第三讲 比例问题.ppt

例1双层玻璃窗的保温功效 例2公平的席位分配 第三讲比例问题 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 减少多少热量损失 假设 热量传播只有传导 没有对流 T1 T2不变 热传导过程处于稳态 材料均匀 热传导系数为常数 建模 热传导定律 Q 单位时间单位面积传导的热量 T 温差 d 材料厚度 k 热传导系数 例1双层玻璃窗的保温功效 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta 内层玻璃的外侧温度 Tb 外层玻璃的内侧温度 建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计 取k1 k2 16 建模 模型应用 取h l d 4 则Q1 Q2 0 03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 可减少97 的热量损失 结果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于层间空气极低的热传导系数k2 而这要求空气非常干燥 不流通 房间通过天花板 墙壁 损失的热量更多 双层窗的功效不会如此之大 玻璃模型应用建筑规范要求l 4d 这时Q 30 Q 即双层玻璃窗比同样多材料的单层窗减少97 的热量流失 当然 双层窗制作费用高些 双层窗保温的优良功效是因为两层玻璃间低热传导系数 空气不流通 南方双层玻璃窗是用来防热 北方双层玻璃窗是用来防寒 东北三大怪之一 窗户纸贴在外 1 若单层玻璃窗的玻璃厚度也是d 结果将如何 2 若锅盖也做成双层的 可减少热量的散失 一定也能节约燃料 h l d Q Q O 4 6 例2公平的席位分配 问题 三个系学生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表会议共20席 按比例分配 三个系分别为10 6 4席 现因学生转系 三系人数为103 63 34 问20席如何分配 若增加为21席 又如何分配 比例加惯例 对丙系公平吗 符号和假设 解决的问题 某校共有个m系 第i系学生数为ni 校学生会共设N个席位 怎样才能公平地把这些席位分配给各系 全校学生数记为 每个系至少应分得一个席位 否则把其剔除 至多分得个席位 每个席位代表的学生数记为 应为正整数 第i系按学生数比例应分得的席位为 最后实际分得的席位数为 每个席位代表的学生数为 i 1 2 m 确定 公平 的标准 标准1要求最小 标准2要求最小 标准3要求最大 标准4要求最小 判别数 分配法 按标准1 可认为 越大的系越吃亏 故应尽量优先照顾之 取整数后 每个席位代表的学生数为 表示 小数部分 表示 整数部分 例2 1 1对上例用此算法重新分配 先算 再算然后进行分配 因为r 21 10 6 3 2 且 与 所以N2 6 1 7 N3 3 1 4 这样已分出11席 剩余10席自然给甲系 即N1 10 较大 例2 1 2N 25 n 2500 具体数据如下表第一轮计算 第二轮计算 因为r 20 10 6 3 1 且较大 所以N3 3 1 4 分出4席 剩余16席 第三轮计算 即各系席位数分别为 10 6 4 3 2 因为r 16 10 5 1 且较大 所以N2 5 1 6 分出6席 剩余10席 自然给一系 即N1 10 作业 调查我校各系学生总数 分配100个学生席位 公平 分配方法 衡量公平分配的数量指标 当p1 n1 p2 n2时 分配公平 p1 n1 p2 n2 对A的绝对不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者对A的不公平程度已大大降低 虽二者的绝对不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 对不公平 A p1 n1 p2 n2 5 公平分配方案应使rA rB尽量小 设A B已分别有n1 n2席 若增加1席 问应分给A 还是B 不妨设分配开始时p1 n1 p2 n2 即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义rB n1 n2 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定义 1 若p1 n1 1 p2 n2 则这席应给A 2 若p1 n1 1 p2 n2 若p1 n1 p2 n2 1 应计算rB n1 1 n2 应计算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给 应讨论以下几种情况 初始p1 n1 p2 n2 问 p1 n1 p2 n2 1 是否会出现 A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给B 当rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 该席给A 该席给A 否则 该席给B 推广到m方分配席位 该席给Q值最大的一方 Q值方法 三系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席给丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配结果 公平吗 Q1最大 第20席给甲系 进一步的讨论 Q值方法比 比例加惯例 方法更公平吗 席位分配的理想化准则 已知 m方人数分别为p1 p2 pm 记总人数为P p1 p2 pm 待分配的总席位为N 设理想情况下m方分配的席位分别为n1 n2 nm 自然应有n1 n2 nm N 记qi Npi P i 1 2 m ni应是N和p1 pm的函数 即ni ni N p1 pm 若qi均为整数 显然应ni qi qi Npi P不全为整数时 ni应满足的准则 记 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 q