【导与练】高考数学 高校信息化课堂 高考压轴题训练（四）理.doc

高考压轴题训练(四)1. (2014浙江高考模拟冲刺卷)已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为单位圆c2:x2+y2=1的直径,且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆短轴的上顶点b1作直线分别与单位圆c2和椭圆c1交于a,b两点(a,b两点均在y轴的右侧),设b2为椭圆的短轴的下顶点,求ab2b的最大值.解:(1)由题意知b=1,又e=ca=a2-1a=63,解得a2=3,所以椭圆的方程为x23+y2=1.(2)由(1)得b1(0,1),b2(0,-1),设过椭圆的短轴的上顶点b1的直线b1b的方程为y=kx+1,由于b1b2为圆的直径,所以直线b2a的斜率k1=-1k.把y=kx+1代入c1得b(-6k1+3k2,1-3k21+3k2),由题意易知k0,且k1=3k2,又b2ab是直角三角形,所以ab2b必为锐角.因为b2a与b2b的方向向量分别为(1,k1),(1,k2),所以b2ab2b=(1,k1)(1,k2)=1+3k22,又b2ab2b=1+k121+k22cosab2b从而cosab2b=1+3k221+9k221+k22,=1-4k221+10k22+9k24=1-41k22+9k22+1032,当且仅当k2=33时,cosab2b取得最小值32,由ab2b为锐角得ab2b的最大值为6.2.某企业接到生产3000台某产品的a、b、c三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产a部件6件,或b部件3件,或c部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产b部件的人数与生产a部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产a部件的人数为x,分别写出完成a、b、c三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.解:(1)设完成a,b,c三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为t1(x),t2(x),t3(x),由题设有t1(x)=230006x=1000x,t2(x)=2000kx,t3(x)=1500200-(1+k)x,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxt1(x),t2(x),t3(x),其定义域为x|0x2001+k,xn*.易知,t1(x),t2(x)为减函数,t3(x)为增函数.注意到t2(x)=2kt1(x),于是当k=2时,t1(x)=t2(x),此时f(x)=maxt1(x),t3(x)=max(1000x,1500200-3x).由函数t1(x),t3(x)的单调性知,当1000x=1500200-3x时,f(x)取得最小值,解得x=4009.由于44400945,而f(44)=t1(44)=25011,f(45)=t3(45)=30013,f(44)2时,t1(x)t2(x),由于k为正整数,故k3,此时1500200-(1+k)x1500200-(1+3)x=37550-x.记t(x)=37550-x,(x)=maxt1(x),t(x),易知t(x)是增函数,则f(x)=maxt1(x),t3(x)maxt1(x),t(x)= (x)=max(1000x,37550-x).由函数t1(x),t(x)的单调性知,当1000x=37550-x时 (x)取最小值,解得x=40011.由于364001125011, (37)=t(37)=3751325011.此时完成订单任务的最短时间大于25011.当k2时,t1(x)t2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxt2(x),t3(x)=max(2000x,750100-x).由函数t2(x),t3(x)的单调性知,当2000x=750100-x时,f(x)取最小值,解得x=80011