广东省湛江第一中学高三数学临门一脚试题 理.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷.模拟)理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：一组数据的方差：第卷 选择题（共40分）1 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设表示复数集，则集合的子集个数是a b cd2. 已知双曲线的中心在平面直角坐标系的原点，实轴长为，一个焦点是，则双曲线的方程是a bcd3. 已知实数，满足约束条件：，设，则a有最大值b最大值 c最小值d最小值4. 如图空间四边形中，且，则a b3cd5.某单位有名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2,. , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为a11b12c13d146.已知是实数，则函数的图像不可能是a. bc. d.7. 已知棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，点分别在棱、上，且(），设平面平面，则下列结论中错误的是a平面 b c存在，使平面与平面垂直 d当变化时，是定直线8. 如图一个倒三角形数表：它的排列规则是：第行的第个数，现设，其中，若，则abcd第卷 非选择题（共110分）2、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9. 不等式的解集是_10.函数有大于的极值点，则的取值范围是_11.已知等比数列为递增数列，且，则公比12.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)13.如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度bc约等于 （用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题。）14.（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）与直线有两个公共点，则的取值范围是_.15.（几何证明选讲选做题）如图，圆的半径为是圆周上的三点，过点做圆的切线与的延长线交于点，则三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且(1) 求的值；(2）若，求的最大值17.(本小题满分12分)a,b两名学生在5次英语口语测试中的成绩统计如茎叶图所示（十位作为茎)（1) 现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两位同学的平均分和方差分析，选派谁参加更合适？说明理由.（2) 若将频率视为概率,对(1)中选派的学生在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的概率.poabcd第18题图18.（本小题满分14分）如图，在圆锥中，已知，的直径，ab上的点c平分该弧（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值19.在数列中，已知.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求的值20. （本小题满分14分）如图，已知定点，点是定直线上的动点，的角平分线交于（1）求点的轨迹方程；（2）若（1）中轨迹上是否存在一点，直线与,使得是直角？如果存在，求点坐标；如果不存在，请说明理由。21.已知函数(1)若 求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性；(3)是否存在实数使在上恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷.模拟)理科数学答案一、选择题题号12345678答案ddacbcca二、填空题： 9. 10. 11. 12.60 13. 60 14. 15. 三、解答题16.解：(1)在中，.1分.3分.4分.6分(2） 由余弦定理.7分及得.8分由.9分.11分当时，的最大值为.12分17.解：(1）.1分.2分，.3分.4分因，所以选派a去更合适。.6分(2） a高于80分的频率是，从而每次成绩高于80分的概率.7分可取值，由题知.9分.11分所以的概率是.12分18.解法一：(1)连结od，因为oaoc，d是ac的中点，acod. .1分 又po底面o，ac底面o，acpo. .2分 od，po是平面pod内的两条相交直线，ac平面pod，.3分 又ac平面pac，平面pod平面pac. .4分 (2)在平面pod中，过o作ohpd于h， 由(1)知，平面pod平面pac，所以oh平面pac.6分 又pa面pac，所以paoh在平面pao中，过o作ogpa于g，连结hg，则有pa平面ogh从而pahg，.8分 故ogh为二面角bpac的平面角.9分 在rtoda中，.在rtpod中，在rtpoa中，.11分 在rtohg中，.12分cosogh. .13分二面角bpac的余弦值为. .14分解法二：(1)同解法一 (1) (2) 如图所示，以o为坐标原点，ob， op所在直线分别为x轴， z轴，过 o与ab垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系 -5分则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(0, 1,0)，p(0,0，)，d. -6分设m(x，y，z)是平面pac的一个法向量，则由m0，m0，得 取，得m -8分因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为n(0,1,0)-10分设向量n2和n3的夹角为，则cos， -13分又二面角bpac为锐二面角， 故二面角bpac的余弦值为. -14分由，得.1分即.3分，所以是以1为首项公差为1的等差数列，.4分，.5分又，即(）.6分解法2：数学归纳法(略)(2） 由(1）当.7分.8分.10分且.11分而所以.13分.14分20.解：（1）设，直线和的方程分别为，直线的方程为：。设，则，到直线和的距离相等。 ， .2分又在直线上，所以： ，即，代入得： ，整理得：.4分若y0，则； .5分 若y0，则b=0，aob，点c为(0，0)，满足上式.6分综上，点c的轨迹方程为：。.7分（2设点，则直线的方程分别为： 令得，.9分直线的斜率分别为：若是直角，则整理得 .11分， ，式无解，从而不可能是直角，（1）中轨迹上不存在点满足题设 .14分21.解：(1)因为，所以 .1分.2分又故函数在点a处的切线方程为即.3分(2) 且.4分 当时，则则在r上为增函数.5分 当时，令解得 在或时， 在时，.6分 当时， 在或时， 在时，.7分综上所述：当时，