第5章高等数学计算的MATLAB实现讲稿.doc

第5章 高等数学计算的MATLAB实现高等数学是大学数学学习的基本内容。利用MATLAB的符号工具箱，可以解决极限、导数、微分、积分、级数和微分方程等方面的问题。5.1 函数和极限5.1.1 函数使用符号表达式，可以进行复合函数运算和反函数运算，下面分别予以介绍。 复合函数运算在MATLAB中，符号表达式的复合函数运算主要是通过函数compose来实现的。compose函数的调用格式如下：compose(f,g)：返回复合函数。在这里,。其中，x是findsym定义的f函数的符号变量，y是findsym定义的g函数的符号变量。compose(f,g,z)：返回自变量为z的复合函数f(g(z)。在这里，f=f(x),g=g(y)，x，y分别是findsym定义的f函数和g函数的符号变量。compose(f,g,x,z)：返回复合函数f(g(z)，并且使x成为f函数的独立变量。如：f=cos(x/t),compose(f,g,x,z)返回cos(g(z)/t)，而compose(f,g,t,z)返回cos(x/g(z)。compose(f,g,x,y,z)：返回复合函数f(g(z)，并且使x与y分别成为函数f与g的独立变量。例51将和复合到一个函数中，指定x和y为它们的独立变量，自变量为z。程序：syms x y t z;g=tan(y);f=xt;compose(f,g,x,y,z)%求复合函数运行结果：ans = tan(z)t 符号表达式的反函数运算在MATLAB中，符号表达式的反函数运算主要是通过函数finverse来实现的。finverse函数的调用格式如下。g=finverse(f)：返回符号f的反函数g。其中，f是一个符号函数表达式，其变量为x。求得的反函数g是一个满足g(f(x)=x的符号函数。g=finverse(f,v)：返回自变量为v的符号函数f的反函数。求得的反函数g是一个满足g(f(v)=v的符号函数。当f包含不止一个符号变量时，往往使用这种求反函数的调用格式。例52求的反函数。程序：f=sym(t/sin(x);g=finverse(f,x)%求反函数h=finverse(f,t)%求反函数运行结果：g =asin(t/x)h =t*sin(x)5.1.2 极限在MATLAB中，符号极限由函数limit来实现。Limit函数的调用格式如下： limit(F,x,a)：返回符号表达式F当时的极限。 limit(F,a)：返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量趋向于a时的极限。 limit(F)：返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量在a=0处的极限值。limit(F,x,a, right)或 limit(F,x,a, left)：求取单侧极限，参数中right，left表明取极限的方向。例53求程序：syms xf=sqrt(x2+x+1)-sqrt(x2-x+1);a=limit(f,x,inf, left)%求极限b=limit(f,x,-inf, right)%求极限运行结果：a =1b =-15.2 导数5.2.1求函数的导数在MATLAB中，微分和求导都可以由函数diff实现。diff函数可同时处理数值和符号两种情况下的求导和微分。该函数的调用格式如下所示。diff(F)：对findsym函数返回独立变量求微分，F为符号表达式。diff(F,a)：对a变量求微分，F为符号表达式。diff(F,n)：对findsym函数返回的独立变量求n次微分，F为符号表达式。diff(F,a,n)或diff(F,n,a)：对变量a求n次微分，F为符号表达式。例54求的二阶导数。程序：syms xf=(x-1)5/(x+1);df=diff(f,1);%求导数d2f=diff(f,2);df=simplify(df)%化简d2f=simplify(d2f)运行结果：df =2*(x-1)4*(2*x+3)/(x+1)2d2f =4*(x-1)3*(3*x2+9*x+8)/(x+1)35.2.2 求隐函数的导数例55求隐函数所确定的导数。程序：%求隐函数的导数f=sym(x-y+1/2*sin(y);fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dv=-fx/fy;simplify(dv)%化简运行结果：ans =-2/(-2+cos(y)5.2.3求参数方程确定的函数的导数例56求椭圆的参数方程所确定的导数。程序：%参数方程确定的函数的导数fx=sym(a*cos(t);fy=sym(b*sin(t);dxt=diff(fx,t);dyt=diff(fy,t);dv=dyt/dxt;simplify(dv)%化简运行结果：ans =-b*cos(t)/a/sin(t)5.3 极限和导数的应用极限可用于计算函数曲线的渐近线，导数可用于求函数的极值和拐点，判断函数的单调性等。下面结合一个具体的例子进行介绍。例57作函数的图形。首先创建函数，程序为：syms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom运行结果：f =(3*x2+6*x-1)/(x2+x-3)5.3.1 渐近线求函数图形的水平渐近线，需要求x趋于无穷时f的极限，即limit(f,inf)limit(f,-inf)求f的垂直渐近线，使分母等于0，用下面的命令进行求解。roots=solve(denom) %返回方程的解。综合程序：syms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom;a=limit(f,inf);b=double(a);roots=solve(denom);ezplot(f)%符号函数作图命令。hold on%在原有的图形上面叠加图形。plot(-2*pi 2*pi,b b, g)%绘水平渐近线plot(double(roots(1)*1 1,-5 10, r)%绘垂直渐近线plot(double(roots(2)*1 1,-5 10, r)%绘垂直渐近线title(水平渐近线和垂直渐近线)hold off%取消图形叠加运行结果见图51。5.3.2 极值从图51可以看出，函数至少有2个极值点，求解程序：syms xnum=3*x2+6*x-1;denom=x2+x-3;f=num/denom;a=limit(f,inf);b=double(a);roots=solve(denom);ezplot(f)%符号函数作图命令。hold on%在原有的图形上面叠加图形。plot(-2*pi 2*pi,b b, g)%绘水平渐近线plot(double(roots(1)*1 1,-5 10, r)%绘垂直渐近线plot(double(roots(2)*1 1,-5 10, r)%绘垂直渐近线hold off%取消图形叠加f1=diff(f);%求一阶导数f1=simplify(f1);%化简crit_pts=solve(f1);%求驻点hold onplot(double(crit_pts),double(subs(f,crit_pts),ro);title(渐近线和极值)%加标题text(-5,3,极小值)%加标注text(-2,2,极大值)hold off运行结果见图52。图51水平渐近线和垂直渐近线图52表示函数的渐近线和极值5.3.3 拐点 求函数的拐点，需要先求函数的2阶导数，后面的处理方法与求极值方法相似。5.4 不定积分和定积分 MATLAB中，用符号工具箱的int函数求函数的不定积分和定积分。int函数的调用格式如下所示。 int(F)：对findsym函数返回独立变量求不定积分，F为符号表达式。 int(F,v)：对v变量求不定积分，F为符号表达式。 int(F,a,b)：对findsym函数返回独立变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。 int(F,v,a,b)：对v变量求从a到b的定积分，F为符号表达式。5.4.1 不定积分例58求不定积分。程序：syms x nf=xn;F=int(f,x)%求不定积分运行结果：F =x(n+1)/(n+1)5.4.2 定积分例59求定积分。程序：syms x nf=x9;A=int(f,x,0,1)%求定积分运行结果：A =1/105.4.3定积分的近似计算在实际应用中，往往需要对定积分进行近似计算。常用的近似计算方法有矩形法、梯形法和抛物线法等。用MATLAB提供的trapz函数可以用梯形法近似求取定积分的值。例510求定积分的近似值。程序：b=2;x=linspace(0,b,10000);y=exp(-x.2./2)./sqrt(2*pi);A=trapz(x,y)%求定积分的近似值运行结果：A = 0.47725.4.4定积分的应用例511计算由两条抛物线，所围成的图形的面积。程序：%求曲线的交点x1,y1=solve(y2=x,y=x2);x1=double(x1);y1=double(y1);n=numel(x1);%下面寻找实数解m=1;x0=;y0=;for k=1:n if isreal(x1(k)&isreal(x1(k) x0(m)=x1(k);y0(m)=y1(k); m=m+1; endendx0=sort(x0);y0=sort(y0);%排序%下面计算定积分syms xf=sqrt(x)-x2;A=int(f,x,x0(1),x0(2)运行结果：A =1/3例512计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。程序：syms a b xf=pi*b*b*(a*a-x*x)/a/a;V=int(f,x,-a,a)运行结果：V =4/3*pi*b2*a例513计算由曲线上相应于从到的一段弧的长度。程序：syms x a bf=2*x(3/2)/3;d=diff(f);g=sqrt(1+d2);S=int(g,x,a,b)运行结果：S =2/3*(1+b)(3/2)-2/3*(1+a)(3/2)5.4.5多重积分例514求二重积分。程序：syms r x yA=int(int(sqrt(r*r-x*x),y,0,sqrt(r*r-x*x),x,0,r)运行结果：A =2/3*r35.5空间解析几何与向量代数空间解析几何将平面图形与方程结合起来，从而可以用代数方法研究几何问题。5.5.1空间向量运算例515已知向量，计算，。程序：a=2 1 -1;b=1 -1 2;c=a+bd=a-bf=dot(a,b)%求数量积g=cross(a,b)%求向量积运行结果：c = 3 0 1d = 1 2 -3f = -1g = 1 -5 -3例516已知三点、和，求。程序：M=1 1 1;A=2 2 1;B=2 1 2;ma=A-M;mb=B-M;c=dot(ma,mb)/sqrt(dot(ma,ma)/sqrt(dot(mb,mb);amb=acos(c)运行结果：amb = 1.0472例517已知三角形的顶点是、和求三角形的面积。程序：A=1 2 3;B=3 4 5;C=2 4 7;ab=B-A;ac=C-A;S=sqrt(dot(cross(ab,ac),cross(ab,ac)/2运行结果：S = 3.74175.5.2曲面及其方程利用MATLAB提供的绘图函数，可以绘制给定函数的曲面。相关内容在前面已介绍过，请参见4.2.4小节。5.6 多元函数的极限和求导 对于函数有多个变量的情况，求极限和导数时需要指定函数对哪个变量进行求取。在MATLAB中仍然使用limit和diff函数求多元函数的极限和导数。5.6.1 求多元函数的极限例518求极限。程序：syms x yf=(sin(x+y)-sin(x)/y;limit(f,y,0)运行结果：ans =cos(x)5.6.2 求多元函数的导数例519求。程序：syms s tf=sin(s*t);diff(f,t)运行结果：ans =cos(s*t)*s5.6.3求二元隐函数的导数例520设，求。程序：syms x y zf=x*x+y*y+z*z-4*z;fx=diff(f,x);fz=diff(f,z);zx=simplify(-fx/fz)运行结果：zx =-x/(z-2)5.7 级数 级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具，是高等数学的重要组成部分。本节主要介绍级数求和和泰勒级数展开。5.7.1 级数求和可以用symsum函数求级数的和。该函数的调用格式如下：symsum(s)：求符号表达式s相对于符号变量k的和，k由findsym函数确定，取值从0到k-1。symsum(s,v)：求符号表达式s相对于符号变量v的和，v从0到v-1。symsum(s,a,b) 和symsum(s,v,a,b)：指定符号表达式s从v=a累加到v=b。例521求级数、和。程序：syms x k ns1=symsum(n)s2=symsum(1/k2,1,inf)s3=symsum(xk,k,0,inf)运行结果：s1 =1/2*n2-1/2*ns2 =1/6*pi2s3 =-1/(x-1)5.7.2 泰勒级数展开用taylor函数进行泰勒级数展开。该函数的调用格式如下：taylor(f,n,v)：返回f的n-1阶马克劳林多项式近似。f为表示函数的符号表达式，v指定表达式中的独立变量。v可以是字符串或符号变量。taylor(f,n,v,a)：返回f关于a的n-1阶泰勒级数近似。变量a可以是数值、符号或表示数值值或未知值的字符串。n，v和a的顺序没有先后之分。taylor函数根据变量的位置和类型确定它们的用途。还可以忽略n,v,a等变量中的任何一个。如果不确定v，taylor函数用findsym函数确定函数的独立变量。n的默认值为6。泰勒级数：。例522求函数的泰勒级数展开，取前9项。程序：syms xf=1/(5+4*cos(x);t=taylor(f,9)运行结果：t =1/9+2/81*x2+5/1458*x4+49/131220*x6+443/13226976*x865.8 微分方程微分方程可以通过函数dsolve求解，该函数的调用格式为：r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)r=dsolve(eq1, eq2,cond1, cond2,v)输入参数eq1,eq2,表示微