【创新设计】高考数学一轮总复习 步骤规范练 空间向量与立体几何 理 苏教版(1).doc

步骤规范练空间向量与立体几何 (建议用时：90分钟)一、填空题1已知a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且cb0是l的_条件解析若l，则l与a，b所在的直线垂直，ca，cb，ca0，cb0，是必要条件；ab，当a与b同向(或反向)时，由ca0且cb0可以推出ca且cb，但不能推出l，不是充分条件答案必要不充分2已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成角的度数为_解析设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围是，故异面直线m，n所成的角为.答案3在正四面体pabc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中成立的是_ bc平面pdfdf平面pae平面pdf平面abc平面pae平面abc解析d，f为中点，dfbc，又df面pdf，bc面pdf，bc面pdf，正确；e为bc中点，正四面体pabc，aebc，pebc，bc面pae，df面pae，正确；bc面abc，面abc面pae，正确假设平面pdf平面abc，则顶点p在底面的射影在df上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故不成立答案4(2013潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是_解析命题中，与不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题正确；易知，命题正确，命题不正确答案5在以下命题中，不正确的个数为_|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点o和不共线的三点a，b，c，若22，则p，a，b，c四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.解析|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案46如图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e，f分别是cc1，ad的中点那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于_ 解析建立如图所示的空间直角坐标系，则o(1,1,0)，e(0,2,1)，d1(0,0,2)，f(1,0,0)，(1，1,1)，(1,0,2)，3，|，|，cos，.即oe与fd1所成的角的余弦值为. 答案7已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面边长都相等，a1在底面abc内的射影为abc的中心，则ab1与底面abc所成角的正弦值等于_解析设a1在面abc内的射影为o，过o作ohbc交ab于点h，以o为坐标原点，oa，oh，oa1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设abc边长为1，则a，b1，.面abc的法向量n(0,0,1)，则ab1与底面abc所成角的正弦值为sin |cos，n|.答案8如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： 点m到ab的距离为；三棱锥cdne的体积是；ab与ef所成的角是其中正确命题的序号是_解析依题意可作出正方体的直观图如图，显然m到ab的距离为mc，正确；而vcdne111，正确；ab与ef所成的角等于ab与mc所成的角，即为，正确 答案9正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为_解析取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b， d.，.由于为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案10正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为_ 解析如图，取ab的中点e，建立如图所示空间直角坐标系exyz.则e(0,0,0)，f(1,0,1)，b1(1,0,2)，a1(1，0,2)，c1(0，2)，g.(2,0，1)，(1,0,1)，设平面gef的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设b1f与平面gef所成角为，则sin |cosn，|.答案11在正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为_解析如图所示，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，db1平面acd1，取平面acd1的法向量n(1,1,1)，又(0,0,1)，若设bb1与平面acd1所成角为，则sin |cosn，|，cos . 答案12(2014南京一模)p是二面角ab棱上的一点，分别在平面，上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_解析不妨设pma，pnb，如图，作meab于e，nfab于f.epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小为90. 答案9013如图，在矩形abcd中，ab3，bc1，efbc且ae2eb，g为bc的中点，k为af的中点沿ef将矩形折成120的二面角aefb，此时kg的长为_ 解析如图，过k作kmef，垂足m为ef的中点，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos 603.|. 答案14(2014梅州模拟)如图，在三棱锥sabc中，sbasca90，abc是斜边aba的等腰直角三角形，给出以下结论：异面直线sb与ac所成的角为90；直线sb平面abc；平面sbc平面sac；点c到平面sab的距离是a.其中正确结论的序号是_解析由题意知ac平面sbc，故acsb，sb平面abc，平面sbc平面sac，正确；取ab的中点e，连接ce，可证得ce平面sab，故ce的长度即为c到平面sab的距离，为a，正确答案二、解答题15如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，pb与底面成的角为45，底面abcd为直角梯形，abcbad90，pabcad1.问：在棱pd上是否存在一点e，使得ce平面pab？若存在，求出e点的位置，若不存在，请说明理由 解分别以，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 则p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，设e(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面pab的法向量，(1，y1，z)，由ce平面pab，可得.(1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0.y1，代入式得z.e是pd的中点，即存在点e为pd中点时，ce平面pab16(2013福建卷节选)如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abdc，aa11，ab3k，ad4k，bc5k，dc6k(k0) (1)求证：cd平面add1a1；(2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为，求k的值(1)证明取cd的中点e，连接be，如图1.abde，abde3k，四边形abed为平行四边形，bead且bead4k.在bce中，be4k，ce3k，bc5k，be2ce2bc2，bec90，即becd，又bead，cdad.aa1平面abcd，cd平面abcd，aa1cd.又aa1ada，cd平面add1a1. 图1(2)解以d为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则a(4k,0,0)，c(0,6k,0)，b1(4k,3k,1)，a1(4k,0,1)，于是(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面ab1c的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设aa1与平面ab1c所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求实数k的值为1. 17(2014济南质检)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1. (1)证明：pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长(1)证明如图，以点a为原点建立空间直角坐标系， 依题意，得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b，0，p(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以pcad.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)设平面pcd的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面pac的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角apcd的正弦值为.(3)解设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即ae.18(2013广东卷)如图1，在等腰直角三角形abc中，a90，bc6，d，e分别是ac，ab上的点，cdbe，o为bc的中点将ade沿de折起，得到如图2所示的四棱锥abcde，其中ao.(1)证明：ao平面bcde；(2)求二面角acdb的平面角的余弦值(1)证明在折叠前的图形中，等腰直角三角形abc中，因为bc6，o为bc的中点，所以acab3，ocob3，又因为cdbe，所以adae2.如图1，连接od，在ocd中，由余弦定理可得od.在折叠后的图形中，因为ad2，所以ao2od2ad2