高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性课件.ppt

9 2导数的应用 第九章导数及其应用 内容索引 练出高分 思想与方法系列 思想方法感悟提高 课时1导数与函数的单调性 题型一不含参数的函数的单调性 题型二含参数的函数的单调性 题型三利用函数单调性求参数 题型一不含参数的函数的单调性 解函数f x 的定义域为 0 当f x 0 即0e时 函数f x 单调递减 故函数f x 的单调递增区间为 0 e 单调递减区间为 e 不含参数的函数的单调性 题型一 解析答案 思维升华 确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 思维升华 1 函数y x2 lnx的单调递减区间为 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 令y 0 得0 x 1 递减区间为 0 1 b 跟踪训练1 解析答案 2 已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的单调递增区间是 解析f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 解析答案 返回 题型二含参数的函数的单调性 例2已知函数f x ln ex 1 ax a 0 1 若函数y f x 的导函数是奇函数 求a的值 解函数f x 的定义域为r 函数y f x 的导函数是奇函数 f x f x 含参数的函数的单调性 题型二 解析答案 2 求函数y f x 的单调区间 解析答案 思维升华 当a 1时 f x 0恒成立 a 1 时 函数y f x 在r上单调递减 当0 a 1时 由f x 0得 1 a ex 1 1 由f x 0得 1 a ex 1 1 解析答案 思维升华 a 0 1 时 综上 当a 1时 f x 在r上单调递减 思维升华 思维升华 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为0的点和函数的间断点 3 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性 如f x x3 f x 3x2 0 f x 0在x 0时取到 f x 在r上是增函数 讨论函数f x a 1 lnx ax2 1的单调性 解f x 的定义域为 0 当a 1时 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 0时 f x 0 故f x 在 0 上单调递减 跟踪训练2 解析答案 返回 题型三利用函数单调性求参数 1 求b c的值 解f x x2 ax b 利用函数单调性求参数 题型三 解析答案 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 解由 1 得 f x x2 ax x x a a 0 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 解析答案 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 解析答案 在本例3 3 中 1 若g x 在 2 1 内为减函数 如何求解 引申探究 解析答案 解方法一 g x x2 ax 2 且g x 在 2 1 内为减函数 g x 0 即x2 ax 2 0在 2 1 内恒成立 即实数a的取值范围为 3 解之得a 3 方法二 g x x2 ax 2 a 3 实数a的取值范围是 3 由题意可得g x 0在 2 1 上恒成立 2 若g x 的单调减区间为 2 1 求a的值 解 g x 的单调减区间为 2 1 x1 2 x2 1是g x 0的两个根 2 1 a 即a 3 解析答案 3 若g x 在 2 1 上不单调 求a的取值范围 解由引申探究1知g x 在 2 1 上为减函数 a的范围是 3 若g x 在 2 1 上为增函数 函数g x 在 2 1 上单调时 解析答案 思维升华 思维升华 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 来求解 已知函数f x exlnx aex a r 1 若f x 在点 1 f 1 处的切线与直线y x 1垂直 求a的值 跟踪训练3 解析答案 2 若f x 在 0 上是单调函数 求实数a的取值范围 解析答案 返回 若f x 为单调递减函数 则f x 0 在x 0时恒成立 由g x 0 得x 1 由g x 0 得0 x 1 解析答案 故g x 在 0 1 上为单调递减函数 在 1 上为单调递增函数 此时g x 的最小值为g x 1 但g x 无最大值 且无趋近值 故f x 不可能是单调递减函数 若f x 为单调递增函数 则f x 0 在x 0时恒成立 由上述推理可知此时a 1 故实数a的取值范围是 1 返回 思想与方法系列 典例 14分 已知函数f x lnx g x f x ax2 bx 其中函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴 1 确定a与b的关系 2 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 思维点拨依据g x 的切线条件可得g 1 0得a b关系 代g x 后消去b 对a进行分类讨论确定g x 的符号 思想与方法系列 22 分类讨论思想研究函数的单调性 解析答案 返回 思维点拨 温馨提醒 解 1 依题意得g x lnx ax2 bx 由函数g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于x轴得 g 1 1 2a b 0 b 2a 1 4分 函数g x 的定义域为 0 规范解答 由g x 0 得01 6分 解析答案 温馨提醒 解析答案 温馨提醒 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 温馨提醒 1 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 方程f x 0是否有根 若f x 0有根 求出根后是否在定义域内 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 2 本题求解先分a 0或a 0两种情况 再比较和1的大小 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解区间 并注意定义域 2 含参函数的单调性要分类讨论 通过确定导数的符号判断函数的单调性 3 已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决 方法与技巧 1 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 2 注意两种表述 函数f x 在 a b 上为减函数 与 函数f x 的减区间为 a b 的区别 3 讨论函数单调性要在定义域内进行 不要忽略函数的间断点 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解析函数f x x 3 ex的导数为f x x 3 ex ex x 3 ex x 2 ex 由函数导数与函数单调性的关系 得当f x 0时 函数f x 单调递增 此时由不等式f x x 2 ex 0 解得x 2 15 d 解析答案 2 下面为函数y xsinx cosx的递增区间的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析y xsinx cosx sinx xcosx sinx xcosx c 解析答案 3 若函数f x 2x3 3mx2 6x在区间 2 上为增函数 则实数m的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x 6x2 6mx 6 当x 2 时 f x 0恒成立 即x2 mx 1 0恒成立 当x 2时 g x 0 即g x 在 2 上单调递增 d 解析答案 4 已知函数f x x3 ax 4 则 a 0 是 f x 在r上单调递增 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故 a 0 是 f x 在r上单调递增 的充分不必要条件 a 解析答案 5 函数f x 在定义域r内可导 若f x f 2 x 且当x 1 时 x 1 f x 0 f x 为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 解析答案 6 函数f x x lnx的单调递减区间为 解析函数的定义域是 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令f x 0 解得0 x 1 所以单调递减区间是 0 1 0 1 解析答案 7 已知a 0 函数f x x2 2ax ex 若f x 在 1 1 上是单调减函数 则a的取值范围是 解析f x 2x 2a ex x2 2ax ex x2 2 2a x 2a ex 由题意当x 1 1 时 f x 0恒成立 即x2 2 2a x 2a 0在x 1 1 时恒成立 令g x x2 2 2a x 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 f x x3 bx2 cx d f x 3x2 2bx c 由题图可知f 2 f 3 0 则g x x2 x 6 g x 2x 1 由g x x2 x 6 0 解得x3 g x x2 x 6在 2 上为减函数 当x 2时 g x 0 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求a的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求函数f x 的单调区间 令f x 0 解得x 1或x 5 因为x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 当x 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 综上 f x 的单调增区间为 5 单调减区间为 0 5 故f x 在 0 5 内为减函数 解析答案 10 已知函数f x lnx g x ax b 1 若f x 与g x 在x 1处相切 求g x 的表达式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 g x x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即x2 2m 2 x 1 0在 1 上恒成立 故实数m的取值范围是 2 解析答案 11 设函数f x x2 9lnx在区间 a 1 a 1 上单调递减 则实数a的取值范围是 a 1 a 2b a 4c a 2d 0 a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即在 0 3 上原函数是减函数 a 1 0且a 1 3 解得1 a 2 a 解析答案 12 f x g x g x 0 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 且f 3 0 则 0的解集为 a 3 3 b 3 0 0 3 c 3 0 3 d 3 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x 0时 f x g x f x g x 在 0 上也为减函数 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析对f x 求导 解析答案 14 已知函数f x x2 4x 3lnx在区间 t t 1 上不单调 则t的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f x 0得函数f x 的两个极值点为1和3 则只要这两个极值点有一个在区间 t t 1 内 函数f x 在区间 t t 1 上就不单调 由t 1 t 1或t 3 t 1 得0 t 1或2 t 3 0 1 2 3 解析答案 15 函数f x ax3 3x2 3x a 0 1 讨论函数f x 的单调性 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解f x 3ax2 6x 3 f x 3ax2 6x 3 0的判别式 36 1 a 若a 1 则f x 0 且f x 0 当且仅当a 1 x 1 故此时f x 在r上是增函数 1 2 3 4 5 6 7 8