高中数学 探究导学课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(一)课件 新人教版必修4.ppt

3 2简单的三角恒等变换 一 自主预习 主题 半角公式1 如何用cos2 表示sin2 cos2 tan2 提示 根据倍角公式 sin2 1 cos2 cos2 1 cos2 tan2 2 如何用cos 表示sin2 cos2 tan2 提示 sin2 1 cos cos2 1 cos 3 如何用cos 表示sin cos tan 提示 在上述变式式子的基础上通过开方运算即可 通过以上探究过程 试着写出半角公式 sin cos tan 深度思考 通过教材p140例2你认为应如何进行三角恒等变换 第一步 第二步 第三步 第四步 寻找角间关系 并以此为依据选择联系它们 的公式 进行式的变换 进行角的适当换元 整理并化简 预习小测 1 已知cos 且 0 则cos的值为 解析 选a 因为 0 所以 2 已知sin 3 则tan的值为 a 3b 3c d 解析 选a 因为3 所以cos 3 已知cos 且0 则sin 解析 因为0 所以0 答案 4 已知cos12 m 则cos6 解析 因为cos12 m 所以cos6 答案 5 已知cos 且180 270 则tan 解析 因为180 270 所以90 135 所以tan 0 所以tan 答案 2 互动探究 1 半角公式中根号前面的正负号怎样确定 提示 符号由所在象限决定 2 利用倍角公式 半角的正切公式还可以作如何变形 提示 探究总结 知识归纳 方法总结 三角恒等变换的方法 1 变角 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系 通过拆 凑等手段消除角之间的差异 合理选择联系它们的公式 2 变名 观察三角函数种类的差异 尽量统一函数的名称 如统一为弦或统一为切 3 变式 观察式子的结构形式的差异 选择适当的变形途径 如升幂 降幂 配方 开方等 题型探究 类型一 应用半角公式求值 典例1 已知sin 且 求sin cos tan的值 解题指南 先由sin 求出cos 然后结合半角公式及的范围求sin cos tan的值 解析 因为sin 所以cos 又 规律总结 半角公式与倍角公式的关系及应注意的问题 1 半角公式与倍角公式是相对而言的 即2 是 的二倍角 是2 的半角 2 在三角函数问题中用到半角公式时 通常借助于倍角公式推导出再应用 亦可直接利用半角公式求解 3 在利用半角公式解题时 注意判断角的范围 以免产生增根 提醒 在利用半角公式求值时 注意角的范围 根据角的范围得出所求值的符号 巩固训练 2016 潍坊高一检测 若cos 是第三象限的角 则 a b c 2d 2 解析 选a 因为 是第三象限角 cos 类型二 三角函数式的化简 典例2 1 2016 深圳高一检测 已知 是第三象限角 则 2 2016 长春高一检测 的化简结果是 解题指南 1 先使用半角公式升幂 再开方化简或被开方数的分子 分母同乘以 1 cos 或 1 cos 再开方化简 2 把被开方数升幂 写成平方的形式 再开方化简 解析 1 方法一 选a 因为 是第三象限角 则是第二或第四象限角 方法二 选a 原式 2 原式 2 cos4 2 cos4 2 sin4 cos4 因为所以cos4 0 sin4 cos4 0 所以sin4 cos4 0 从而原式 2cos4 2sin4 2cos4 2sin4 答案 2sin4 延伸探究 1 若把本题 2 中 8 改为 80 如何化简 解析 因为0 sin40 cos40 所以原式 2 cos40 2 sin40 cos40 2cos40 2 cos40 sin40 4cos40 2sin40 2 本题 2 中若把式子改为如何化简 解析 2 sin4 2 sin4 cos4 因为所以sin4 0 cos4 0 从而sin4 cos4 0 故原式 2sin4 2 sin4 cos4 4sin4 2cos4 规律总结 三角函数式化简的要求 思路和方法 1 化简的要求 能求出值的应求出值 尽量使三角函数种数最少 尽量使项数最少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 2 化简的思路 对于和式 基本思路是降次 消项和逆用公式 对于三角分式 基本思路是分子与分母约分或逆用公式 对于二次根式 注意二倍角公式的逆用 另外 还可以用切割化弦 变量代换 角度归一等方法 3 化简的方法 弦切互化 异名化同名 异角化同角 降幂或升幂等 补偿训练 化简 解析 原式 因为00 所以原式 cos 类型三 三角恒等式的证明 典例3 证明 解题指南 1 从左往右证明 切化弦 逆用两角和与差的正弦公式 2 从左往右证明 先用半角公式转化cosx 1和1 cosx再化简证明 3 由利用等比定理即可证明 证明 1 左边 所以原等式成立 规律总结 三角恒等式证明的常见途径 1 从复杂的一端向简单一端化简