【全程复习方略】高中数学 2.2.1向量的加法课时作业 北师大版必修4.doc

向量的加法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014长春高一检测)向量(ab+mb)+(bo+bc)+om等于()a.bcb.abc.acd.am【解析】选c.原式=ab+bo+om+mb+bc=ac.2.如图所示,四边形abcd是梯形,adbc,则oa+bc+ab=()a.cdb.occ.dad.co【解题指南】根据图形,由向量加法的三角形法则依次求和,即可得到和向量的表达式,从图形中找出相对应的有向线段即可.【解析】选b.由题图可得,oa+bc+ab=ob+bc=oc.故选b.3.(2014合肥高一检测)p为四边形abcd所在平面上一点,pa+pb+pc+pd=ab+cd,则p为()a.四边形abcd对角线交点b.ac中点c.bd中点d.cd边上一点【解题指南】利用向量的三角形法则可得:ab=ap+pb,cd=cp+pd.由于pa+pb+pc+pd=ab+cd,可得pa+pc=ap+cp,即pa+pc=0.即可得出.【解析】选b.因为ab=ap+pb,cd=cp+pd.又pa+pb+pc+pd=ab+cd,所以pa+pc=ap+cp,所以pa+pc=0.所以点p为线段ac的中点.故选b.4.在平行四边形abcd中,ca+ab+bd等于()a.abb.bcc.cdd.dc【解析】选c.ca+ab+bd=cb+bd=cd.故选c.5.(2014青岛高一检测)如图所示的方格纸中有定点o,p,q,e,f,g,h,则op+oq=()a.ohb.ogc.eod.fo【解析】选d.设图中h左侧的点为i,连接opiq,易知四边形opiq为平行四边形,故op+oq=oi,又oi=fo,故选d.【误区警示】本题容易出现误选a的错误,原因是误认为ophq为平行四边形,因此观察图形时应仔细.6.若|a|=3,|b|=4,且a,b方向相反,则|a+b|=()a.3b.4c.5d.1【解析】选d.由题意可知|a+b|=|b|-|a|=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在矩形abcd中,ab+bc=,ab+ba=,ab+ad=.【解析】由向量加法的三角形法则可知,ab+bc=ac,ab+ba=0.由向量加法的平行四边形法则可知,ab+ad=ac.答案:ac0ac8.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走8km”,则|a+b|=,a+b的方向是.【解析】在平面内任意取一点o(如图),作oa=a,ab=b,则ob=a+b,|oa|=|ab|=8,所以|ob|=|oa|2+|ab|2=82+82=82(km),向量ob的方向是东北方向.答案:82km东北方向9.根据图示填空:(1)c+d=.(2)f+e=.(3)a+b+d=.(4)c+d+e=.【解析】(1)c+d=ac+cd=ad=f.(2)f+e=ad+de=ae=g.(3)a+b+d=(ab+bc)+cd=ac+cd=ad=f.(4)c+d+e=(ac+cd)+de=ad+de=ae=g.答案:(1)f(2)g(3)f(4)g三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014沈阳高一检测)如图,e,f,g,h分别是梯形abcd的边ab,bc,cd,da的中点,化简下列各式:(1)dg+ea+cb.(2)eg+cg+da+eb.【解析】(1)dg+ea+cb=gc+be+cb=gc+cb+be=gb+be=ge.(2)eg+cg+da+eb=eg+gd+da+ae=ed+da+ae=ea+ae=0.11.在静水中船的速度为20m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.【解析】作出图形如图:船速v船与岸的方向成角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,可知四边形abcd为平行四边形.在rtacd中,|cd|=|ab|=|v水|=10m/min,|ad|=|v船|=20m/min,所以cos=|cd|ad|=1020=12,所以=60,即船行进的方向与水流方向成120角.【变式训练】一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100m,船的静水航行速度为4m/s,水流的速度为2m/s,试问当船头与水流方向的夹角为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是多大?【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为ts,如图(1),设ab表示水流的速度,ad表示船的航行速度,以ad,ab为邻边作abcd,则ac就是船实际航行的速度.设bac=,bad=,则ac相对于垂直对岸的速度为v=adsin,小船行驶到对岸所用的时间为t=d|ad|sin=1004sin=25sin,(0,).故当sin=1,即=90时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s.当=90,如图(2),在rtabc中,|ab|=2,|bc|=|ad|=4,所以tan=2.答:当船头与水流方向的夹角为90时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25s,此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014济宁高一检测)在正方体abcd-a1b1c1d1中,下列各式中运算的结果与向量ac1共线的有()(ab+bc)+cc1;(aa1+a1d1)+d1c1;(ab+bb1)+b1c1;(aa1+a1b1)+b1c1.a.1个b.2个c.3个d.4个【解题指南】由向量的运算可得4个结果均为向量ac1,由向量的共线可得答案.【解析】选d.由向量的运算可得(ab+bc)+cc1=ac+cc1=ac1,与向量ac1共线;(aa1+a1d1)+d1c1=ad1+d1c1=ac1,与向量ac1共线;(ab+bb1)+b1c1=ab1+b1c1=ac1,与向量ac1共线;(aa1+a1b1)+b1c1=ab1+b1c1=ac1,与向量ac1共线.故选d.2.河水的流速为5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为()a.13m/sb.12m/sc.17m/sd.15m/s【解析】选a.设河水的流速|v2|=5m/s,静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s,小船的静水速度为|v1|,因为为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,即:静水速度v1斜向上游方向,河水速度|v2|=5m/s平行于河岸,静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s指向对岸,所以静水速度|v1|=122+52=13(m/s).3.在平行四边形abcd中,若|bc+ba|=|bc+ab|,则必有()a.平行四边形abcd为菱形b.平行四边形abcd为矩形c.平行四边形abcd为正方形d.以上都不正确【解析】选b.因为bc+ba=bd,bc=ad,所以bc+ab=ad+ab=ac.由|bc+ba|=|bc+ab|可知|bd|=|ac|,所以四边形abcd是矩形.4.设a=(ab+cd)+(bc+da),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为()ab;a+b=a;a+b=b;|a+b|a|+|b|.a.b.c.d.【解析】选c.因为a=(ab+cd)+(bc+da)=ab+bc+cd+da=ad+da=0,故只有正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014青州高一检测)已知o是平行四边形abcd的对角线的交点,则下列说法正确的是(填序号)(1)ab+cb=ac(2)ba+da=ac(3)ad+cd=bd(4)ao+co+ob+od0【解析】根据题意可得:(1)ab+cb=dc+cb=dbac,所以(1)错误.(2)ba+da=cd+da=caac,所以(2)错误.(3)ad+cd=ad+ba=bd,所以(3)正确.(4)ao+co+ob+od=0+0=0,所以(4)错误.答案:(3)6.当非零向量a,b(a,b不共线)满足时,能使a+b平分a与b的夹角.【解析】菱形的对角线平分对角,由平行四边形法则可得,当|a|=|b|时,a+b平分a与b的夹角.答案:|a|=|b|三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014合肥高一检测)如图,点d,e,f分别是abc三边ab,bc,ca的中点,求证:(1)ab+be=ac+ce.(2)ea+fb+dc=0.【证明】(1)因为ab+be=ae,ac+ce=ae,所以ab+be=ac+ce.(2)由向量加法的平行四边形法则可得:ea+fb+dc=(ef+ed)+(fd+fe)+(df+de)=(ef+fe)+(fd+df)+(ed+de)=0.【拓展延伸】用向量证明几何问题的一般步骤(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.(3)还原成几何问题.【变式训练】设e是平行四边形abcd外一点,如图所示,化简下列各式:(1)de+ea.(2)be+ab+ea.(3)de+cb+ec.(4)ba+db+ec+ae.【解析】(1)de+ea=da.(2)be+ab+ea=ea+ab+be=0.(3)de+cb+ec=de+ec+cb=dc+cb=db.(4)ba+db+ec+ae=db+ba+ae+ec=dc.8.重为|g|的物体系在oa,ob两根等长的轻绳上,轻绳挂在半圆形支架上.如图所示,若a端位置固定不变,将ob绳的b端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置c的过程中.oa绳和ob绳的拉力如何变化?【解题指南】ob绳的b端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置c的过程中,物体始终处于平衡状态,找出不变的物理量,画出平行四边形进行分析.【解析】对结点o受力分析如图:结点o始终处于平衡状态,所以ob绳和oa绳上的拉力的合力大小保持不变,方向始终是竖直向上的.所以oa绳和ob绳的拉力变化为:oa绳受力大小变化情况:变小;ob绳受力大小变化情况是:先变小后变大.【变式训练】如图,在重300n的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30,60,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子拉力的大