高中数学课后提升训练十五2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1新人教A版.docx

课后提升训练 十五 离散型随机变量的均值(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知随机变量X的分布列为X-213P0.160.440.40则X的均值为()A.1.96B.1.32C.0.24D.0.56【解析】选B.由随机变量X的分布列得:E(X)=-20.16+10.44+30.40=1.32.2.(2017郑州高二检测)已知随机变量X的分布列为X012P且=2X+3,则E()等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为E(X)=0+1+2=,所以E()=E(2X+3)=2E(X)+3=.3.(2017烟台检测)已知B,B,且E()=15,则E()等于()A.5B.10C.15D.20【解析】选B.因为B,所以E()=n=15,解得n=30,又B,所以E()=n=30=10.【补偿训练】(2017长沙高二检测)设B(18,p),又E()=9,则p的值为()A.B.C.D.【解析】选A.因为B(18,p),E()=9,所以18p=9,所以p=.4.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗亭.假设在各交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数X的均值为()A.0.4B.1.2C.0.43D.0.6【解析】选B.由题意知途中遇到红灯的次数X服从二项分布,即XB(3,0.4),所以E(X)=30.4=1.2.5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=()A.B.C.D.【解析】选B.依题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=0+1+2+3=.6.(2017济南高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为()A.3B.4C.5D.2【解题指南】可设白球为x个,依据题设得出关于x的一个方程,解方程即可得到白球的个数.【解析】选A.设白球x个,则黑球(7-x)个,取出的2个球中所含白球个数为X,则X取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以0+1+2=,所以x=3.7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为()A.B.C.D.【解析】选B.依题意,知X的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=,P(X=4)=,P(X=6)=.故E(X)=2+4+6=.【补偿训练】现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是()A.6B.7.8C.9D.12【解析】选B.因为P(=6)=,P(=9)=,P(=12)=,所以E()=6+9+12=7.8.8.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)1.75,则p的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.发球次数X的分布列如下表,X123Pp(1-p)p(1-p)2所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)21.75,解得p(舍去)或p0,所以p.二、填空题(每小题5分,共10分)9.设p为非负实数,随机变量X的分布列为:X012P-pp则E(X)的最大值为_.【解析】由表可得从而得p,期望值E(X)=0+1p+2=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=.答案:【补偿训练】已知随机变量X和,其中=4X-2,且E()=7,若X的分布列如表,则n的值为_.X1234Pmn【解题指南】由分布列的性质可得m与n的一个方程,由期望的定义与性质可得m与n的另一个方程,两方程联立可解得m,n.【解析】=4X-2E()=4E(X)-27=4E(X)-2E(X)=1+2m+3n+4,又+m+n+=1,联立求解可得n=.答案:10.(2017洛阳高二检测)某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则E(X)=_.【解析】随机变量X的分布列:X12345P可知E(X)=1+2+3+4+5=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017保定高一检测)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖.记他们的累计得分为X,求X3的概率.(2)若小明、小红两个人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大.【解析】(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分X3”的事件为A.则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1B,X2B,所以E(X1)=2=,E(X2)=2=,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为E(2X1)E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.12.(2016山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率.(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).【解析】(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”“甲对二乙对一”与“甲乙全对”,所以P=+=+=.(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为:0,1,2,3,4,6.P(X=0)=;P(X=1)=(+)2=;P(X=2)=+=;P(X=3)=2=;P(X=4)=2=;P(X=6)=.可得随机变量X的分布列为X012346P所以E(X)=0+1+2+3+4+6=.【能力挑战题】 (2017北京高考)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率.(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E().(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此