高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件 文 北师大版.ppt

第二章函数 导数及其应用 第八节函数与方程 最新考纲1 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图像 能够用二分法求相应方程的近似解 j基础知识自主学习 1 函数的零点与方程的实数解 1 函数的零点 函数y f x 的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点 2 利用函数性质判定函数零点 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号 即 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有 实数解 横坐标 相反 f a f b 0 一个 2 二分法 1 每次取区间的中点 将区间一分为二 再经比较 按需要留下其中一个 的方法称为二分法 2 用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步 确定区间 a b 验证 给定精度 第二步 求区间 a b 的中点c 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精度 即若 a b 则得到零点近似值 否则重复第二 三 四步 小区间 f a f b 0 判一判 1 函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 解析错误 函数的零点是一个实数而不是点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图像连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 解析正确 因为 b2 4ac 0时 二次函数y ax2 bx c的图像与x轴没有公共点 4 只要函数有零点 我们就可以用二分法求出零点的近似值 解析错误 只有零点左右两侧函数值的符号相反时 才能用二分法求解 5 若函数y f x 在区间 a b 内 有f a f b 0成立 那么y f x 在 a b 内存在唯一的零点 解析错误 存在零点 但不一定是唯一的 练一练 1 已知函数y f x 的图像是连续不间断的曲线 且有如下的对应值 则函数y f x 在区间 1 6 上的零点至少有 a 2个b 3个c 4个d 5个 解析依题意 f 2 f 3 0 f 3 f 4 0 f 4 f 5 0 故函数y f x 在区间 1 6 上的零点至少有3个 故选b 答案b 3 2015 山西太原一模 已知实数a 1 0 b 1 则函数f x ax x b的零点所在的区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 2 解析由f 2 f 3 0可知 2 3 r热点命题深度剖析 例1 1 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 解析 解法一 由题意a0 f b b c b a 0 显然f a f b 0 f b f c 0 所以该函数在 a b 和 b c 上均有零点 故选a 解法二 令y1 x a x b x b x c x b 2x a c y2 x c x a 由a b c作出函数y1 y2的图像 由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间 a b 和 b c 内 即函数f x 的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 答案 a 2 已知函数f x lnx x 2有一个零点所在的区间为 k k 1 k n 则k的值为 解析 由题意知 当x 1时 f x 单调递减 因为f 3 ln3 1 0 f 4 ln4 2 0 所以该函数的零点在区间 3 4 内 所以k 3 3 3 函数f x x2 3x 18在区间 1 8 上 填 存在 或 不存在 零点 解析 解法一 f 1 12 3 1 18 200 f 1 f 8 0 又f x x2 3x 18 x 1 8 的图像是连续的 故f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 解法二 令f x 0 得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 f x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 存在 规律方法 判断函数零点所在区间的方法 1 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 2 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理判断 3 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断 2 设x0是方程lnx x 4的解 则x0属于 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析设f x lnx x 4 f 2 ln2 20 x0 2 3 答案c 2 2 规律方法 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图像与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图像的交点个数问题 先画出两个函数的图像 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 变式训练2 1 函数f x 2x x3 2在 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析因为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2在 0 1 内递增 且f 0 1 0 2 10 所以有1个零点 答案b 答案d 0 2 解析要使函数g x f x b有两个零点 应使f x 图像与直线y b有两个不同的交点 当0 a 1时 由f x 的图像知f x 在定义域r上单调递增 它与直线y b不可能有两个交点 当a0 所以 当0 b a2时 f x 图像与y b有两个不同交点 0 1 当a 1时 由f x 的图像 如图 知 f x 在 a 上递增 在 a 上递增 但a3 a2 所以当a21 1 角度二 利用函数零点比较大小4 设函数f x ex x 2 g x lnx x2 3 若实数a b满足f a 0 g b 0 则 a g a 0 f b b f b 0 g a c 0 g a f b d f b g a 0 5 2016 广州模拟 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则f a f 1 f b 的大小关系为 解析由题意 知f x ex 1 0恒成立 所以函数f x 在r上是增加的 而f 0 e0 0 2 10 所以函数f x 的零点a 0 1 f a f 1 f b 规律方法 函数零点应用问题的常见类型及解题策略 1 已知函数零点求参数 根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 2 已知函数零点的个数求参数 常利用数形结合法 3 借助函数零点比较大小 要比较f a 与f b 的大小 通常先比较f a f b 与0的大小 s思想方法感悟提升 1个口诀 用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 2个防范 函数零点的两个易错点 1 函数的零点不是点 是方程f x 0的实根 2 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点 而不能判断函数的不变号零点 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件 3种方法 判断函数零点个数的