高中数学 2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用练习 新人教B版选修21.doc

2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用一、选择题1椭圆1中，以点m(1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()a.b.c.d答案b解析设直线与椭圆交于a，b两点，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有x1x22，设直线为yk(x1)2，联立得(916k2)x232k(k2)x(k2)21440.x1x2，2.解得k.故选b.简解：设弦的端点分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)，则，又x1x22，y1y24，.2已知以f1(2,0)，f2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()a3b2c2d4答案c解析设椭圆方程为1，联立得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，由0得a23b2160，而b2a24代入得a23(a24)160解得a27，a.长轴长为2，选c.3p是椭圆1上的一点，f1、f2是焦点，若f1pf260，则pf1f2的面积是()a.b64(2)c64(2)d64答案a解析在pf1f2中，设|pf1|r1，|pf2|r2，则由椭圆定义知r1r220 由余弦定理知cos60，即rrr1r21442得r1r2.spf1f2r1r2sin60.4已知f是椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)的一个焦点，pq是过其中心的一条弦，且c，则pqf面积的最大值是()a.abbabcacdbc答案d解析设它的另一个焦点为f，则|fo|fo|，|po|qo|，fpfq为平行四边形spqfspfqfspff，则当p为椭圆短轴端点时，p到ff距离最大，此时spff最大为bc.即(spqf)maxbc.5椭圆1的焦点为f1和f2，点p在椭圆上如果线段pf1的中点在y轴上，那么|pf1|是|pf2|的()a7倍b5倍c4倍d3倍答案a解析不妨设f1(3,0)，f2(3,0)，由条件知p(3，)，即|pf2|，由椭圆定义知|pf1|pf2|2a4，|pf1|，|pf2|，即|pf1|7|pf2|.6设0cos0.在第二象限且|sin|cos|.二、填空题7过点m(1,1)作斜率为的直线与椭圆c：1(ab0)相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率为_答案解析本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法依题意设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22，y1y22，1，1，所以0，因此e.8在平面直角坐标系xoy中，设椭圆1(ab0)的焦距为2c，以点o为圆心，a为半径作过点p(，0)作圆的两切线且互相垂直，则离心率e_.答案解析如图，切线pa、pb互相垂直，又半径oa垂直于pa，所以oap是等腰直角三角形，故a，解得e.三、解答题9p(1,1)为椭圆1内一定点，经过p引一弦，使此弦在p点被平分，求此弦所在的直线方程解析解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)由消去y得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2.又x1x22，2，得k.故弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30.解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则1，1，两式相减得0.x1x22，y1y22，(y1y2)0，k.此弦所在直线方程为y1(x1)，即x2y30.一、选择题1已知椭圆1的左、右焦点分别为f1、f2，点p在椭圆上若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为()a.b3c.d.答案d解析a216，b29c27c.pf1f2为直角三角形p是横坐标为的椭圆上的点(点p不可能为直角顶点)设p(，|y|)，把x代入椭圆方程，知1y2|y|.2过椭圆1(ab0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若f1pf260，则椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案b解析考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算把xc代入椭圆方程可得yc，|pf1|，|pf2|，故|pf1|pf2|2a，即3b22a2又a2b2c2，3(a2c2)2a2，()2，即e.3椭圆1上有n个不同的点p1、p2、pn，椭圆的右焦点为f，数列|pnf|是公差大于的等差数列，则n的最大值是()a2 000b2 006c2 007d2 008答案a解析椭圆1上距离右焦点f(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点f(1,0)最远的点为左端点(2,0)，数列|pnf|的公差d大于，不妨|p1f|1，|pnf|3,31(n1)d，d，n12 000，即n)的左焦点为f，直线xm与椭圆相交于点a、b，fab的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_答案解析画图分析可知fab的周长的最大值即为4a12，a3，从而c2，故离心率e.6设f1、f2分别为椭圆y21的左、右焦点，点a，b在椭圆上，若5，则点a的坐标是_答案(0,1)或(0，1)解析思路分析：本题主要考查椭圆的几何性质，向量的运算等基础知识，如图，设直线ab与x轴交于点n(n,0)，5f2b，n设直线ab方程为xmy，代入椭圆方程，得：(m23)y23my0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由5得y15y2.，m，y2，从而y11，a点坐标为(0，1)7在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在x轴上，离心率为.过f1的直线l交c于a，b两点，且abf2的周长为16，那么c的方程为_答案1解析本题主要考查椭圆的定义及几何性质依题意：4a16，即a4，又e，c2，b28.椭圆c的方程为1.三、解答题8如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？解析如图所示，建立直角坐标系，则点p坐标为(11，4.5)，椭圆方程为1.将bh6与点p代入椭圆方程，得a，此时l2a33.3因此隧道的拱宽约为33.3米9(2015四川文，20)如图，椭圆e：1(ab0)的离心率是，点p(0,1)在短轴cd上，且pp1.(1)求椭圆e的方程；(2)设o为坐标原点，过点p的动直线与椭圆交于a，b两点是否存在常数，使得oop为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析(1)由已知，点c，d的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点p的坐标为(0,1)，且pp1，于是解得a2，b，所以椭圆e方程为1.(2)当直线ab斜率存在时，设直线ab的方程为ykx1，a，b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k