高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文 北师大版.ppt

第一章集合与常用逻辑用语 第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 最新考纲1 理解命题的概念 2 了解 若p 则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 理解充分条件 必要条件与充要条件的含义 j基础知识自主学习 1 命题的概念可以判断真假 用文字或 表述的语句叫作命题 其中判断为真的语句叫作真命题 判断为假的语句叫作假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 符号 2 四种命题的真假关系 两个命题互为 它们有相同的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有确定的关系 3 充分条件与必要条件 1 若p q 则p是q的 条件 q是p的 条件 2 若p q且qp 则p是q的 条件 3 若pq且q p 则p是q的 条件 4 若p q 则p是q的 条件 5 若pq且qp 则p是q的 条件 逆否命题 充分 必要 充分而不必要 必要而不充分 充要 既不充分也不必要 判一判 1 x2 1 是命题 解析错误 无法判断x2 1的真假 2 cosx 3 是命题 解析正确 cosx 3是假命题 3 四种形式的命题中 真命题的个数为0或2或4 解析正确 由于原命题与其逆否命题为等价命题 原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题 故四种命题中正确的个数不可能为奇数 只能为0或2或4 4 若把四种命题中的逆命题作为原命题 则其否命题是它的逆否命题 解析正确 由四种命题间的关系可知 5 否命题就是命题的否定 解析错误 否命题既否定原命题的条件又否定原命题的结论 而命题的否定只否定原命题的结论 6 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 答案a 2 2015 山东卷 设m r 命题 若m 0 则方程x2 x m 0有实根 的逆否命题是 a 若方程x2 x m 0有实根 则m 0b 若方程x2 x m 0有实根 则m 0c 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0d 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0 解析原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定 作为新命题的结论和条件 所以其逆否命题为 若方程x2 x m 0没有实根 则m 0 答案d 3 2015 天津卷 设x r 则 x 2 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析因为 x 2 0等价于x1 所以 x 11 故 x 2 0 的充分而不必要条件 答案a 4 命题 若b2 4ac 0 则方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实根 的否命题 逆命题和逆否命题中 真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析原命题为真 则它的逆否命题为真 逆命题为 如果方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实根 则b2 4ac 0 为真命题 则它的否命题也为真 答案d 5 若 m a 是 方程x2 x m 0有实数根 的必要不充分条件 则实数a的取值范围是 r热点命题深度剖析 例1 1 设原命题 若a b 2 则a b中至少有一个不小于1 则原命题与其逆命题的真假情况是 a 原命题为真 逆命题为假b 原命题为假 逆命题为真c 原命题与逆命题均为真命题d 原命题与逆命题均为假命题 解析 若a b 2 则a b中至少有一个不小于1是正确的 原命题的逆命题为 若a b中至少有一个不小于1 则a b 2 该命题为假命题 如a 2 b 2 则a b 0 2 所以逆命题为假 故选a 答案 a 2 以下关于命题的说法正确的有 填写所有正确命题的序号 log2a 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 是真命题 命题 若a 0 则ab 0 的否命题是 若a 0 则ab 0 命题 若x y都是偶数 则x y也是偶数 的逆命题为真命题 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 等价 解析 对于 若log2a 0 log21 则a 1 所以函数f x logax在其定义域内是增函数 故 不正确 对于 依据一个命题的否命题的定义可知 该说法正确 对于 原命题的逆命题是 若x y是偶数 则x y都是偶数 是假命题 如1 3 4是偶数 但3和1均为奇数 故 不正确 对于 不难看出 命题 若a m 则b m 与命题 若b m 则a m 互为逆否命题 因此二者等价 所以 正确 综上可知正确的说法有 规律方法 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 变式训练1 1 命题 已知c 0 若a b 则ac bc 的逆命题是 已知c 0 若ac bc 则a b 2 下列命题中为真命题的是 a 命题 若x y 则x y 的逆命题b 命题 若x 1 则x2 1 的否命题c 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题d 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题 解析a中逆命题为 若x y 则x y 是真命题 b中否命题为 若x 1 则x2 1 是假命题 c中否命题为 若x 1 则x2 x 2 0 是假命题 d中原命题是假命题 从而其逆否命题也为假命题 故选a 答案a 例2 1 2015 福建卷 若l m是两条不同的直线 m垂直于平面 则 l m 是 l 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 因为m 若l m 则l 或l 即l mdl 若l 则l m 即l l m 所以 l m 是 l 的必要而不充分条件 答案 b 答案 b 3 给定两个命题p q 若綈p是q的必要而不充分条件 则p是綈q的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 规律方法 充分条件与必要条件的判断方法 1 定义法 2 集合法记条件p q对应的集合分别为a b 则 若a b 则p是q的充分条件 若ab 则p是q的充分而不必要条件 若a b 则p是q的必要条件 若ab 则p是q的必要而不充分条件 若a b 则p是q的充要条件 若ab 且ab 则p是q的既不充分也不必要条件 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 如 xy 1 是 x 1或y 1 的某种条件 即可转化为判断 x 1且y 1 是 xy 1 的某种条件 变式训练2 1 2015 浙江卷 设a b是实数 那么 a b 0 是 ab 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析当a 2 b 3时 a b 0 但ab0 但a b0 是 ab 0 的既不充分也不必要条件 答案d 2 若a log2a 1 b x的二次方程x2 a 1 x a 2 0的一个根大于零 另一个根小于零 则a是b的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析解法一 由log2a 1 解得0 a 2 而方程x2 a 1 x a 2 0的一根大于零 另一根小于零的充要条件是f 0 0 即a 2 0 解得a 2 因为 若0 a 2 则a 2 是真命题 而 若a 2 则0 a 2 是假命题 所以 0 a 2 是 a 2 的充分不必要条件 所以a是b的充分不必要条件 选a 解法二 由解法一可知 满足条件a的参数a的取值集合为m a 0 a 2 满足条件b的参数a的取值集合为n a a 2 显然mn 所以a是b的充分不必要条件 选a 答案a 3 如果x y是实数 那么 x y 是 cosx cosy 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析设集合a x y x y b x y cosx cosy 则a的补集c x y x y b的补集d x y cosx cosy 显然cd 所以ba 于是 x y 是 cosx cosy 的必要不充分条件 故选c 答案c 解析 因为函数f x 过点 1 0 所以函数f x 有且只有一个零点 函数y 2x a x 0 没有零点 函数y 2x x 0 与直线y a无公共点 由数形结合 可得a 0或a 1 观察选项 根据集合间关系 a a1 故选a 答案 a 2 设条件p 2x2 3x 1 0 条件q x2 2a 1 x a a 1 0 若綈p是綈q的必要不充分条件 则实数a的取值范围是 规律方法 由充分必要条件求参数范围问题时 一般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 组 求解 但要注意对区间端点值的检验 变式训练3已知p x x2 8x 20 0 s x 1 m x 1 m 1 是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 若存在 求出m的范围 2 是否存在实数m 使x p是x s的必要条件 若存在 求出m的范围 s思想方法感悟提升 1个区别 a是b的充分不必要条件 与 a的充分不必要条件是b 的区别 a是b的充分不必要条件 中 a是条件 b是结论 a的充分不必要条件是b 中 b是条件 a是结论 在进行充分 必要条件的判断中 要注意这两种说法的区别 2条规律 四种命题间关系的两条规律 1 逆命题与否命题互为逆否命题 互为逆否命题的两个命题同真假 2 当判断一个命题的真假比较困难时 可转化为判断它的