福建省漳州市芗城中学高考数学一轮复习 2.6幂函数与二次函数教案 (2).doc

第六节 幂函数与二次函数教学目标：知识与技能：了解幂函数的概念，结合五个幂函数的图象了解它们的变化情况；理解并掌握二次函数的定义，图象及性质，能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单的问题。过程与方法：通过画五种幂函数的图象，了解它们的图象的性质，通过图象掌握二次函数的单调性结合方程或不等式解决问题。 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生动手画图，感受图形解题，充分体验数形结合思想。教学重点：而次函数的性质及与方程和不等式解题。 教学难点： 利用图象的研究函数教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.二次函数的解析式一般式：f(x)= ax+bx+c(a0)顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a0),顶点坐标为(h,k)零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2为f(x)的零点2.二次函数的图象与性质函 数 y=ax+bx+c(a0) y=ax+bx+c(a0) 图 象 定义域 r r值 域 单调性 在 上递减， 在 上递增，在 上递增 在 上递减奇偶性 当b=0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于x=- 成轴对称 3.幂函数形如y=x(r)的函数叫幂函数，其中x是自变量，是常数.4.幂函数的图象幂函数 的图象如下： 5.幂函数的性质二例题讲解【典例1】(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有可能是( )(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6.当a=-2时,求f(x)的最值；求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数；当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【思路点拨】(1)先根据条件求出两个根，进而得到对称轴方程，最后可得结论.(2)解答和可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于,应先将函数化为分段函数,再求单调区间.【规范解答】(1)选c.因为一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,所以两个根为1，3，所以对应的二次函数其对称轴为x=2.图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),故选c.(2)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6. 当a=-1时,f(|x|)=x-2|x|+3 =其图象如图所示： 又x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减函数,在区间-1,0和1,6上为增函数.【小结】 1.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得2.二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解【变式训练】(2014三明模拟)已知二次函数f(x)的图象过点a(-1,0),b(3,0),c(1,-8).(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在x0,3上的最值.(3)求不等式f(x)0的解集.【解析】(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3),将c(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),所以a=2,即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.(2)f(x)=2(x-1)2-8,如图所示,当x0,3时,由二次函数图象知f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0.(3)f(x)0,即2x2-4x-60亦即x2-2x-30,解得x-1或x3.故不等式的解集为x|x-1或x3.【典例2】(1)已知函数则对任意x1,x2r，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是( )(a)f(x1)+f(x2)0(c)f(x1)-f(x2)0 (d)f(x1)-f(x2)x+k在区间-3,-1上恒成立，试求k的范围.【思路点拨】(1)从函数的图象及奇偶性、单调性入手解答.(2)根据f(-1)=0及 列方程组求解.分离参数，转化为求函数的最值问题.【规范解答】(1)选d. 由图象提供的信息及函数的解析式知f(x)是偶函数，且f(x)min=f(0)=-1.|x2|x1|0,f(x2)f(x1),即f(x1)-f(x2)x+k在区间-3,-1上恒成立，转化为x2+x+1k在-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1，则g(x)在-3,-1上递减.g(x)min=g(-1)=1.k1,即k的取值范围为(-,1).【小结】1.一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法：把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法：借助二次函数的图象性质，列不等式组求解2.二次函数的应用(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.【变式训练】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1x0，求实数a的取值范围.【解析】由f(x)0,即ax2-2x+20,x(1,4)，得 在(1，4)上恒成立.令所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要 即可.故实数a的取值范围为【典例3】(1)(2014宁德模拟)函数y= 的图象大致是()(2)已知幂函数 (mn*)的图象关于y轴对称，且在(0，+)上是减函数，求满足 的实数a的取值范围.【小结】(1)结合幂函数的图象与性质排除得解.(2)首先根据单调性求m的范围，其次由图象的对称性确定m的值，最后根据 的大小，求解关于a的不等式.【规范解答】(1)选c.y= 其定义域为xr,排除a,b,又0 1,图象在第一象限为上凸的,排除d,故选c.(2)f(x)在(0,+)上是减函数，m2-2m-30,解之得-1m1,图象过点(0,0),(1,1), 下凸递增，如y=x2.(2)01，图象过点(0，0)，(1，1)，上凸递增，如 (3)0，图象过点(1，1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如【变式训练】(1)函数 是幂函数，且在x(0,+)上是减函数，则实数m的值为( )(a)2 (b)3 (c)4 (d)5【解析】选a.由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时，m2-2m-3=-3,f(x)=x-3符