2012 上海中学生 数学应用知识竞赛 高中组.doc

1、位于沙漠边缘的某县坚持治理沙漠，2011年底绿化率已达30%。在长期治理过程中，发现有以下规律：每年原有沙漠面积的16%被改造为绿洲，同时原有绿洲的4%又被侵蚀退化为沙漠。假定上述规律一直持续下去，那枚至少还需治理多少年，该县的绿化率将超过60%（年数取整数）2、某广告设计人员想设计一张画面面积为4840平方厘米的广告，按要求，印刷时还需上、下各留8cm空白、左右则为5cm。问：1）如果画面的宽高比固定且不超过1，那么当画面的宽度和高度各为多少，可使印刷用纸最省？2）如果用户要求画面宽高比在2/3，3/4之间，问：此时是否存在最节约纸张的黄面宽度和高度？3、某人计划投资x元购买某股票，该股票当前的价格为每股a元。投资顾问的判断是，一年后该股票可能保持原价或涨至ra元或跌至a/r元（其中r1）。涨至ra元或跌至a/r元的概率均为P。投资顾问的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值最大则现在就买，若期望一年后所拥有的股票数量最多则一年后买。投资顾问的建议对吗？为什么？4、下图是某山脉横截面的示意图。，图中EAGHF部分是岩石，AG是垂直的悬崖。雪崩前，积雪充满了区域AGHB；雪崩后雪区为CGHD。已知雪崩使山顶雪线下降了2Om，即AC=20m，山脚雪区向前延伸了10m，即BD=10m，雪崩后堆雪的坡度为60度，即角CDH=60度。建设山脉长100m，积雪在雪崩前后体积不变，问这次雪崩有多少体积的积雪从山上崩塌下来？5、某校操场为长方形，四角各有一棵树。现学校想扩大操场，但须满足如下条件：（A）扩大后的操场仍保持矩形形状，操场的各边方向可以改变；（B）四棵树不得挪动，并保持在扩大后的操场的周界上。试问：如何改建，可使扩大后的操场面积达到最大？6、假定某一居民小区要选出5名代表组成业主委员会，代表全体业主实行管理职权。已知该小区共有4000名居民有选举权（简称选民），现有两种选举方案：方案A：每个选民对各候选人最多投一票，投票总数不超过5票，得票最多的5位候选人当选；方案b：每个选明对各候选人最多投票，投票总数不超过5票，得票最多的5位候选人当选问：(1)在方案A下，一个拥有2001位选民的联盟最多可确保几位目标候选人当选?(2)在方案B下，一个拥有2001位选民的联盟最多可确保几位目标候选人当选?(3)在方案b下，假如一个联盟要确保其5位目标候选人都当选，那么该联盟至少要有多少选民？7、某化工厂有8种产品。由于安全原因，有些铲平不允许存放在同一个仓库。具体情况由下表给出：（“X”表示该两种铲平不允许存放在同一仓库内）（1）该厂需要几个成品仓库，产品应如何存放？（2）工厂新增了第9种产品，它不允许与原有的1、3、8号产品同放。工厂是否可以通过调整存放方案，不再建新库？8、公司生产三种产品A、B和C，需要劳动力和原材料两种资源。现在要确定总利润最大的最优生产计划。已给出下述线性规划模型，其中x1、x2、x3为产品A、B和C的产量，价格单位为千元。试根据线性规划模型回答下述问题（1）假定能以10千元的价格，另外买进15单位的原材料，这样做是否合算？（2