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数列经典综合题66例 等差数列与等比数列综合题例1 等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 （）由已知可得 故 从而 例2 在正项数列中,令.（）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（）解：由题意得,所以=（）证:令,则=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化简得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,从而为等差数列 例3 已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由. 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比数列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 a10，2Sm+2S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 =Sm + Sm+1 = =2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 例4 已知数列an的首项（a是常数），（）（）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件 解：（） 若是等差数列，则但由，得a=0,矛盾.不可能是等差数列 () (n2) 当a1时, 从第2项起是以2为公比的等比数列n2时,是等比数列, (n2)是常数 a-1时, b-2a-2=0 当a=-1时，（n3）,得（n2） 是等比数列 b0综上, 是等比数列,实数a、b所满足的条件为 例5 设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；()设cn=n(3-bn)，求数列cn的前n项和Tn.解：()n=1时，a1+S1=a1+a1=2a1=1 Sn=2-an即an+Sn=2 an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nN*)所以，数列an为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(nN*)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) 将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，)()cn=n(3-bn)=2n()n-1 Tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 而 Tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：Tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) 例6 已知数列中，且对时有（）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和（） 证明：由条件，得，则即，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列 ，所以两边同除以，可得于是为以首项，为公差的等差数列所以（），令，则而 ，令Tn，则2Tn，得Tn，Tn例7 设数列满足且（）求的值，使得数列为等比数列；（）求数列和的通项公式；（）令数列和的前项和分别为和，求极限的值（）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得又所以由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组 消去解得 下面验证当时，数列为等比数列 ，从而是公比为的等比数列同理可知是公比为的等比数列，于是为所求（）由（）的结果得，解得，（）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为； 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为 由第（）问得， 由于数列的公比，则 ，由于，则，于是，所以例8 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. （）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 例9 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。 例10 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。解：（1）由，得， 整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 （2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 （）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。（3） 设.，. 取 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. 2、 点列综合题例11 设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，Pn，Qn+1，已知，设（1）求出过点P0的切线方程；（2）设求的表达式；（3）设求解：（1） 过点P0的切线段为即 （2） 过点Pn的切线方程为 将的坐标代入方程得： 故数列是首项为的等比数列 （3） 例12 已知点满足：，且已知 （1）求过点的直线的方程； （2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；（3）求点的极限位置。解：（1）由，得： 显然直线的方程为 （2）由，得： 点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明： 当n2时，点 假设当时，点，即 当时， 点 综上，点 （3）由，得： 数列是以为首项，公差为1的等差数列 即点的极限位置为点P（0，1）例13 如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .() 写出；()求出点的横坐标关于的表达式；()设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解：() .()依题意，则yxOA0P1P2P3A1A2A3， 3分在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并变形得， ， . 数列是以为首项，公差为的等差数列. ， 7分，. ()解法1 ：， .当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 的最大值为. 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且，解之，得 或，即的取值范围是.例14 ABC中，|AB|=|AC|=1，P1为AB边上的一点，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4 （1）令BPn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。 （2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由； （3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。解：（1）由|AB|=|AC|=1， 从而ABC为边长为1的正三角形 则，于是 同样 又 即 （2）由（1）可得： 的等比数列 当 点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0 （3） 由 当的最小值为4 例15 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解：（1）设直线：，联立得，则，（舍去） ，即，（2）证明： 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 例16 数轴上有一列点P1，P2，P3，Pn，已知当时，点Pn是把线段Pn 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，a3，an，其中a1 = 1（1）写出a2，a3和an（，）的表达式；（2）证明a1 + a2 + a3 +an 2，），在这些点中是否存在两个点同时在函数的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.解：(1) 由已知，令n = 2，P1P2 = P2P3，所以a2 = 1，令n = 3，P2P3 = 2P3P4，所以，同理，所以(2) 因为所以而n = 1时，易知a1 = 1 2时，n2 3n + 1 0，所以对于函数bn有b2 b3 b4 bn 所以式不能成立，所以，不可能有两个点同时在函数图像上例17 在直角坐标系中，有一点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，Pn(an，bn)，对每一个正整数n，点Pn在给定的函数ylog3(2x)的图像上.而在递增数列an中，an与an+1是关于x的方程4x28nx4n210（nN*）的两个根（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）记cn3，nN*.证明3；解：（）解方程4x28nx4n210，得x1n，x2n，an是递增数列，ann，an+1n，即ann( nN*)，又因为Pn(an，bn)在函数ylog3(2x)的图像上，所以bnlog3(2n1).（）因为cn3，nN*，所以cn2n1设Dn，即Dn， 所以Dn， 由得Dn，则所以Dn11133，例18 已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、Bn(n,yn)（nN）顺次为一次函数图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、An(xn,0)（nN）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0a1），对于任意nN，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。求数列yn的通项公式，并证明yn是等差数列；证明xn+2-xn为常数，并求出数列xn的通项公式；在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。解：（1）(nN),yn+1-yn=,yn为等差数列 （2）因为与为等腰三角形.所以，两式相减得 。注：判断得2分，证明得1分x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6 ，x2n都是公差为2的等差数列， （3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 |AnAn+1|=2=2()xn+1-xn=2() 当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n为奇数，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，则(*)无解； 当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n为偶数，0a1) (*)，取n=2，得a=,若n4，则(*)无解. 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、. 三、数列与向量交汇的综合题例19 =, =,（1）求证：为等差数列； (2) 若,问是否存在, 对于任意（），不等式成立.解（1） 为等差数列 （2） 例20 在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，An为An1关于点Pn的对称点. （1）求向量的坐标； （2）对任意偶数n，用n表示向量的坐标.（1）设对称故 （2）同理可得：故 例21 已知数列的首项，前项和为，且、（n 2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，设， 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：解：由题意得 （n2），又，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 则（）由及得， 则 四、数列与函数交汇的综合题例22 已知函数（）。（）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（II）在数列中，（），求数列的通项公式。解：（）由及得或（舍去），所以或，即的实不动点为或；（II）由条件得，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。例23 二次函数 （1）求并求的解析式； （2）若求数列并求 （3）若求符合最小自然数n.解：（1） 又（2）（3） 例24 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；解：由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证由可知：对任意自然数，恒成立由于，故可考虑利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，例25 设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nN*）.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若，Qn=（nN*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=()n-1. （2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. T2n =+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). 9T2n=1-.又Qn=1-， 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,9T2 nQ n； 当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,9T2 nQn； 当n3时，9T2 nQ n. 例26 已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。解：（I） 将这n个式子相加，得 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， （IV）设，即 则显然，其极限存在，并且例27 函数的定义域为R，且 （）求证：； （）若上的最小值为，试求f(x)的解析式； （）在（）的条件下记试比较与 的大小并证明你的结论解：（）f(x)定义域为R， （）由（）知f(x)在0，1上为增函数， （） 例28 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 （1）若k=1，求数列的通项公式； （2）项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求来源:学&科&网 。解：（1）因为所以其值域为于是又 （2）因为所以8分法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1不符合。9分当，来源:Z+xx+k.Com则当 （3）因为所以的值域为于是则又则有来xxk.Com进而有18分例29 已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时， 求证：解：（）， ，即 ， 数列是首项为，公比为的等比数列，即 （）（），当时，假设，则由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 （）， 当时，假设，则 由数学归纳法，得出数列 又，即 ， 例30 已知,其中,设,.(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有.【解析】(I)由已知推得,从而有(II) 证法1:当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.五、数列与不等式交汇的综合题例31 已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，两边同除以，得（3） ，将代入，得； 而， 由知，命题成立.例32 设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。又易知单调递增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005. 例33 已知数列中，当时，其前项和满足，（1） 求的表达式及的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 设，求证：当且时，。解：（1）所以是等差数列。则。（2）当时，综上，。（3）令，当时，有 等价于求证。当时，令，则在递增。又，所以即例34 已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）解：(1) ，得，即在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，(2) 由(1)可得，而，且，（）例35 数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 解：()由得，即， 是以为公比的等比数列 () 又即 ，故（）又例36 给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差解：设公差为，则又，当且仅当时，等号成立当数列首项，公差时，的最大值为例37 已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求证：当k为奇数时，； （）求证： 得=2或=3 当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，则 当=3时，为首项是，公比为2的等比数列， 得， （注：也可由利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（）当k为奇数时， （）由（）知k为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时，= 例 38 如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为若（1）求；（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；（3）记，求证：.解：（1）（2） （3）当时，所以当时，则又所以例39 已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.解：（1） ，当时，.当2时，=， 此时=，=+设+，6分（2）由可得当时，由，可得 对一切都成立，此时的解为.当时，由 可得对一切都成立，此时的解为.由，可知对一切，都有的的取值范围是或.例40 已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。解：（）将点代入中得（）（）由例41 已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论解：（）由得:时，是等比数列，得 （）由和得10分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有综上：当时有；当时有例42 已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.解：（）由题意知即检验知、时，结论也成立，故.（）由于故.（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. （）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.例43 已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.解：（1），由数列的递推公式得，（2）=数列为公差是的等差数列.由题意，令，得（3）由（2）知，所以此时=， =例44 已知数列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证：解： (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, （3）证明：又 例45 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围.解：（1）f(1)=3， f(2)=6 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 f(n)=3n （2）由题意知:bn=3n2n Sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） T1T4Tn 故Tn的最大值是T2=T3= m。例46 (2009陕西卷理) 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；（)证明：。 证明（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 例47 已知函数（I）求（II）已知数列满足,求数列的通项公式;() 求证:.解:()因为所以设S=（1）S=.(2)(1)+(2)得:=,所以S=3012()由两边同减去1,得所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以因为所以所以例48 过点P（1，0）作曲线的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，。依此下去，得到一系列点M1，M2，Mn，设它们的横坐标a1，a2，an，构成数列为。 （1）求证数列是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：； （3）当的前n项和Sn。解：（1）对求导数，得的切线方程是 当n=1时，切线过点P（1，0），即0当n1时，切线过点，即0所以数列所以数列 （2）应用二项公式定理，得 （3）当，同乘以 两式相减，得所以 例49 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。解：（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是（）由（）知 = 又当当 （）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设则 当n为奇数时，设则 对一切的正整数n，都有综上所述，正实数的最小值为4例50 已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最小数an的表达式； （）求第n个集合中各数之和Sn的表达式； （）令f(n)= ，求证：2解: () 设第n个集合中最小数an , 则第个集合中最小数 , 又第个集合中共有个数, 且依次增加2 , ,即 , , 相加得 ,即得 .又 , . （）由()得 , 从而得 . （）由（）得 , , , 又当2 时, . . 2 .例51 首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（II）若对一切都有，求的取值范围.解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。（II）（方法一）由知，当且仅当或。另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或。（方法二）由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。例52 各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得 所以 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 例53 设 . 记，. 证明：.【证明】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 （3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），得。 例54 已知数列满足，满足 ，证明： 。证明：记 ，则 。而。 因为，所以。 从而有 。 （1）又因为，所以，即。从而有 。 （2） 由（1）和（2）即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 例55 设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 六、数列与概率统计交汇的综合题例56 为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视情况，得到频率分布直方图,如图4，.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项（）求等比数列的通项公式;（）求等差数列的通项公式；（）若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小. 解：（I）由题意知：，数列是等比数列，公比 . (II) =13,，数列是等差数列，设数列公差为，则得，87， ， (III) =, (或=)答:估计该校新生近视率为91%. 例57从原点出发的某质点M, 按向量=(0,1)移动的概率为,按向量=(0,2)移动的概率为,设可达到点(0,n)的概率为Pn,求： (1).求P1和P2的值. (2).求证:Pn+2=Pn+Pn+1. (3).求Pn的表达式. 解: (1). P1= (2).证明:到达点(0,n+2)有两种情况:从点(0,n)按向量移动;从点(0,n+1) 按向量=(0,1)移动,概率分别为Pn与,所以 (3).由（2）得Pn+2-Pn+1=故数列Pn+1-Pn是以P2-P1=为首项，为公比的等比数列，故Pn+1-Pn= 于是Pn-P1=( 七、分段数列综合题例58 数列an的首项a11，且对任意nN，an与an1恰为方程x2bnx2n0的两个根.()求数列an和数列bn的通项公式；()求数列bn的前n项和Sn.解：()由题意nN*，anan12n2(1分)又a1a22a11a22a1，a3，a2n1是前项为a11公比为2的等比数列，a2，a4，a2n是前项为a22公比为2的等比数列a2n12n1 a2n2n nN*即an又bnanan1当n为奇数时，bn2232当n为偶数时，bn2222bn()Snb1b2b3bn当n为偶数时，Sn(b1b3bn1)(b2b4bn)727(当n为奇数时，Snb1b2bn1bnSn1bn1027(Sn例59 数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 例60 数列 ()求并求数列的通项公式；()设证明：当.解:()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)