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第四章 平面图形及其位置关系4.1线段、射线、直线授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.1线段、射线、直线教学目标1使学生在了解直线概念的基础上，理解射线和线段的概念，并能理解它们的区别与联系2通过直线、射线、线段概念的教学，培养学生的几何想象能力和观察能力，用运动的观点看待几何图形3培养学生对几何图形的兴趣，提高学习几何的积极性教学重点和难点直线、射线、线段的概念是重点对直线的“无限延伸”性的理解是难点教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、联系实际，提出问题1让学生举出实际生活中所见到的直线的实例(可请56位学生发言)2教师总结：铅笔、尺子、桌子边沿等都有长度，是可以度量的，它们都是直线的一部分，此时给出直线的概念“直线是向两个方向无限延伸着的”继而提问“无限延伸”怎样解释，教师可形象的归纳出“直线是无头无尾、要多长有多长”让学生闭起眼睛想象一下再提问：在我们以前学过的知识中有没有真正是直线的例子？(数轴)3通过前面学生所举的例子，给出线段定义“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段”4教师画出一条直线，并在直线上标出一条线段，然后擦掉一部分，只剩下一条射线，先看它与直线、线段的区别，后给出射线的定义：“直线上的一点和它一旁的部分叫做射线”（二）、正确表示直线、射线和线段1直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母但前面必须加“直线”两字，如：直线l；直线m，直线AB；直线CD(板书表示出来)2线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母但前面必须加“线段”两字如：线段a；线段AB(板书表示出来)3射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字如：射线a；射线OA(板书表示出来)（三）、运动变化，找出联系1让学生找出三者之间的区别：端点的个数，0个，1个，2个2教师通过图示将线段变化为射线、直线指出事物之间都不是孤立的，静止的，而是互相联系的，变化的(1)先画出线段AB，然后向一方延长，成为一条射线，再向相反的方向延长，成为一条直线告诉学生：线段向一方延长就会成为射线，向两方延长就会成为直线因此，直线、射线都可以看作是由线段运动而成的(2)再画出一条直线，在直线上任找一点，擦掉一点一旁的部分，就成为一条射线，在射线上再找一点，两点之间的部分就成为一条线段（四）、回到实际，巩固概念1让学生举出生活中的直线、射线和线段的事例如：手电筒的光线，灯泡发出的光线等2练习：(1)如图1-1，A，B，C，D为直线l上的四个点问：图中共有几条线段？以C为端点的射线有哪几条？(2)如图1-2，A，B，C为平面上的三个点，分别画出过点A，B；点A，C；点B，C的三条直线(3)如图1-3，P是直线l外一点，A是直线L上一点过P，A作一条直线；过A作一条射线(4)如图1-4，图中共有多少条线段？（五）学生自己动手做一做1.过一点可以画几条直线？2.过两点可以画几条直线？通过学生自己动手尝试得出直线性质经过两点有且只有一条直线。然后与学生一起探讨这一性质在生活中的应用。（六）、小结1教师提问：(1)本节课你掌握了几个几何概念？(2)直线、射线和线段三者之间的关系是什么？(3)本节课应该理解哪几个关键词？(4)在表示直线、射线和线段时应注意什么？在学生回答的基础上教师给以完善和补充，并进一步强调三者之间的关系同时指出这三个概念是平面几何的基础2直线有什么性质呢？ 练习设计 p11，1；p12，3；p14，12板书设计 4.1线段、射线、直线 直线，线段，射线不同点：1. 端点个数：0，2，12. 可否度量：否，可以，可以。3. 直线性质:经过两点有且只有一条直线。教学后记1本课的教学时间为1课时。2本设计对教材顺序稍加改动，先将直线、射线和线段的概念给出，然后再讲它们的性质这样对于学生建构知识结构较为有利4.2比较线段的长短授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.2比较线段的长短教学目标1使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想2使学生学会线段的两种比较方法及表示法3通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力教学重点和难点对线段与数之间的关系的认识，掌握线段比较的正确方法，是本节的重点，也是难点教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、复习线段的概念，引出线段的长度的度量和表示1学生动手画出(1)直线AB(2)射线OA(3)线段CD2提出问题：能否量出直线、射线、线段的长度？(如果有学生将直线、射线也量出了长度，借此复习直线和射线的概念)3提出数与形的问题：线段是一个几何图形，而线段的长度可用一个正数表示这就是数与形的结合4线段的两种度量方法：(1)直接用刻度尺(2)圆规和刻度尺结合使用(教师可让学生自己寻找这两种方法)二、通过实例，引导学生发现线段大小的比较方法教师设计以下过程由学生完成1怎样比较两个学生的身高？提出为什么要站在一起，脚底要在一个平面上？2怎样比较两座大山的高低？只要量出它们的高度由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法：重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置教师为学生演示，步骤有三：(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合(2)线段AB沿着线段CD的方向落下(3)若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作ABCD若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作ABCD数量比较法 用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比较可以用推理的写法，培养学生的推理能力写法如下：因为 量得AB=cm，CD=cm，所以 AB=CD(或ABCD或ABCD)总结：现在我们学会了比较线段的大小，还会比较什么？学生可以回答出，可以比较数的大小，进而再问：数的大小如何比较？(数轴)再问：比较线段的大小与比较数的大小有什么联系？引导学生得到：比较线段的大小就是比较数的大小通过游泳过河这个生活中胡实例与学生共同探讨线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。中点概念：把线段分成相等的两个部分的点。C为线段AB中点：AC=BC=1/2AB小结1教师提问：怎样表示线段的长度？怎样比较线段的大小？通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解？2根据学生回答的情况，教师重点总结数与形的结合以及比较线段大小的两种方法练习设计随堂练习 习题4.2板书设计 4.2比较线段的长短 两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。中点概念：把线段分成相等的两个部分的点。C为线段AB中点：AC=BC=1/2AB线段的比较方法：1重叠比较法 2数量比较法九、教学后记1本课的教学时间为1课时2本课时设计的主导思想是：将数形结合的思想渗透给学生，使学生对数与形有一个初步的认识为将来的学习打下基础，这节课是一堂起始课，它为学生的思维开拓了一个新的天地在传统的教学安排中，这节课的地位没有提到一定的高度，只是交给学生比较线段的方法，没有从数形结合的高度去认识实际上这节课大有可讲，可以挖掘出较深的内容在教知识的同时，交给学生一种很重要的数学思想这一点不容忽视，在日常的教学中要时时注意 4.3角的度量与表示授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.3角的度量与表示教学目标1使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法2使学生掌握角的各种表示方法3通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点4使学生掌握平角、周角和直角的概念教学重点和难点角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、从实际生活中建立角的概念1问题的提出：回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系以后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想，在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？(让学生思考几分钟后，举手发言，由于学生的几何知识还不多，因此可能举出的例子很少，或者有不妥之处，教师应加以鼓励并引导)2教师总结：三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角这些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到，今天我们先学习角的有关概念3让学生自己观察在实际生活中看到的角(如：桌子的角、钟表的时针和分针所成的角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等)4教师提问：通过同学们的例子，我们应该怎样给角下定义呢？引导学生观察这些角的共同特点：角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线由此引导学生得到角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件(1)有两条射线这两条射线叫做角的两边(2)两条射线有一个公共的端点这个公共的端点叫做角的顶点(3)还应指出的是：我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸5教师提问钟表的指针是怎样形成角的？学生能够回答：一个指针在转教师这时指出角的第二个定义：一条射线OA由原来位置绕着它的端点O旋转到另一个位置OB所成的图形(教师拿圆规演示出来射线的旋转情况，并在黑板上给出图形)注意对这一定义的理解：(1)此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置(2)在此定义中，对运动的方向并没有要求也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转但要明确：初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角这一点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔(教师在讲解过程中要加以演示)(3)要告诉学生OA叫做角的始边，OB叫做角的终边而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角（二）、平角、周角和直角的概念教师设计以下提问：1从角的第二定义出发，对射线OA的旋转可以到哪些特殊位置？2这些特殊的角之间有哪些关系？针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义平角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角周角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时，所成的角叫做周角直角：平角的一半叫做直角（三）、角的表示法这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守1大写字母表示角：规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间， 2用一个大写字母表示角：如图1-17中的四个角也可以记为B，O，A，D但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母 3用一个希腊字母表示角：方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如，等，记作，读作角4用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作1，读作角1。（四）、总结教师提问：1这节课我们都学习了哪些概念？2通过这节课你都认识了哪些角？它们都怎样定义的?学生回答后，教师再做总结(1)这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一个是用运动的观点对第二定义的形式要加以重视在此基础上，有了特殊角：平角、周角、直角的概念(2)角的表示方法有四种：用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字母表示；用一个阿拉伯数字表示练习设计习题4.3第一题板书设计 4.3角的度量和表示 角的定义：由有公共端点的两条射线组成。一条射线绕端点旋转得到的图形。角的表示：1.三个大写字母。2 一个大写字母3希腊字母。4 数字。教学后记通过角的不同表示法，使学生看到解决一个问题有多种方法的好处，为培养学生的发散性思维打下基础角的各种表示法的教学一定要重视，要反复练习，尤其是从一个顶点出发的角有两个以上时，一定让学生写对，并告诉学生在没有特殊要求的情况下，最好用数字表示角，这样既简便又清晰4.4角的比较授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.4角的比较教学目标1使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法2使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算3使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式4培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力教学重点和难点重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义难点是角平分线定义的各种数学表达式教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法1类比联想，提出问题前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小。2类比联想，探索解决问题的方法分组讨论，发现方法提出问题：如图1-26(a)，试比较AOB和COD的大小。教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：角大小比较的方法：重叠法和度量法3角的大小可以有两种比较方法：重叠比较法和度量法(1)重叠比较法：由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外(让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形) (2)度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小(注意写法)例1比较AOB与CDE的大小因为 量得AOB=35，CDE=65所以 CDEAOB二、角平分线的概念教师提问：1回忆怎样求线段的中点2怎样平分一个角总结：在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，因此我们下面重点研究角的二等分将线段二等分的点，叫做线段的中点，由此，我们得一个新的概念角平分线角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线对这个定义的理解要注意以下几点：1角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段如图1-32，它是由角的顶点出发的一条射线，这一点也很好理解，因为角的两边都是射线2当一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式如图1-32，可写成因为 OC是AOB的角平分线，所以 AOB=2AOC=2COB， (1)AOC=COB， (2)反过来，只要具备上述(1)、(2)中的式子之一，就能得到OC为AOB的角平分线这一点学生要给以充分的注意练习：随堂练习（三）、总结教师提问：这节课我们都学习了哪些内容和主要的思维方法？学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳1学习的内容有二个：(1)比较角的大小 (3)角平分线的概念2学习了类比联想的思维方法练习设计习题4.4板书设计 4.4角的比较角大小比较的方法：重叠法和度量法角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线教学后记1本教案的教学时间为1课时45分钟2由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧知识，解决新问题3在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习奠定了基础4.5平行授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.5平行教学目标1使学生理解平行线的定义，掌握它的画法，培养学生画图的基本技能2使学生理解平行公理及其推论3通过观察图形，培养学生发现问题的能力4初步培养学生从反面思考问题的能力教学重点和难点行线的定义、画法以及平行公理和推论是重点，而推论的证明是难点教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、从旧的知识引入新的概念，给出平行线定义问：每人拿出两只笔表示直线，这两条直线之间有哪些位置关系呢？请把你得到的结论用几何图形画出来(如图2-40)问：这三种位置关系如果用两条直线的交点个数来表示，分别是几个交点？(一个，没有、无数多个)对两条直线相交的情况，以及三条直线相交的情况都已进行过研究，下面就要开始研究两条直线没有交点的情况，这样的两条直线叫做平行线1定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线请大家想一想，在实际生活中平行线的实例(铁路的两条铁轨、两条高压电线、马路的两边等)问：“不相交的两条直线叫做平行线”，这一句话是否正确？(或者问：去掉“在同一平面内”是否可以？)(举出异面直线的情况，房屋、长方体的棱都可以)强调：对重合的两条直线只看作一条，因此得到以下结论：在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种2平行线的记法和画法(1)记法：如图2-41(1)，直线AB与直线CD平行，记作ABCD，也可记作CDAB，因为两条直线平行是相互的(2)画法：工具：一把直尺和一块三角板或用两块三角板(一块代替直尺)教师演示：并强调，三角板要两贴紧，一斜边贴紧直线l，另一直角边贴紧直尺向下滑动，也可向上推动，都可以画出直线l的平行线如果将三角板换成两条直角边做两贴紧也能画出如图2-41(3)直尺不能动不能徒手画两条线段平行，指它们所在的直线平行变式练习：做直线l的平行线（二）、通过实践活动发现平行公理1实践活动(1)已知直线l，能作几条直线平行于l(答：无数条)(2)P为直线l外一点，过P点能作几条直线平行于l？在学生实践的基础上，引导学生发现平行公理2平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行三、通过实践活动发现平行公理推论1实践活动：如图2-41(5)，已知直线l和直线外的点A，B，分别过A点和B点作l的平行线当学生作出图2-41(5)后，引导学生提出猜想2猜想：若AEl，BFl，则AEBF练习：作图并填空(1)作BAC=90(2)在BAC的一边AC上，依次截取AE=1厘米，EF=2厘米(3)过E作EPAB，过F作FGAB由作图填空因为EP_，FG_，(作图)所以_( )（四）、小结1教师先向学生提出问题本节课学了哪些具体内容和思维方法？2在学生回答的基础上教师总结出：(1)本节课学习了平行的概念和画法(2)学习了从反面思考问题的方法练习设计习题板书设计 4.5平行1定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理推论：如果已知两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。教学后记1本教案的教学时间为1课时2本课时在课前一定要提醒学生带齐三角板和直尺，否则无法作图3本课时在培养学生的动手能力方面要求较高，因为作平行线是目前第一册内容中最难的作图，主要是学生的两手都要拿几何工具，并要求左右手紧密配合对于一些协调性不强的学生来说，难度较大教师要将工具的拿法讲清楚4.6垂直授课班级：102.103课时安排：1课时课题 4.6垂直教学目标1使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质2会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能3通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力教学重点和难点垂线的意义、性质和画法是重点，而垂线的画法也是难点教学手段现代课堂教学手段教学方法启发式教学教学过程（一）、按照运动的思维方式提出问题师：平面上的两条直线有哪些位置关系？生：两种，平行和相交师：两条直线所夹的角中，如果按照角的大小来分类，又有哪几种？(这时老师将直线CD继续运动得到(3)和(4)生：三种：锐角、直角、钝角在此基础上，教师指出：图29(3)是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，例如：书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况(板书课题)（二）、垂线的有关概念在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念1定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足2符号：“”读作“垂直于”如ABCD于O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O3对定义的理解：(1)在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了，不必说四个角都是直角，因为其它三个直角都可推出来(2)两条直线互相垂直，是指两条直线而言因此，说到垂线，一定是两条直线的位置关系(3)定义具有双重性，既是判定垂直的定理，也是垂直的性质定理，在具体应用时要注意书写格式因为 ABCD于O，(已知)所以 1=90(垂直定义或垂直性质)因为 AOC=90，(已知)所以 ABCD于O(垂直定义或垂直的判定)（三）、通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质1教师先向学生提出一个实际问题怎样正确量出跳远的成绩？2引导学生将实际问题转化为数学问题，对做得比较好的学生，让他到黑板上画图，教师纠正并给出图2-11师生共同指出，BD为起跳线，A为跳远时脚落的地点3教师指出：这个实际问题实质上就是转化为“从直线外一点画出已知直线的垂线问题”那么，怎样用你手中的三角板画出这条垂线呢？4在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线？5引导学生在作垂线的实践活动中，发现垂线的性质(1)如图2-12(1)中，过点A，作直线BD的垂线在图2-12(2)中，过A点分别作BD和DE的垂线(2)发现垂线的性质在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：(或以其它形式)过A点还能作出别的垂线吗？在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：过A点作BD或DE的垂线有没有，有过A点作BD或DE的垂线有几条，只一条在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直注：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以（四）、小结师生共同总结出本节课所学的内容1理解垂线的意义2根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线3理解垂线的第一性质公理练习设计选用课本中的题板书设计 4.6 垂直1定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直九、教学后记1本教案的教学时间为1课时2本课时教学设计的主导思想是：应用“发现法”教学，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质3在学生理解了两条直线互相垂直的意义以后，还可以让学生举一些现实生活中的实例，如：桌子的两条相交的边，书的两边，房子的一边与另一边，电线与电线杆等，这