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线性代数 复旦 大学出版社 课后 习题 答案

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第三章课后答案 1、略 2、略 3、略 4、 5、 6、设存在一组数使得 因线性无关， 有即， 所以线性无关。 7、设存在一组数使得 有 因，且不全为0，所以线性相关。 8、讨论向量组相关性。（本题的特点是向量组的个数等于向量的维数， 其判断法是求向量组成的行列式值是否为0） （1），相关 （2），无关 9、由向量组组成的行列式为 （1）如果行列式等于0，向量组线性相关， （2）如果行列式不等于0，向量组线性无关， （3）当时，向量组相关，设 即 10、用矩阵的秩判别向量组的相关性（方法是求由向量组构成的 矩阵的秩r与向量组个数关系） （1） 所以 ，相关。 （2） 所以 ，无关。 （3），无关。 11、由向量组构成的矩阵为 当时，相关 12、设存在一组数使得 不妨设线性无关，且 如果，则，与题意矛盾， 所以不全为0. 13、略 14、 15、证明 ：（反证法）设有一组不全为0的数使得 因线性无关，所以； 又可由线性表示， 设代入得 即 即可由线性表示，和已知条件矛盾。 16、（1）设存在一组不全为0的数使得 ， 又线性无关，由也线性无关， 所以，有 即，可由线性表示。 (2)(反证法)设能由线性表示， 即存在一组数使得 由（1）得代入上式， 即线性相关，和已知条件矛盾。 17、已知维向量组E：可由维向量组A：线性表示， 即存在一矩阵K使，从而 即，有维向量组A：线性无关。 18、证明：（充分性）任意维向量可由线性表示， 即， 即为空间的一组基，所以线性无关。 （必要性）空间的维数为，是空间中个线性无关的向量组， 所以为空间的一组基，即对任意维向量有 。 19、略 20、略 21、求向量组的秩和极大无关组，其余向量由极大无关组表示； （1） ，极大无关组为本身。（）（参考答案不对） （2） ，为极大无关组 （3） 极大无关组为， 22、略 23、 秩，极大无关组为或或。 24、略 25、略 26、略 27、设有使得 即求的秩 当时，，即不能由表示。 28、略 29、略。

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