高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间向量及其运算课件 理.ppt

第八章立体几何 8 5空间向量及其运算 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 空间向量的有关概念 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 知识梳理 1 答案 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b a 0 b与a共线的充要条件是存在实数 使得 推论如图所示 点p在l上的充要条件是 ta 1 t t b a 答案 1 答案 3 空间向量基本定理如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组 x y z 使p 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个基底 xe1 ye2 ze3 答案 互相垂直 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 两向量的夹角a b是空间两个非零向量 过空间任意一点o 作 a b 则 aob叫做向量a与向量b的夹角 记作 其范围是 若 a b 则称a与b 记作a b a b 0 a b 答案 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 则叫做向量a b的数量积 记作 即a b a b cos a b a b a b cos a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b b a a b a c 答案 4 空间向量的坐标表示及其应用设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 空间中任意两非零向量a b共面 2 在向量的数量积运算中 a b c a b c 3 对于非零向量b 由a b b c 则a c 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 答案 思考辨析 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 与向量 3 4 5 共线的单位向量是 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 已知a 2 4 x b 2 y 2 若 a 6 且a b 则x y的值为 1或 3 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 正四面体abcd的棱长为2 e f分别为bc ad中点 则ef的长为 12 22 12 2 1 2 cos120 0 2 1 cos120 2 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 题型一空间向量的线性运算 解析答案 2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 解析答案 解析答案 1 若本例 1 中将 点m在oa上 且om 2ma 改为 m为oa的中点 点g在线段mn上 且 引申探究 解析答案 解析如图所示 解析答案 解析答案 思维升华 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 在立体几何中三角形法则 平行四边形法则仍然成立 跟踪训练1 解析答案 例2已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 题型二共线定理 共面定理的应用 解析答案 由共面向量定理的推论知 e f g h四点共面 证明如图 连结bg 2 求证 bd 平面efgh 所以eh bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh 所以bd 平面efgh 解析答案 解析答案 思维升华 证明找一点o 并连结om oa ob oc od oe og 如图所示 所以四边形efgh是平行四边形 所以eg fh交于一点m且被m平分 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 e是a1b上的点 f是ac上的点 且a1e 2eb cf 2af 则ef与平面a1b1cd的位置关系为 且ef 平面a1b1cd db1 平面a1b1cd 所以ef 平面a1b1cd 平行 跟踪训练2 解析答案 例3如图所示 已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 1 求证 mn ab mn cd 由题意可知 p q r a 且p q r三向量两两夹角均为60 题型三空间向量数量积的应用 解析答案 2 求mn的长 解析答案 3 求异面直线an与cm所成角的余弦值 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 数量积的应用 1 求夹角 设向量a b所成的角为 则cos 进而可求两异面直线所成的角 2 求长度 距离 运用公式 a 2 a a 可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 3 解决垂直问题 利用a b a b 0 a 0 b 0 可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 如图所示 四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面为平行四边形 以顶点a为端点的三条棱长都为1 且两两夹角为60 1 求ac1的长 跟踪训练3 解析答案 2 求证 ac1 bd a b b 2 b c a 2 a b a c b c a c b c cos60 a c cos60 0 解析答案 3 求bd1与ac夹角的余弦值 解析答案 返回 易错警示系列 典例已知向量a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且a b同向 则x y的值分别为 易错警示系列 10 两向量同向 意义不清致误 解析答案 易错分析 温馨提醒 返回 易错分析将a b同向和a b混淆 没有搞清a b的意义 a b方向相同或相反 把 代入 得x2 x 2 0 x 2 x 1 0 解得x 2或x 1 当x 2时 y 6 当x 1时 y 3 解析答案 温馨提醒 两向量a b反向 不符合题意 所以舍去 答案1 3 温馨提醒 返回 温馨提醒 1 两向量平行和两向量同向不是等价的 同向是平行的一种情况 两向量同向能推出两向量平行 但反过来不成立 也就是说 两向量同向 是 两向量平行 的充分不必要条件 2 若两向量a b满足a b b 0 且 0则a b同向 在a b的坐标都是非零的条件下 a b的坐标对应成比例 思想方法感悟提高 1 利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2 利用共线向量定理 共面向量定理可以证明一些平行 共面问题 利用数量积运算可以解决一些距离 夹角问题 3 利用向量解立体几何题的一般方法 把线段或角度转化为向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通过向量的运算或证明去解决问题 方法与技巧 1 向量的数量积满足交换律 分配律 即a b b a a b c a b a c成立 但 a b c a b c 不一定成立 2 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 在下列命题中 若向量a b共线 则向量a b所在的直线平行 若向量a b所在的直线为异面直线 则向量a b一定不共面 若三个向量a b c两两共面 则向量a b c共面 已知空间的三个向量a b c 则对于空间的任意一个向量p总存在实数x y z使得p xa yb zc 其中正确命题的个数是 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析a与b共线 a b所在直线也可能重合 故 不正确 根据自由向量的意义知 空间任两向量a b都共面 故 错误 三个向量a b c中任两个一定共面 但它们三个却不一定共面 故 不正确 只有当a b c不共面时 空间任意一向量p才能表示为p xa yb zc 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为0 答案0 15 2 已知a 2 1 3 b 1 2 1 若a a b 则实数 的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意知a a b 0 即a2 a b 0 所以14 7 0 解得 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析连结a1c1 c1d 则ef是三角形a1c1d的中位线 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 空间四边形abcd的各边和对角线均相等 e是bc的中点 那么下列关系正确的是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知a b是异面直线 a b a c d b ac b bd b且ab 2 cd 1 则异面直线a b所成的角等于 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以异面直线a b所成的角等于60 答案60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a c b b a c c b a a c a b b a b c c b c a 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二如图 在三棱锥a bcd中 不妨令其各棱长都相等 则正四面体的对棱互相垂直 答案0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 cbd为锐角 同理 bcd bdc均为锐角 锐角 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如图所示 取bc的中点e 连结ae 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求向量a与向量b的夹角的余弦值 解 a 1 1 0 b 1 0 2 解析答案 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解方法一 ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 且ka b与ka 2b互相垂直 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ka b ka 2b k2a2 ka b 2b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 如图 在棱长为a的正方体oabc o1a1b1c1中 e f分别是棱ab bc上的动点 且ae bf x 其中0 x a 以o为原点建立空间直角坐标系o xyz 1 写出点e f的坐标 解e a x 0 f a x a 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求证 a1f c1e 证明 a1 a 0 a c1 0 a a a1f c1e 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明 a1 e f c1四点共面 即 x a a 1 a a 0 2 0 x a a 1 a 1 x 2 a 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知 a b c 是空间的一个基底 a b a b c 是空间的另一个基底 一向量p在基底 a b c 下的坐标为 4 2 3 则向量p在基底 a b a b c 下的坐标是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设p在基底 a b a b c 下的坐标为x y z 则p x a b y a b zc x y a x y b zc 因为p在 a b c 下的坐标为 4 2 3 所以p 4a 2b 3c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即p在 a b a b c 下的坐标为 3 1 3 答案 3 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 其中正确命题的序号是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ab1 a1c 故 正确 中a1b与ad1两异面直线所成角为60 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析方法一对于任意x y r b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 r 说明当x x0 y y0时 b xe1 ye2 取得最小值1 b xe1 ye2 2 b 2 xe1 ye2 2 2b xe1 ye2 b 2 x2 y2 xy 4x 5y 要使 b 2 x2 y2 xy 4x 5y取得最小值 需要把x2 y2 xy 4x 5y看成关于x的二次函数 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以x