【全程复习方略】（湖北专用）高中数学 7.8立体几何中的向量方法同步训练 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（湖北专用）2013版高中数学 7.8立体几何中的向量方法同步训练 理 新人教a版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知直线l1的方向向量是=(2,4,x)，直线l2的方向向量是=(2，y,2)，若|=6，且=0，则x+y的值是( )(a)-3或1 (b)3或-1(c)-3 (d)12.在正方体abcd-a1b1c1d1中，若e为a1c1中点，则直线ce垂直于( )(a)ac (b)bd (c)a1d (d)a1a3. (易错题)如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f、g分别是线段ae、bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为( )(a) (b) (c) (d)4.(2012金华模拟)正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为( )(a) (b)(c) (d)5.(2012黄冈模拟)如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，a1b与平面bb1d1d所成的角的大小是( )(a)90 (b)30 (c)45 (d)606.如图，矩形abcd中，ab=3，bc=4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则sin的值等于( )(a) (b) (c) (d)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)已知两平面的法向量分别为=(0，1，0)，=(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_.8.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为_.9.正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且so=od，则直线bc与平面pac所成的角是_三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012襄阳模拟)如图，四棱锥p-abcd底面是直角梯形，abcd，abad，pab和pad是两个边长为2的正三角形，dc=4，o为bd中点，e为pa中点.(1)求证：po平面abcd；(2)求证：oe平面pdc；(3)求直线cb与平面pdc所成角的正弦值.11.(2012武汉模拟)如图，四边形abcd为矩形，且ad=2，ab=1，pa平面abcd，e为bc上的动点.(1)当e为bc的中点时，求证：pede；(2)设pa=1，在线段bc上存在这样的点e，使得二面角p-ed-a的大小为,试确定点e的位置.【探究创新】(16分)如图，在矩形abcd中，ab=2，bc=a，pad为等边三角形，又平面pad平面abcd(1)若在边bc上存在一点q，使pqqd，求a的取值范围；(2)当边bc上存在唯一点q，使pqqd时，求二面角apdq的余弦值答案解析1.【解析】选a.由题意知,得x=4.由=4+4y+2x=0得x=-2y-2,当x=4时，y=-3,x+y=1；当x=-4时，y=1,x+y=-3,综上x+y=-3或1.2.【解题指南】合理建立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【解析】选b.以a为原点，ab、ad、aa1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则a(0，0，0)，c(1，1，0)，b(1，0，0)，d(0，1，0)，a1(0，0，1)，e(，1)，=(，1)，=(1，1，0)，=(-1，1，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，-1)，显然，即cebd.3.【解析】选a.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f、g分别是线段ae、bc的中点.以c为原点建立空间直角坐标系cxyz,a(0，2，0)，b(2，0，0)，d(0，0，2)，g(1，0，0)，f(0，2，1)，=(0，-2，2)，=(-1，2，1)，=-2，.直线ad与gf所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选b.【变式备选】在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是( )(a) (b) (c) (d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop总成立，即am与op所成的角为4.【解析】选a.如图，取a1b1的中点e1，建立如图所示空间直角坐标系exyz.则e(0,0,0),f(-1,0,1),b1(1,0,2),a1(-1,0,2),c1(0,2),g().=(-2,0,-1),设平面gef的一个法向量为=(x,y,z),由，得，令x=1,则=(1,1),设b1f与平面gef所成角为，则.5.【解析】选b.以d为坐标原点，分别以da，dc，dd1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则a1(1,0,1),b(1,1,0),a(1,0,0),c(0,1,0).=(0,1,-1), =(-1,1,0).ac平面bb1d1d，是平面bb1d1d的一个法向量，设a1b与平面bb1d1d所成的角为,则sin=30.6.【解析】选a.由题意可求得bo=，oc=，ao=，建立空间直角坐标系如图，则c(,0,0)，b(,0,0)，a(0,0,)，d(,3,0)，=(4,3,0)，=()设=(x，y，z)是平面abd的一个法向量则，取z=，x=7,y=.则.又=(0,3,0)是平面abc的一个法向量.sin.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法，其步骤是：建系，分别求构成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法，该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.7.【解析】，,两平面所成二面角的大小为或.答案：或【误区警示】本题容易认为两平面所成角只有,而忽视.8.【解析】以d为原点，da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(,1)，设平面abc1d1的法向量=(x,y,z)，由，得，令x=1，得=(1,0,1)，又，o到平面abc1d1的距离.答案: 9.【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设od=so=oa=ob=oc=a，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(-a,0,0)，p(0,)，则=(2a,0,0)，=(-a,)，=(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为，可取=(0,1,1)，则，=60，直线bc与平面pac所成的角为9060=30.答案：3010. 【解析】(1)设f为dc的中点，连接bf，则df=ab. abad,ab=ad,abdc,四边形abfd为正方形，o为bd的中点，o为af，bd的交点，即连接af必过o点.pd=pb=2,pobd,bd=po=在三角形pao中，po2+ao2=pa2，poao，aobd=o,po平面abcd；(2)由(1)知po平面abcd，又abad，所以过o分别做ad，ab的平行线，以它们做x,y轴，以op为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：a(-1，-1，0)，b(-1，1，0)，d(1，-1，0),f(1，1，0)，c(1，3，0)，p(0，0，)，e()，则=(),=(1,1,-)，=(1，-1，-)，=(1，3，-).oepf,oe平面pdc，pf平面pdc，oe平面pdc；(3)设平面pdc的一个法向量为n=(x1,y1,z1),直线cb与平面pdc所成角为，则平面pdc的一个法向量为n=(,0,1),又=(-2，-2，0)则sin=|cosn, |=直线cb与平面pdc所成角的正弦值为11.【解析】(1)当e为bc中点时，ec=cd=1，从而dce为等腰直角三角形，则dec=45，同理可得aeb=45，aed=90，于是deae.又pa平面abcd，且de平面abcd，pade.de平面pae，又pe平面pae，depe.(2)以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图设be=x，则p(0,0,1),e(1,x,0),d(0,2,0).则=(1,x,-1)， =(1,x-2,0).易知向量=(0,0,1)为平面aed的一个法向量，设平面pde的一个法向量为n=(a,b,c),则应有解之得c=2b,令b=1,则c=2,a=2-x.从而n=(2-x，1，2)，依题意即解之得x=2+(舍去)，或x=2-,所以点e在段线bc上距b点的2-处.【探究创新】【解析】(1)取ad中点o，连接po，则poad平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面abcd.建立如图的空间直角坐标系，则p(0,0,),d(,0,0)设q(t，2，0)，则pqqd，a=2(t+)，a0,t0,2(t+)8,等号成立当且仅当t=