的分级问题需要考虑两方面的问题处理：1、对葡萄理化指标和影响葡萄酒质量评定的标准进行整合分析，2、现实中还没有统一的酿酒葡萄分级标准，对本题中葡萄进行分级需要有一套标准。我们根据附件一中给出的葡萄酒品尝评分表将葡萄分级的一级指标定为影响葡萄酒外观的理化指标，影响葡萄酒香气的理化指标、影响葡萄酒口感的理化指标、整体指标，她们的权重安葡萄酒评分标准中的分值来划分。我们通过查阅大量资料，根据葡萄理化指标对葡萄酒的影响，把葡萄理化指标划分到上述四类中，通过建立模糊评判模型，来对27种红葡萄、27种白葡萄进行排序。我们将葡萄的标准定为优等、一等，二等，根据葡萄的排序名次划分到这三等中，即完成酿酒葡萄分级工作。问题三：分析酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的联系，首先根据给定的数据，选取存在于酿酒葡萄和葡萄酒中共同的主要理化指标，求取它们各自三次测定的平均值作为分析数据。然后利用Excel图表分析酿酒葡萄和葡萄酒各个理化指标的数量情况，并利用散点图观察分析了酿酒葡萄和葡萄酒各个理化指标间的关系，得出酿酒葡萄和葡萄酒内各个理化指标间存在正相关的相关关系的假设。为加以验证，利用Matlab中的cftool工具箱对各个指标在酿酒葡萄和葡萄酒中的含量进行了一元线性回归分析，分析和图标表明，酿酒葡萄和葡萄酒中的主要理化指标间存在较强的正相关关系。问题四：研究问题四，我们以红葡萄酒和红葡萄为例，由于第二问中已经对酿酒葡萄进行分级，并且进行排序，并且理化指标很多，本题中我们就针对性的寻求按照葡萄的理化指标对葡萄的排序和葡萄酒质量好坏的关系，我们对于葡萄采用27分制，等级最高的葡萄定为27分，依次分值为26到1分。葡萄酒按评酒员的评分作为标准，这样建立相关与回归模型，来验证葡萄的分值与相应葡萄酒的分值是否存在相关关系，因为第三问得出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标有关联度大，所以认定葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的关系、葡萄的理化指标与葡萄酒质量的关系这两个关系是一致的，从而不再验证葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的关系。III、模型假设3-1模型一的假设 3-1-1所有种类酒的制造工艺均相同。 3-1-2评分员打分结果符合正态分布3-2模型二的假设 3-2-1影响一级指标的二级指标的权重相同，影响二级指标的三级指标的权重相同3-3模型三的假设 3-3-1样本特征可以代表整体特征 3-4模型四的假设 3-4-1评酒员评分的平均值与葡萄酒的质量成正比 IV、模型符号4-1模型二的符号 ：为酿酒葡萄的评价指标集合；：为酿酒葡萄的评价指标集合内的一级单因素指标；： 为一级单因素指标i 集合内的二级单因素评价指标j；：为二级单因素指标j 集合内的三级单因素评价指标k； ：一级因素评价指标的判断矩阵； ：一级因素评价指标i 下的二级因素评价指标的判断矩阵；：二级因素评价指标i 下的三级因素评价指标的判断矩阵； ：一级因素评价指标的权重向量；：一级因素评价指标i 下的二级因素评价指标的权重向量；：二级因素评价指标i 下的二级因素评价指标的权重向量； ：第一层的模糊综合评价等级矩阵； ：第二层的模糊综合评价矩阵；：第三层的模糊综合评价矩阵；4-2模型四的符号：评酒员评分的平均值：酿酒葡萄等级评定的分值 V、模型建立与求解1、 问题一模型：配对样品T检验与图表分析模型1-1 T检验模型概述1-1-1 概念配对样本是指对同一样本进行两次测试所获得的两组数据，或对两个完全相同的样本在不同条件下进行测试所的的两组数据。配对样本T检验就是根据对俩个配对样本来自的两配对总体的均值是否有显著差异进行推断。要求两样本观察数目相同，样本总体服从正太分布。本问题完全符合配对T检验的条件。1-1-2 配对样本T检验的模型建立第一步，引进一个新的随机变量Y=X1-X2对应的样本值为（）,其中， (i=1,2,.n),这样，检验的问题就转化为样本T检验问题。第二步，建立零假设 第三步，构造T统计量 第四步，用SAS计算T值和对应的P值第五步，作出判断：若P值显著水平，则不能拒绝零假设，即认为两总体均值不存在显著差异。1-2 模型求解1-2-1 数据处理根据附件1得10名评酒员对各种酒评分的平均值和标准方差：表格1第一组红葡萄酒第二组红葡萄酒第一组白葡萄酒第二组白葡萄酒样品号方差平均值样品号方差平均值样品号方差平均值样品号方差平均值19.64 62.719.05 68.119.60 8215.09 77.925.72 80.324.03 74214.18 74.227.00 75.836.77 80.435.54 74.6319.11 85.3311.94 75.6410.39 68.646.43 71.246.69 79.446.49 76.957.87 73.353.70 72.1511.24 7155.13 81.567.73 72.264.60 66.3612.76 68.464.77 75.5710.18 71.577.92 65.376.26 77.576.49 74.286.63 72.388.07 66813.55 71.485.58 72.395.74 81.595.07 78.299.63 72.9910.31 80.4105.51 74.2106.01 68.81014.58 74.3108.39 79.8118.41 70.1116.17 61.61113.31 72.3119.37 71.4128.92 53.9125.01 68.31210.76 63.31211.83 72.4136.70 74.6133.91 68.81313.07 65.9136.84 73.9146.00 73144.81 72.61410.69 72143.98 77.1159.25 58.7156.43 65.71511.47 72.4157.35 78.4164.25 74.9164.48 69.91613.34 74169.07 67.3179.38 79.3173.03 74.51712.01 78.8176.84 73.9186.87 59.9187.09 65.41812.51 73.1185.50 76.7196.88 78.6197.43 72.6198.02 77.8195.10 76.4205.10 78.6206.25 75.8206.81 72.2207.07 76.62110.77 77.1215.96 72.22113.14 76.4218.02 79.2227.11 77.2224.93 71.62211.78 71227.32 79.4235.70 85.6234.98 77.1236.61 75.9233.41 77.4248.65 78243.27 71.52410.54 73.3246.21 76.1258.04 69.2256.61 68.2255.82 77.12510.32 79.5265.59 73.8266.45 72268.54 81.32610.14 74.3277.06 73274.53 71.52712.02 64.8275.96 77288.97 81.3285.04 79.61-2-2 模型求解过程1-2-2-1 结果差异性问题求解过程1-2-2-1-1用SAS软件进行数据处理假设：显著性水平为0.05；第一组与第二组的评价结果无明显差异，即（1）对红葡萄酒的处理结果：分析输出结果：发现红葡萄酒统计量的值为-2.46，得到的P值为0.0210，小于设定的显著度水平0.05，则拒绝原假设。得出结论：第一组与第二组的评价结果有显著差异。（2）对白葡萄酒的处理结果：分析输出结果：发现红葡萄酒统计量的值为1.90，得到的P值为0.0675，大于设定的显著度水平0.05，则接受原假设。得出结论：第一组与第二组的评价结果没有显著差异。1-2-2-1-2模型的评定根据数据用Excle表格得出两组评酒员评分平均值的折线图：图1图2分析以上两张图片：对于红葡萄酒的27种酒，第一组的点有22个在第二组的上面，有4的在第二组的下面，1个重复点；两个曲线相对震荡幅度大。说明：第一组与第二组的评价结果有显著差异。对于白葡萄酒的28种酒，第一组的点有6个在第二组的上面，有8的在第二组的下面，14个重复点；两个曲线相对震荡幅度很小。说明：第一组与第二组的评价结果无显著差异。1-2-2-1-3 模型结果SAS统计的结论与Excle的图标分析的结论相吻合，证明模型建立的正确性。两组评酒员的评价结果对于红葡萄酒有显著性差异，对于白葡萄酒无显著差异。1-2-2-2 用Excle图标法评价可信度1-2-2-2-1根据表4.2.1数据中的方差用Excle画出折线图：红葡萄酒：图3白葡萄酒:图41-2-2-2-2分析与结论分析以上两张图：对于红葡萄酒的27种酒，第一组的点有5个在第二组的上面，有22个在第二组的下面，并且第一组的折线整体在第二组的上面。对于白葡萄酒的28种酒，第一组的点有3个在第二组的上面，有24的在第二组的下面，1个重复点；并且第一组的折线整体在第二组的上面。说明：第二组的方差比第一组的方差小很多。（方差，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小并把它叫做这组数据的方差 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定）第二组评酒员评的判结果比第一组评酒员的评判稳定的多，即第二组的结果更可信。2、问题二模型：基于模糊综合评价的酿酒葡萄分级模型2-1 模糊综合评价算法概述 模糊综合评价是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清，不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法,其特点是其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。隶属度与隶属度矩阵是模糊综合评价的关键性概念。对于论域（即研究范围）U中任意元素x,都有A(x)0，1与之相对应，则称A为U上的模糊集，而A(x)即称为x对A（A通常称之为评价集）的隶属度。隶属度A(x)越接近于1，表示x属于A的程度越高，A(x)越接近于0表示x属于A的程度越低。2-2模糊综合评价模型求解2-2-1 基于酿酒葡萄分级的模型分析 酿酒葡萄分级涉及多方面因素， 葡萄酒外观的理化指标，影响葡萄酒香气的理化指标、影响葡萄酒口感的理化指标、整体指标这四个指标称之为一级指标。而这四个指标无法定量的给出对分级衡量的实际标准，而且它们之间的相关关系和所反应结果的准确度都是模糊不清的。此外在一级指标之下总共还有28个相应的二级指标，数量较大，它们对于酿酒葡萄分级也是模糊不清的。综上所述，面对评价酿酒葡萄分级的问题采用模糊综合评价方法来衡量是较为恰当的。 为此需要建立一个评价等级集合来对酿酒葡萄进行等级评价，建立模糊关系矩 阵，同时需进行相应的基本操作，对各指标进行权重衡量，求出综合评价矩阵。 在计算各级指标权重方面，考虑到了传统的模糊综合评价中的权重通常由专 家指定或者根据调查结果判定，这样导致主观因素太大，权重定量不够精确。为 避免这些不利因素，在这个模型中采用层次分析法求出各指标权重大小。2-2-2指标的层次划分 因为酿酒葡萄的理化指标很多，所以采用三层指标结构建立模糊综合评价分析模型，表格2：指标层次表第一级指标第二级指标第三级指标影响外观的指标（0.15）花色苷 (0.2)果皮颜色 (0.2)L* （1/3）H （1/3）C （1/3）可溶性固形物 (0.2)褐变度 (0.2)DPPH自由基1/IC50 (0.2)影响香气的指标（0.3）总酚 (0.25)葡萄总黄酮 (0.25)白藜芦醇 (0.25)反式白藜芦醇苷 (0.25)顺式白藜芦醇苷 (0.25)反式白藜芦醇 (0.25)顺式白藜芦醇 (0.25)黄酮醇 (0.25)杨梅黄酮 (0.25)槲皮素 (0.25)山萘酚 (0.25)异鼠李素 (0.25)影响口感的指标（0.44）总糖 (0.1)果糖 (0.5)葡萄糖 (0.5)还原糖 (0.1)多酚氧化酶活力 (0.1)酒石酸 (0.1)柠檬酸 (0.1)单宁 (0.1)苹果酸 (0.1)固酸比 (0.1)可滴定酸 (0.1)PH (0.1)整体评价 (0.11)VC含量 (1/9)氨基酸 (1/9)蛋白质 (1/9)果穗质量 (1/9)百粒质量 (1/9)果梗比 (1/9)出汁率 (1/9)果皮质量 (1/9)干物质含量 (1/9) 2-2-3模型求解 表格3：模糊综合评价原始表格见附录2 将表格3归一化处理后的模糊综合评价表格4见附录2 A、B、C.AZ分表代表红葡萄样品1、2、3.27。 2-2-3-1因数集合U分为三层：第一层：第二层：；第三层：；2-2-3-2分层作综合评判 ,权重=1/3,1/3,1/3由表*-*对的模糊评判构成的单因素评判矩阵：用matlab计算得：=* =（0.3233 0.3567 0.3600 0.4000 0.3533 0.3900 0.4067 0.3600 0.3533 0.4400 0.9900 0.4133 0.3933 0.3633 0.4033 0.3767 0.3600 0.4533 0.3800 0.4200 0.3567 0.3800 0.3833 0.3500 0.4000 0.3900 0.4733）类似的；= * =（0.1100 0.2125 0.1000 0.0950 0.1225 0.0575 0.0250 0.4225 0.3900 0.2900 0.3300 0.0250 0.1600 0.2275 0.0350 0.0825 0.0625 0.0875 0.1825 0.0425 0.2875 0.1575 0.4600 0.0975 0.1300 0.0675 0.0875）=* =（0.1350 0.2175 0.8375 0.1675 0.0400 0.0375 0.0575 0.6875 0.3750 0.2550 0.3250 0.0300 0.4850 0.5225 0.0325 0.0900 0.1575 0.0300 0.1300 0.1050 0.2075 0.0425 0.2875 0.1325 0.1225 0.1125 0.1525 ）= * =（0.7800 0.7600 0.9050 0.7850 0.6450 0.7350 1.0000 0.6500 0.6450 0.5350 0.7850 0.8650 0.7050 0.8450 0.6900 0.6250 0.8900 0.8750 0.7300 0.7500 0.8550 0.7450 0.7000 0.8050 0.5150 0.6500 0.7100）=*=( 0.7247 0.6153 0.5020 0.3740 0.4307 0.3920 0.3973 0.6780 0.6087 0.4040 0.4640 0.3767 0.3967 0.5547 0.3527 0.4033 0.4180 0.3667 0.4420 0.3560 0.4253 0.4420 0.5587 0.4060 0.3900 0.3540 0.4447 )=*=( 0.2838 0.3725 0.6644 0.1956 0.1956 0.1263 0.1131 0.5775 0.5288 0.2588 0.2537 0.1188 0.3438 0.5150 0.1319 0.1481 0.2500 0.1019 0.2706 0.1569 0.3313 0.2050 0.5019 0.1525 0.2031 0.1250 0.1600)=*=（0.7370 0.6810 0.6665 0.5205 0.6235 0.5535 0.6020 0.7520 0.6455 0.4585 0.6205 0.6035 0.5135 0.6565 0.6610 0.6155 0.6170 0.5575 0.5580 0.4960 0.7075 0.5995 0.5680 0.6275 0.4365 0.5350 0.5530）=*=（0.5078 0.5022 0.6211 0.4733 0.6033 0.5344 0.5089 0.5878 0.5556 0.6422 0.4533 0.5200 0.5067 0.5389 0.5067 0.4667 0.6222 0.5000 0.5511 0.5778 0.5378 0.4544 0.5767 0.6000 0.5289 0.6089 0.4900）2-2-3-3高层次的综合评判：；权重=（0.15 0.3 0.44 0.11）；则综合评判为：=*=（0.15 0.3 0.44 0.11）=（0.5740 0.5589 0.6362 0.3959 0.4640 0.3990 0.4144 0.6705 0.5951 0.4106 0.4686 0.4149 0.4443 0.5858 0.4391 0.4271 0.4776 0.3859 0.4536 0.3823 0.5336 0.4416 0.5477 0.4487 0.3697 0.3930 0.4119）2-2-3-4模型结果由此可知27种红葡萄酒的综合评判结果的排序为：H、C、I、N、A、B、W、U、Q、K、E、S、X、M、V、O、P、L、G、ZA、J、F、D、Z、R、T、Y即红葡萄样品8、3、9、14、1、2、23、21、17、11、5、19、24、13、22、15、16、12、7、27、10、6、4、26、18、20、25。根据估计值高低进行评级：优等：红葡萄样品8、3、9、14、1、2、23、21、17。一等：红葡萄样品11、5、19、24、13、22、15、16、12。二等：红葡萄样品7、27、10、6、4、26、18、20、25。用同样的方法可以为白葡萄样品分级，结果为优等：白葡萄样品16、11、26、12、3、10、21、8、25。一等：白葡萄样品13、17、7、4、2、22、24、18、23。二等：28、27、19、14、6、5、20、15、1。2-2-3-5结果分析由模糊综合评价模型所得结果可以量化为酿酒葡萄进行分级，通过最后的结果，我们可以看出，酿酒葡萄的指标直接影响着葡萄的质量，虽然过程包含有一定的主观因素，但是还是能从一定程度上反映出，通过酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒质量能比较准确的评定酿酒葡萄的质量。3、 问题三模型：两个变量的理化指标关联度分析的Matlab一元线性回归模型3-1Matlab一元线性回归模型概述3-2数据处理通过对附件2的初步分析，酿酒葡萄与葡萄酒的各自理化指标存在物质种类和数量上的差异。例如在酿酒葡萄中存在的氨基酸类、蛋白质、VC含量、多酚氧化酶活力、褐变度等，则不存在于所酿葡萄酒中。现忽略酿酒葡萄和葡萄酒间不同的理化指标，取其共同存在的理化指标花色苷、单宁、总酚、黄酮、白藜芦醇、DPPH自由基、色泽（果粒颜色）L*、a*、b*进行分析。（表格：红葡萄酒和红葡萄的主要理化指标见附录3）此题仅对红葡萄酒进行分析，白葡萄酒及其酿酒葡萄的分析与红葡萄酒分析类似。通过柱形图和折线图的初步分析，发现酿酒葡萄和葡萄酒中各个理化指标的含量具有一定的同步关系，即酿酒葡萄中含量较高的理化指标，在葡萄酒中也有较高的含量。（见图5）同时利用散点图（见图6、图7）分析同一理化指标在酿酒葡萄和葡萄酒样本中的含量，发现花色苷、单宁、总酚、黄酮类具有很高的正相关性。（限于篇幅，仅列出花色苷和总酚的散点图，其他见附录3-2）、图5图6图73-3模型求解为说明酿酒葡萄与葡萄酒间相同化学物质含量的关系，运用Matlab软件对同一种理化指标在酿酒葡萄和葡萄酒内的含量进行线性拟合。取在酿酒葡萄和葡萄酒中含量较高的的花色苷、单宁、总酚、黄酮、白藜芦醇进行分析。以花色苷为例，令酿酒葡萄127个样本为轴，葡萄酒127个样本为轴。运用Matlab中的cftool工具箱进行线性拟合，程序见附录图形如下：图7在利用cftool工具箱分析时，均使用linear polynomial形式逼近函数曲线。由可决系数=0.8512可判断酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标花色苷含量有较强线性关系。由此也验证了散点图分析的情况。综上，可以得出结论：酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的理化指标具有较强的线性关系，较大的关联度。4、 问题四模型：基于葡萄、葡萄酒理化指标与葡萄酒质量的相关与回归分析模型4-1 相关与回归分析模型的概述相关分析用来表明现象间相互依存关系方向和密切程度。回归分析是根据相关关系的具体形态，选择合适的数学模型，近似表达变量间的平均变化关系。4-2 模型建立 4-2-1 数据处理 根据问题分析处理数据得：表格5酿酒葡萄等级评定的分值（按27种葡萄名次倒叙给分）fenzhi评酒员评分的平均值（葡萄酒的质量）pingfen168.2275.8365.4472571.2666.3768.8871.5965.31068.31169.91265.71371.61468.81571.51672.61772.11861.61974.52072.22177.122742368.12472.62578.22674.627664-2-2用SAS进行数据一元线性回归SAS运行结果如图并进行数据分析：图8（1）模型拟合结果表格6：描述性统计量表格7：pearson相关系数表格6和表格7是调用CORR过程的分析结果，表格6为变量pingfen和fenzhi的简单描述性统计量。表格7为两个变量之间的相关矩阵，由此分析变量pingfen和fenzhi之间的pearson相关系数达到了0.29150，且对原假设“相关系数为零”的检验P值小于0.0001，则相关系数显著不为零。初步判定酿酒葡萄和葡萄酒的质量呈正相关关系。表8 观察数信息表9 模型方差检验表10 模型拟合度信息表11 参数估计与检验表12 DW检验表8至12为回归分析的结果，读取了27条数据（见表8）。模型显著性方差分析得到的F检验的p值大于0.001（0.05）,见表9，则判断模型不显著成立。表10中拟合度为0.085，校正拟合优度为0.0484，表明模型拟合度不高。表11为模型的参数估计情况，截距和自变量的参数估计分别为68.46952和0.14609，t检验的p值小于0.001，则回归曲线中两个系数显著不为零。表12为检验误差项的自相关系结果，因DW统计接近于2，则满足误差不相关的假定条件。综上分析，建立回归模型为pingfen=68.46952+0.14609fenzhi。但是模型不能显著成立，且拟合度不高。 （2）模型拟合结果表13（3） 模型表14拟合结果表15根据综合分析模型优于和，所以只对模型进行了具体分析。4-2-3酿酒葡萄和葡萄酒理化指标对葡萄酒质量的影响分析根据回归统计分析出酿酒葡萄与葡萄酒有正相关的关系，但是吻合度不大。也就是说酿酒葡萄的等级在一定程度上影响葡萄酒的质量。高等级的葡萄比低等级的葡萄产出相对高质量的葡萄酒的比例大。由第三问得出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标具有很强的正相关关系，可以认为酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒的质量就有近乎相同的影响，但是不能完全通过葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量VI、模型优化与评价 模型一：配对样品T检验与图表分析模型该模型充分结合了题目中的数据并明了的根据T检验分析出两组评酒员对各种酒的评判差异。用