解数学题的逆向思维.doc

发表于邵阳学院学报自然科学版第一卷第二期解数学题的逆向思维贺 昉（邵阳市一中，湖南，邵阳，422000）摘要：运用逆向思维方法，使一些较难解决的问题迎刃而解，如这篇文章中涉及的三类问题，其解法都比较巧妙。关键词：逆向思维；均分法；迭代中图分类号：B804.4；O141.3 文献标识码：AThe Inwerse Thinking Model for Solving Mathematical ProblemsHE Fang(The First Middle School of Shaoyang City,Shaoyang,Hunan,422000)Abstract: By using a iverse thinking method,some relatively difficulr problems can be readily solved.For example,the solution methods of three ex,problems repressuted in this paper are all ring.Keywords: Inverse thinking;equipartition method;successive substitution逆向思维是思维的一种方式，这种所谓是从要解决问题的结论入手。在解决某些问题时，这种思维别出心裁，相当有效。比如，试求出一个四位数，使其等于它的4位数字之和的4次方，文1的解法就很特别，是运用逆向思维的一个范例。下面将从几个方面试用这种方法。1 从一个数学游戏谈起例1 设有甲乙两人对奕。游戏规则是：两人轮流数出一组连续的自然数，至少数1个，至多可数10个，前面的人数到n停止，后面的人接着从n+1数起，谁恰好数到100，就算胜利。试提供一种制胜方法。分析：如果用顺向思维，设甲第一个数，从1开始，数到某个数止住，那简直无从下手，因为他不能预知乙怎么数。甲乙双方都有一个最佳停止问题。我们不妨用逆向思维，甲欲取胜，即最后一次由甲数到100。倒数第二次由乙数，倒数第三次由甲数，倒数第三次甲的最佳停止数是多少？不难看出这个最佳停止数是89，乙从90开始，不管他数的个数还是连续数210个数，甲有把握数出100，这个89的来源是89=100-（1+10）=最终目的数-（最少数出数+最多数出数）。从此逆推，倒数第五次甲的最佳停止数是89-（1+10）=78继续逆推，甲的最佳停止数依次是1，12，23，34，45，56，67，78，89。如果甲第一个数，依次在上述最佳停止数处停止，则无论乙怎么数，不论乙智商如何高，甲肯定取胜。但游戏规则是公平的，可能是乙先数，即使由甲先数，为了不曝露目标，开头几次，也不必在最佳停止处停止。制造假象，使乙摸不着头绪，但接近目标时，必须在最佳停止处停止。稍微变通一下，如果最少 5个，最多数10个，则最佳停止处为100-k（5+10）=100-15k（k=1，2，3，4，5，6），即最佳停止处依次为10，25，40，55，70，85。2 两分法例2 假定甲心中确定一个1000以内的自然数，由乙猜这个数，乙可提出若干问话，甲只能以“是”，“否”作答，试为乙设计一种最佳方案，使乙提问次数最少。方法：下面是乙与甲的对话：乙：（这个数）大于512？ 甲：否乙：大于256？ 甲：否乙：大于128？ 甲：是乙：大于192？ 甲：否乙：大于160？ 甲：否乙：大于144？ 甲：是乙：大于152？ 甲：是乙：大于156？ 甲：否乙：大于154？ 甲：是乙：大于155？ 甲：是如此回答10次，乙最后猜出该数是156。 方法的理论依据：因为210=10241000，用二均分法将1024逐次二等分，这也是逆向思维的应用，因为2191000000220，因此为了猜出一百万中的某数，只需要进行20次问话即可。 方法妙用：如果某财务部门的1000笔会计账与现金账的累计数不相符，不知差错在何处，为核查（假定只有一处差错），可采用如上的方法，先核对序号512的会计账与现金账，看累计数是否相符，如不相符，再核对序号216的两种帐目 核查10次，即可把差错找到。3 计算非完全平方数的平方根 设.分析 则有 （3.1） （3.1）的导出是逆向思维的运用。 令 则（3.1）变为 我们运用下述定理 定理3.1 若 则方程的一个根可用来逼近，这就是所谓逐次逼近法，证明从略。 关于迭代的深入研究，可参看2。 将定理3.1用于（3.1）式，并设m=2，就得下例。 例3 试求的近似值 解 （3.1）变为： 取计算可为下简化： 设已有 于是 化小数点