互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究.doc

互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究 江西师范大学青年成长基金(批准号：2006103)资助的课题摘 要：本文从经典电路理论出发，得到了磁通偏置超导电路的哈密顿量。在此基础上，运用Bloch-Redfield方程研究了超导电路多能级系统的动力学演化。在二能级近似下，分析了环境阻抗，电路之间的互感对磁通量子比特消相干的影响。关键词：超导量子电路；磁通量子比特；消相干；互感1、引 言近年来，人们广泛研究了含有约瑟夫森结的超导电路的动力学特性，并用其实现量子比特。根据约瑟夫森结电荷能和隧穿能的大小关系，超导量子比特可大致区分为电荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特。电荷量子比特工作在电荷能占主导的区域，以超导岛上的库珀电子对数目作为量子态，因此，电荷量子比特对电荷涨落的影响很敏感；相反，磁通量子比特工作在隧穿能占主导的区域，以超导环中的正反持续电流作为量子态，磁通量子比特的优点在于对电荷涨落的影响不敏感，而磁场的涨落相对要小很多。在量子计算中，引起计算误差的主要原因是量子比特的消相干。影响超导量子比特消相干的因素很多。研究工作者目前主要是采用自旋-玻色子模型来研究量子系统的消相干，并已取得一系列的成果。在本文中，我们首先利用经典电路理论得到磁通偏置超导电路的哈密顿量。结合Caldeira-Leggett模型，我门采用Redfield方程描述电路的动力学演化。在二能级近似下，Redfield方程化为Bloch方程，我们给出了超导磁通量子比特的弛豫时间和消相干时间，并着重讨论了环境阻抗Z和电路互感对该量子系统消相干的影响。2、研究模型及哈密顿量在本文中，我们研究如图1所示的磁通偏置的超导电路，图2为图1所示电路选择的一棵树。树支含所有的电容和电感；连支部分包 图1 磁通偏置的超导量子比特电路图。外磁通通过偏置电路的环路电感同主回路电感的耦合引进。阻抗Z反映了外加磁通涨落对量子比特的耗散作用。电感和的互感系数为，电感和的互感系数为，电感和的互感系数为，电感和的互感系数为。约瑟夫森节采用Stewart-McCumber(SM)模型。图2 图1的树。树是包含所有节点而不构成回路的连通子图。这里我们选取含所有电容，和电感的连通图作为树。 括连支电感，理想约瑟夫森节，并联电阻，以及外加阻抗和电流源。外加阻抗模拟了环境电磁涨落。根据所选择的树，树支和连支的电流电压可分别表示为：， （1）, （2）， （3）， （4）约瑟夫森结两端电压即为电容电压，根据约瑟夫森结电压和磁通的关系，其中，是磁通量子。我们得到 ：， （5）约瑟夫森结超导电流为：， （6）是结的临界电流。并联电阻的电压-电流关系为：， （7）我们把电感和互感写成矩阵形式：,.分别描述了电感和的互感系数，电感和的互感系数，电感和的互感系数，电感和的互感系数。则电路电感和磁通关系可表示为：, （8）在线性近似下，外加阻抗的电流-电压关系为：, （9）“*”代表卷积。通过傅立叶变换，可得到频率空间外加阻抗的电流-电压关系：， （10）和分别为和的傅立叶转换形式。我们假设连支包围的回路中有外加磁通，根据基尔霍夫定律有：， （11）， （12）为电路的基本回路矩阵，由电路图1和树支图2可以得到：.由方程（1）（12），我们得到电路（图1）超导相位的经典运动方程 （13）式中各个系数矩阵见附录A。本文我们主要考虑外加阻抗和互感对电路的效应。假定，则有：， （14）， （15）系统无耗散时，则，则方程（13）可简化为： ， （16）根据分析力学，方程（16）可以由下面的拉格朗日函数得到：， (17)则无耗散时系统的哈密顿量为：， （18）相应的正则坐标和正则动量为：， （19） ， （20） 3、正则量子化为了对超导电路量子化，我们需要将正则坐标和正则动量看作算符。它们满足正则对易关系： ， （21） 为了描述环境对量子系统的影响，我们采用Caldeira和Leggett模型，系统的总哈密顿量为： ， （22）， （23）. （24）是无耗散量子电路的哈密顿量，由方程（18）给出，是谐振子库哈密顿量， ，分别是谐振子的动量和坐标算符，满足对易关系。 是环境与量子电路相互作用的哈密顿量， 是耦合系数，是依赖于矩阵的归一化矢量：， （25）其中：， （26）从系统总哈密顿量方程（22）可以得到：， （27）， （28）， （29）， （30）方程(27)(30)，经过傅立叶变换可以得到方程：， （31）我们定义：， （32）因为是外加阻抗的函数，我们用变量代换，从而， （33）谐振子库的谱密度定义为： ， （34）结合方程（32）（34），可以得到和谱密度的关系：， (35)比较谱密度和函数得到：, (36)， (37)对方程(16)作傅里叶变换并和(31)式比较可得：, (38)进而由(36)式可得：， (39)其中：， （40）4、动力学演化及二能级近似现在我们研究超导量子电路的动力学演化。通过无耗散时的哈密顿量方程（18），可以求得的本征基矢。在弱耦合时，我们可以用约化密度算符来描述耗散系统的演化，系统的总动力学演化用密度算符描述，其关系为：。在Born-Markov近似下，约化密度算符遵循Bloch-Redfield 方程： ， （41）其中，Redfield张量包含了环境对系统的耗散作用，其表达式为：， （42）， （43）， （44）， （45）运用关系式，Redfield张量可以表示成只含的形式。用相互作用哈密顿量（24）代入上述方程得到：， （46）， （47）并可得到二能级近似下量子比特的弛豫时间，消相干时间和消相时间 ：, (48) , (49) ， (50) 把方程（46），（47）代入，得到： ， （51） . （52）对于磁通量子比特，一定条件下势能 在位置形成一个对称的左右势阱，势阱中势能最小。我们对其作半经典近似，认为势能的基态和之间不发生重叠。势垒为有限值时，左右势阱间存在隧穿效应，系统量子态是和的叠加态。此时，的本征矢应取作：， (53)， (54) 是左右势阱的能量差，左右势阱的隧穿幅度，。在半经典近似下，和不重叠： ， （55） 从（53）（55），我们很容易得到本征态下的矩阵元， (56) ， (57) 其中，把（56），（57）代入方程（51），（52）得到半经典近似下双势阱的弛豫，消相和消相干时间：， （58） ， （59） ， （60）5、讨论从方程（58）（60）可以看出，电路消相干随时间呈指数规律增加，温度越高，消相干时间越短，所以一般超导量子比特都是在低温下操作。对于确定的超导电路，可以看作常量。因而我们主要分析热库涨落谱密度对消相干的影响。谱密度表达式（40）表明，谱密度不仅和偏置电路阻抗Z有关，而且电路元件之间的互感对谱密度也有重要影响，这些电路元件在对进行量子比特进行测量和操控时是不可缺少的。本节主要讨论电路元件参数确定后，欧姆环境下，环境阻抗和电路元件间的互感对消相干的影响。欧姆环境下，我们分别研究了谱密度和阻抗，各互感之间的关系。图3谱密度与阻抗的关系。，.图3表明，在欧姆环境下，谱密度随阻抗的增加而减小。对于超导磁通量子比特，阻抗反映了环境电磁涨落对消相干的影响，随着环境欧姆阻抗的增大，谱密度减小，从而能量弛豫时间和消相干时间增大，这和文献19研究的结论是一致的。图4 谱密度与互感的关系。，这里我们重点分析了电路互感对谱密度的影响。我们作出了欧姆环境下谱密度和各个互感之间的关系图（图4）。从图4可以看出，谱密度随互感的增强而增大。我们可以把互感分为两类，一类是环境和主电路、控制电路之间的电感耦合强度，另一类是主电路、控制电路内部电感之间的耦合强度。我们先分析第一类互感和谱密度的关系。是主回路电感和偏置电路电感之间的耦合效应，是控制回路电感和偏置电路电感之间的耦合效应。图4 (b)和(d)表明：随着耦合强度、的增强，能量弛豫时间和消相干时间都在减小。对于主回路和控制回路，偏置电路就是环境，系统和环境的作用越强，消相干越明显。是主回路电感，之间的耦合效应；是控制回路电感，之间的耦合效应。通过互感、和谱密度的关系，研究发现，主电路、控制电路内部互感对消相干的影响类似于偏置电路和主电路之间耦合强度对消相干的影响。图4（a）反映了主电路电感线圈之间的耦合效应对消相干的影响，随着互感的增强消相干时间逐渐减小；图4（c）反映了控制电路电感线圈之间的耦合效应对消相干的影响，互感系数远小于1时，消相干时间随互感的增强缓慢减小，互感系数接近1时，消相干时间迅速减小。这表明，对于一个实际超导量子电路，它的消相干不仅仅受偏置电路构成的环境的影响，其主电路、控制电路内部各个子系统之间互为环境，对消相干产生很大的影响。从图4可以看出，减弱主电路和环境的耦合效应可以更好的保持系统的量子相干性，但是调控、耦合、测量量子系统要求量子系统和外界有较强耦合，两者之间互相矛盾，必须在两者之间取得平衡。因此，在一定条件下，我们可以通过调节主电路、控制电路内部电感之间的耦合效应来获得系统较长时间的相干性。6、结论在本文中，我们基于Bloch-Redfield方程，研究了磁通量子电路的动力学演化。在二能级近似下，我们分析了电路互感，环境阻抗对量子比特消相干的影响，发现消相干时间随阻抗的加而增加，随互感的增强而减小。为切实解决量子计算中消相干效应带来的计算误差，需要我们作进一步的细致研究。附录1: 方程（14）的系数矩阵.式中： . . . . . .参 考 文 献1 Y. Makhlin, G. Schn, and A. Shnirman 2001 Rev. Mod. Phys. 73, 357 2 M. H. Devoret, A. Wallraff, and J. M. Martinis,”Superconducting Qubits: A Short Review,”e-print cond-mat/0411174.3 Guido Burkard 2005 Phys. Rev. B 71, 144511.4 D. Vion, A. Aassime, A. Cottet et al 2002 Science 296, 886.5 A. Pashkin, T. Yamamoto et al 2003 Nature 421, 823.6 Alex Grishin, Igor V. Yurkevich, and Igor V. Lerner arXiv:cond-mat/0608445v1.7 T. P. Orlando, J. E. Mooij, L. Tian, C. H. van der Wal et al 1999 Phys. Rev. B 60, 15 398.8 M. G. Castellano, F. Chiarello, R. Leoni, D. Simeone et al. 2005 Applied Physics Letters 86, 152504. 9 A. Lupascu, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij 2005 Phys. Rev. B 71, 184506. 10 Clarke J, Cleland A N, Devoret M H, Esteve D, Martinis J M. Science, 1998, 239:992-99711 Yu Y. et al. Science, 2002,296:889-892.12 Y. Makhlin and A. Shnirman 2004 Phys. Rev. Lett. 92, 178301.13 D. Esteve, M. H. Devoret, and J. M. Martinis 1986 Phys. Rev. B 34, 158. 14 Caspar H. van der Wal, F. K. 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