等差数列(教案+例题+习题).doc

一、等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例1根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。如（1）已知，则在数列的最大项为_ ；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_；（3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法或。例2设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。练一练：设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。3、等差数列的通项：或。4、等差数列的前和：，。例3：等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8CS13 DS15解析：设a2a4a15p(常数)，3a118dp，解a7p.S1313a7p.答案：C例4等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A48 B49 C50 D51解析：a2a52a15d4，则由a1得d，令an33(n1)，可解得n50.故选C.答案：C如(1)等差数列中，则通项；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_ ；例5：设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：72例6：已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19C20 D21解析：0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19，故选B.答案：B如（1）数列 中，前n项和，则， ；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和.5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）6.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.（4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.练一练：设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_；(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；例7（1）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a8a k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.一、 选择题：ABCCB DABDA二、 填空题：118； 12； 1324； 1421.三、 解答题：15分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。解：设新数列为即3=2+4d，即原数列的第n项为新数列的第4n3项（1）当n=12时，4n3=4123=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。说明：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列，则新数列的公差为原数列的第n项是新数列的第n+(n1)m=(m+1)nm项16解： （1）， ， 为整数， . （2）=23=2 =当时最大=78 （3