【精选】2015年新人教版的九年级数学下册教案

1 .第二十六章 二次函数 本章知识重点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念 3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质 4 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴 5 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解 6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表 达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题 26 1 二次函数 本课知识重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的 过程中体会二次函数的意义 MM 及创新思维 （ 1）正方形边长为 a（ cm），它的面积 s（ cm2）是多少？ （ 2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平方厘米，试写出 y 与 x 的关系式 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义 实践与探索 例 1 m 取哪些值时，函数 )1()( 22 mmxxmmy 是以 x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是二次函 数，须满足的条件是：02 mm 解 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是二次函数，则 02 mm 解得 0m ，且 1m 因此，当 0m ，且 1m 时，函数 )1()( 22 mmxxmmy 是二次函数 回顾与反思 形如 cbxaxy 2 的函数只有在 0a 的条件下才是二次函数 探索 若函数 )1()( 22 mmxxmmy 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 2 值？ 例 2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （ 1）写出正方体的表面积 S（ cm2）与正方体棱长 a（ cm）之间的函数关系； （ 2）写出圆的面积 y（ cm2）与它的周长 x（ cm）之间的函数关系； （ 3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与所存年数 x 之间的函数关系； （ 4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（ cm2）与一对角线长 x（ cm）之间的函数关系 解 （ 1）由题意，得 )0(6 2 aaS ，其中 S 是 a 的二次函数； （ 2）由题意，得 )0(42 xxy，其中 y 是 x 的二次函数； （ 3）由题意，得 10000%98.110000 xy （ x 0 且是正整数）， 其中 y 是 x 的一次函数； （ 4）由题意，得 )260(1321)26(21 2 xxxxxS，其中 S 是 x 的二次函数 例 3正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（ cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积 S（ cm2）与小正方形边长 x（ cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积 解 （ 1） )2150(4225415 222 xxxS； （ 2）当 x=3cm 时， 1 89342 25 2 S （ cm2） 当堂课内练习 1下列函数中，哪些是二次函数？ （ 1） 02 xy （ 2） 2)1()2)(2( xxxy （ 3）xxy 12 （ 4） 322 xxy 2当 k 为何值时，函数 1)1( 2 kkxky 为二次函数？ 3已知正方形的面积为 )( 2cmy ，周长为 x（ cm） (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数 本课课外作业 3 A 组 1 已知函数 72)3( mxmy 是二次函数，求 m 的值 2 已知二次函数 2axy ，当 x=3 时， y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值 3 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径 x 为 3，求此时的 y 4 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之间的函数关系式这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围 B 组 5对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A 22)1( xmy B 22)1( xmy C 22 )1( xmy D 22 )1( xmy 6下列函数关系中，可以看作二次函数 cbxaxy 2 （ 0a ）模型的是 （ ） A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的 变化关系 C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D 圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一 )知识与技能 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h是实数 )交点的横坐标 (二 )过程与方法 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想 3通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识 (三 )情感态度与价值观 1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 4 造感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2具有初步的创新精神和实践能力 教学重 点 1体会方程与函数之间的联系 2理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h是实数 )交点的横坐标 教学难点 1探索方程与函数之间的联系的过程 2理解二次函数与 x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过程 .创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k 0)和一次函数 y kx+b(k 0)后，讨论了它们之间的关系当一次函数中的函数值 y=0 时， 一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数 )y=kx+b(k 0)的图象与 x轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b 0的解 现在我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c 0(a 0)和二次函数 y ax2+bx+c(a 0)，它们之间是否也存在一定的关系呢 ? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成 . 观察：教材 22页，学生小组交流 . 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳 . .应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与 x轴的交点情况求待定系数的范围 . 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x轴的交点情况 总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系 2理解了二次函数与 x轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根 ,两个相等的实根和没有实根 . 3.数学方法 :分类讨论和数形结合 . 反 思：在判断抛物线与 x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 5 课后作业 P231.3.5 26 2 二次函数的图象与性质（ 1） 本课知识重点 会用描点法画出二次函数 2axy 的图象，概括出图象的特点及函数的性质 MM 及创新思维 我们已经知道，一次函数 12 xy ，反比例函数xy 3的图象分别是 、 ，那么二次函数 2xy 的图象是什么呢？ （ 1）描点法画函数 2xy 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当 x 取互为相反数的值时， y 的值如何？ （ 2）观察函数 2xy 的图象，你能得出什么结论？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （ 1） 22xy （ 2） 22xy 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 22xy 18 8 2 0 2 8 18 22xy -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图 26 2 1 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点 不同点： 22xy 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右 边，曲线自左向右上升 22xy 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 6 物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接 例 2已知 42)2( kkxky 是二次函数，且当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值； （ 2）求顶点坐标和对称轴 解 （ 1）由题意，得02242kkk ， 解得 k=2 （ 2）二次函数为 24xy ，则顶点坐标为（ 0， 0），对称轴为 y 轴 例 3已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2 （ 1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （ 2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （ 3）根据图象，求出 C 取何值时， S 4 cm2 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量 C 的取值应在取值范围 内 解 （ 1）由题意，得 )0(161 2 CCS 列表： C 2 4 6 8 2161 CS 41 1 49 4 描点、连线，图象如图 26 2 2 （ 2）根据图象得 S=1 cm2时，正方形的周长是 4cm （ 3）根据图象得，当 C 8cm 时， S 4 cm2 回顾与反思 （ 1）此图象原点处为空心点 （ 2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、 S，不要习 惯地写成 x、 y （ 3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分 当堂课内练习 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 （ 1） 23xy （ 2） 23xy （ 3） 231xy2（ 1）函数 232xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （ 2）函数 241 xy 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的 7 草图 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 （ 1） 24xy （ 2） 241 xy2填空： （ 1）抛物线 25xy ，当 x= 时 ， y 有最 值，是 （ 2）当 m= 时，抛物线 mmxmy 2)1( 开口向下 （ 3）已知函数 122 2)( kkxkky 是二次函数，它的图象开口 ，当 x 时， y随 x 的增大而增大 3已知抛物线 102 kkkxy 中，当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值； （ 2）作出函数的图象（草图） 4已知抛物线 2axy 经过点（ 1， 3），求当 y=9 时， x 的值 B 组 5底面是边长为 x 的正方形，高为 0 5cm 的长方体的体积为 ycm3（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）画出函数的图象；（ 3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值；（ 4）根据图象，求出 x 取何值时， y 4 5 cm3 6二次函数 2axy 与直线 32 xy 交于点 P（ 1， b） （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小 7 一个函数的图象是以原点为顶点， y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（ -2， 2） （ 1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （ 2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出 MON 的面积 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 2） 本课知识重点 会画出 kaxy 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 MM 及创新思维 同学们还记得一次函数 xy 2 与 12 xy 的图象的 关系吗？ 8 ，你能由此推测二次函数 2xy 与 12 xy 的图象之间的关系吗？ ，那么 2xy 与 22 xy 的图象之间又有何关系？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出函数 22xy 与 22 2 xy 的图象 解 列表 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26 2 3 所示 回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两 个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数 22xy 与 22 2 xy 的图象之间的关系吗？ 例 2在同一直角坐标系中，画出函数 12 xy 与 12 xy 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线 12 xy 得到抛物线 12 xy 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 22xy 18 8 2 0 2 8 18 22 2 xy 20 10 4 2 4 10 20 x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26 2 4 所示 可以看出，抛物线 12 xy 是由抛物线 12 xy 向下平移两个单位得到的 回顾与反思 抛物线 12 xy 和抛物线 12 xy 分别是由抛物线 2xy 向上、向下平移一个单位得到的 探索 如果要得到抛物线 42 xy ，应将抛物线 12 xy 作怎样的平移？ 例 3一条抛物线的开口方向、对称轴与 221 xy相同，顶点纵坐标是 -2，且抛物线 经过点（ 1， 1），求这条抛物线的函数关系式 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（ 0， -2）， 因此所求函数关系式可看作 )0(22 aaxy ， 又抛物线经过点（ 1， 1）， 所以， 211 2 a ， 解得 3a 故所求函数关系式为 23 2 xy 回顾与反思 kaxy 2 （ a、 k 是常数， a 0）的图象的开口方向 、对称轴、顶点坐标归纳如下： kaxy 2 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 0a 12 xy -8 -3 0 1 0 -3 -8 12 xy -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 10 当堂课内练习 1 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 221 xy ， 221 2 xy ， 221 2 xy 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置 你能说出抛物线 kxy 221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2抛物线 941 2 xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 241 xy向 平移 个单位得到的 3函数 33 2 xy ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 本课课外作业 A 组 1已知函数 231xy， 331 2 xy， 231 2 xy （ 1）分别画出它们的图象； （ 2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （ 3）试说出函数 531 2 xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 2 不画图象，说出函数 341 2 xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 241 xy 通过怎样的平移得到的 3若二次函数 22 axy 的图象经过点（ -2， 10），求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？ B 组 4在同一直角坐标系中 baxy 2 与 )0,0( babaxy 的图象的大致位置是( ) 11 5已知二次函数 7)1(8 2 kxkxy ，当 k 为何值时，此二次函数以 y 轴为对称轴？写出其函数关系式 本课 学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 3） 本课知识重点 会画出 2)( hxay 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 MM 及创新思维 我们已经了解到，函数 kaxy 2 的图象，可以由函数 2axy 的图象上下平移所得，那么函数 2)2(21 xy的图象，是否也可以由函数 221 xy平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗 ？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 221 xy ， 2)2(21 xy ， 2)2(21 xy ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 221 xy 292 210 212 29 2)2(21 xy 210 212 2258 225 2)2(21 xy 2258 29 2 210 21 12 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26 2 5 所示 它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和直线 x=2；顶点坐标分别是 （ 0， 0），（ -2， 0），（ 2， 0） 回顾与反思 对于抛物线 2)2(21 xy，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 探索 抛物线 2)2(21 xy和抛物线2)2(21 xy分别是由抛物线 221 xy向左、向右平移两个单位得到的如果要得到抛物线 2)4(21 xy，应将抛物线 221 xy作怎样的平移？ 例 2不画出图象，你能说明抛物线 23xy 与 2)2(3 xy 之间的关系吗 ? 解 抛物线 23xy 的顶点坐标为（ 0， 0）；抛 物线 2)2(3 xy 的顶点坐标为（ -2，0） 因此，抛物线 23xy 与 2)2(3 xy 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y轴和直线 2x 抛物线 2)2(3 xy 是由 23xy 向左平移 2 个单位而得的 回顾与反思 2)( hxay （ a、 h 是常数， a 0）的图象的开口方向、对 称轴、顶点坐标归纳如下： 2)( hxay 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 0a 13 当堂课内练习 1画图填空：抛物线 2)1( xy 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线 2xy 向 平移 个单位得到的 2在同一直角坐标系中，画 出下列函数的图象 22xy ， 2)3(2 xy ， 2)3(2 xy ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 本课课外作业 A 组 1已知函数 221 xy ， 2)1(21 xy， 2)1(21 xy （ 1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （ 2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （ 3）分别讨论各个函 数的性质 2根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 221 xy 得到抛物线 2)1(21 xy和 2)1(21 xy？ 3函数 2)1(3 xy ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小当 x 时，函数取得最 值，最 值 y= 4不画出图象，请你说明抛物线 25xy 与 2)4(5 xy 之间的关系 B 组 5将抛物线 2axy 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （ 1， 3），求 a 的值 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 4） 本课知识重点 1掌握把抛物线 2axy 平移至 2)( hxay +k 的规律； 2会画出 2)( hxay +k 这类函数的图象，通 过比较，了解这类函数的性质 MM 及创新思维 14 由前面的知识，我们知道，函数 22xy 的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数22 2 xy 的图象；函数 22xy 的图象，向右平移 3个单位，可以得到函数 2)3(2 xy的图象，那么函数 22xy 的图象，如何平移，才能得到函数 2)3(2 2 xy 的图象呢？ 实践与探索 例 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 221 xy ， 2)1(21 xy ， 2)1(21 2 xy ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 解 列表 描点、连线，画出这 三个函数的图象，如图 26 2 6 所示 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 2)( hxay +k 中 k 的值；左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确x -3 -2 -1 0 1 2 3 221 xy 29 2 21 0 21 2 29 2)1(21 xy 8 292 210 212 2)1(21 2 xy 6 25 0 23-2 230 15 定平移前、后的函数关系式及平 移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关 探索 你能说出函数 2)( hxay +k（ a、 h、 k 是常数， a 0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表 2)( hxay +k 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 0a 例 2 把抛物线 cbxxy 2 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线2xy ，求 b、 c 的值 分析 抛物线 2xy 的顶点为（ 0， 0），只要求出抛物线 cbxxy 2 的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、 c 的值 解 cbxxy 2 cbbbxx 442224)2(22 bcbx 向上平移 2 个单位，得到 24)2(22 bcbxy ， 再向左平移 4 个单位，得到 24)42(22 bcbxy ， 其顶点坐标是 )24,42(2 bcb ，而抛物线 2xy 的顶点为（ 0， 0），则 0240422bcb解得 148cb 探索 把抛物线 cbxxy 2 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线2xy ，也就意味着把抛物线 2xy 向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛 16 物线 cbxxy 2 那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试 当堂课内练习 1将抛物线 1)4(2 2 xy 如何平移可得到抛物线 22xy （ ） A向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D向右 平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 2把抛物线 223 xy 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数关系式为 3抛物线 22121 xxy 可由抛物线 221 xy 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到 本课课外作业 A 组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 23xy ， 2)2(3 xy ， 1)2(3 2 xy ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 2将抛物线 522 xxy 先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3将抛物线2321 2 xxy如何平移，可得到抛物线 3221 2 xxy？ B 组 4把抛物线 cbxxy 2 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线532 xxy ，则有 （ ） A b =3， c=7 B b= -9， c= -15 C b=3， c=3 D b= -9， c=21 5抛物线 cbxxy 23 是由抛物线 13 2 bxxy 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到的，求 b、 c 的值 6将抛物线 )0(2 aaxy 向左平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位，其中 h 0， k 0，求所得的抛物线的函数关系式 本课学习体会 17 26 2 二次函数的图象与性质（ 5） 本课知识重点 1能通过配方把二次函数 cbxaxy 2 化成 2)( hxay +k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2会利用对称性画出二次函数的图象 MM 及创新思维 我们已经发现，二次函数 1)3(2 2 xy 的图象，可以由函数 22xy 的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数 1)3(2 2 xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函数，如 232 xxy ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ 实践与探索 例 1通过配方，确定抛物线 642 2 xxy 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图 解 642 2 xxy 8)1(261)1(26)112(26)2(22222xxxxxx因此，抛物线开口向下，对称轴是直线 x=1，顶点坐标为（ 1， 8） 由对称性列表： x -2 -1 0 1 2 3 4 642 2 xxy -10 0 6 8 6 0 -10 描点、连线，如图 26 2 7 所示 回顾与反思 （ 1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值 可由对称性得到， （ 2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点 18 探索 对于二次函数 cbxaxy 2 ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例 2已知抛物线 9)2(2 xaxy 的顶点在坐标轴上，求 a 的值 分析 顶点在坐标轴上有两种可 能：（ 1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（ 2）顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0 解 9)2(2 xaxy4 )2(9)2 2(22 aax ， 则抛物线的顶点坐标是 4 )2(9,2 22aa 当顶点在 x 轴上时，有 022a， 解得 2a 当顶点在 y 轴上时，有 04 )2(92 a ， 解得 4a 或 8a 所以，当抛物线 9)2(2 xaxy 的顶点在坐标轴上时， a 有三个值，分别是 2， 4，8 当堂课内练习 1（ 1）二次函数 xxy 22 的对称轴是 （ 2）二次函数 122 2 xxy 的图象的顶点是 ，当 x 时 ， y 随 x 的增大而减小 （ 3）抛物线 642 xaxy 的顶点横坐标是 -2，则 a = 2抛物线 cxaxy 22 的顶点是 )1,31( ，则 a 、 c 的值是多少？ 本课课外作业 A 组 1已知抛物线25321 2 xxy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象 2利用配方法，把下列函数写成 2)( hxay +k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、 19 对称轴和顶点坐标 （ 1） 162 xxy （ 2） 432 2 xxy （ 3） nxxy 2 （ 4） qpxxy 2 3已知 622)2( kkxky 是二次函数，且当 0x 时， y 随 x 的增大而增大 （ 1）求 k 的值；（ 2）求开口方向 、顶点坐标和对称轴 B 组 4当 0a 时，求抛物线 22 212 aaxxy 的顶点所在的象限 5. 已知抛物线 hxxy 42 的顶点 A 在直线 14 xy 上，求抛物线的顶点坐标 本课学习体会 26 2 二次函数的图象与性质（ 6） 本课知识重点 1会通过配方求出二次函数 )0(2 acbxaxy 的最大或最小值； 2在实际应用中体会二次函数作为一种 数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值 MM 及创新思维 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可销出约 100 件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加约 10 件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二次函数 200010010 2 xxy 那么，此问题可归结为：自变量 x 为何值时函数 y 取得最大值？你能解决吗 ? 实践与探索 例 1求下列函数的最大值或最小值 （ 1） 532 2 xxy ； （ 2） 432 xxy 分析 由于函数 532 2 xxy 和 432 xxy 的自变量 x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值 解 （ 1）二次函数 532 2 xxy 中的二次项系数 2 0， 20 因此抛物线 532 2 xxy 有最低点，即函数有最小值 因为 532 2 xxy =849)43(2 2 x， 所以当43x时，函数 532 2 xxy 有最小值是849 （ 2）二次函数 432 xxy 中的二次项系数 -1 0， 因此抛物线 432 xxy 有最高点，即函数有最大值 因为 432 xxy =425)23( 2 x， 所以当23x时，函数 432 xxy 有最大值是425 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号， a 0 有最小值， a 0 有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 探索 试一试，当 2 5 x 3 5 时，求二次函数 322 xxy 的最大值或最小值 例 2某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润 =日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 200 xy 设每日销售利润为 s 元，则有 1 6 0 0)160()120( 2 xxys 因为 01 2 0,02 0 0 xx ，所以 200120 x 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600 元 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果 例 3如图 26 2 8，在 Rt ABC 中， C=90， BC=4， AC=8，点 D 在斜边 AB 上，分别作 DE AC， DF BC，垂足分别为 E、 F，得四边形 DECF，设 DE=x， DF=y 21 （ 1）用含 y 的代数式表示 AE； （ 2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （ 3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出S 的最大值 解 （ 1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此 yDFACAE 8 （ 2）由 DE BC ，得ACAEBCDE ，即884 yx ， 所以， xy 28 ， x 的取值范围是 40 x （ 3） 8)2(282)28( 22 xxxxxxyS ， 所以，当 x=2 时， S 有最大值 8 当堂课内练习 1对于二次函数 mxxy 22 ，当 x= 时， y 有最小值 2已知二次函数 bxay 2)1( 有最小值 1，则 a 与 b 之间的大小关系是 （ ） A a b B a=b C a b D不能确定 3某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件 （ 1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （ 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 本课课外作业 A 组 1求下列函数的最大值或最小值 （ 1） xxy 22 ； （ 2） 122 2 xxy 2已知二次函数 mxxy 62 的最小值为 1，求 m 的值， 3心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满足函数关系： )300(436.21.0 2 xxxy y 值越大，表示接受能力越强 （ 1） x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？ x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （ 2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （ 3）第几分时，学生的接受能力最强？ 22 B 组 4不论自变量 x 取什么 数，二次函数 mxxy 62 2 的函数值总是正值，求 m 的取值范围 5如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2 （ 1）求 S 与 x 的函数关系式； （ 2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃， AB 的长是多少米？ （ 3）能围成面积比 45 m2 更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 6如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4，线段 EF 在对角线 AC上， EG AD， FH BC，垂足分别是 G、 H，且 EG+FH=EF （ 1）求线段 EF 的长； （ 2）设 EG=x， AGE 与 CFH 的面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并求出 S 的最小值 本课学习体会 26 . 2 二次函数的图象与性质（ 7） 本课知识重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式 MM 及创新思维 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式例如：我们在确定一次函数 )0( kbkxy 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数 )0( kxky的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数 )0(2 acbxaxy 的关系式，又需要几个条件呢？ 实践与探索 例 1某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26 2 9 所示，现测得水面宽 1 6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2 4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立了直角坐标系这 时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2 aaxy 此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式 23 解 由题意，得点 B 的坐标为（ 0 8， -2 4）， 又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 )0(2 aaxy ，得 28.04.2 a 所以 415a 因此，函 数关系式是 2415 xy 例 2根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 （ 1）已知二次函数的图象经过点 A（ 0， -1）、 B（ 1， 0）、 C（ -1， 2）； （ 2）已知抛物线的顶点为（ 1， -3），且与 y 轴交于点（ 0， 1）； （ 3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（ -3， 0）、（ 5， 0），且与 y 轴交于点（ 0， -3）； （ 4）已知抛物线的顶点为（ 3， -2），且与 x 轴两交点间的距离为 4 分析 （ 1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 cbxaxy 2 的形式；（ 2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 3)1( 2 xay ，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（ 3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为