高中数学高一第一学期题库-平面向量.doc

1. 平面向量基本概念1. 已知,，其中，给出以下命题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的命题是_（写出正确命题的序号） 1、2、42. 当满足_时，使得平分的夹角 模相等且不共线（一）相反向量1. 已知向量=(sin2x,-f(x),=(-m,cos2x+m-)(mR) 且与互为相反向量.(1) 求f(x)的表达式;(2) 若x0,),f2(x)-lf(x)+1的最小值为-2,求实数l的值.（二）平面向量基本定理1. 已知点E，F是正ABC的边BC上的两个三等分点，若AB = 3，则= 2. A B C D M P Q （第16题） 如图，在ABCD中，已知，M为边CD的中点，P，Q分别是边AB，CD上的动点（1）用a，b表示向量与；（2）若，求x + y的值（1），（2）设，则又由分解的惟一性定理，得x + y = 1 3. 正三角形的边长为15，（1）求证：四边形为梯形；（2）求梯形的面积.解：（1）略；（2）向量线性分解：得2. 平面向量坐标运算1. 在梯形ABCD中,AD/BC,ABC=,AD=1,BC=2,P是腰AB所在直线上的动点,则|3+2|的最小值为 . 方法：特殊化思想，可考虑直角梯形2. 在直角坐标系中，分别是与轴，轴正方向平行的单位向量，若直角三角形中，则实数 3. 在平面直角坐标系中，已知点，其中.（1）若，求证：；（2）若，求的值.解：（1），-2分， -5分，,，.-7分（2） 由（1），若则，-10分， ， -12分 .-14分3. 平面向量的数量积（一）平面向量数量积的射影解释ABCEFD（第9题）1. 已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为 _.1变式：（2012,9）如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 _ （二）平面向量数量积引例1：已知椭圆C的标准方程为，点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，则的取值范围为_， ， 设，则，即 ， ，则的取值范围为引例2：已知为椭圆的两个焦点，若点P在椭圆上，且满足，Q是轴上的一个动点，则= -20优化方法：关注到求值，暗示我们是一个常数，和Q点的位置关系无关，可取特殊，当点Q位于坐标原点时，此时计算得到结果为优化：评注：求向量数量积的值或者取值范围时，有时需要对向量进行线性分解时，看能否利用垂直关系？练习：1. 在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且= _.答：18 提示:设AC与BD相交于点O，2. 两个半径分别为的圆，公共弦，则9连接圆心交于点，则为公共弦的中点，设为线段的中点，故3. 已知的外心为，且，则-84.（2013年南京高三数学二模）在中，已知AB=2，BC=3，BDAC，D为垂足，则的值为_ 5. 如图，正六边形的边长为，则_6. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，则引例3. 已知向量，满足，且对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_ 思考：能否从数、形两角度分别给出解法？ 类题比较：（2006年全国联赛）已知，若对任意，则为 _ 三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（三）平面向量数量积的应用1. 已知O是ABC的外心，AB = 2a，AC = ，BAC = 120，若 = xy，则xy的最小值是 22. 在ABC中，则角A的最大值为_解：转化为边的关系（余弦定理）；余弦定理结合基本不等式. 是等腰直角的两腰的中点，则为_4. 变式1：在RtABC中，A90，ABAC2，点D为AC中点，点E满足，则_变式2：是内一点，则= 1. 已知点E，F是正ABC的边BC上的两个三等分点，若AB = 3，则= 2. 在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且 _.变式：两个半径分别为的圆，公共弦，则3. 已知的外心为，且，则4. 如图，正六边形的边长为，则_5. 在平面四边形中，若， 则 .6. 向量，满足，且对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_ 7. 已知向量，满足，则的最小值为 变式：已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a+c)(b+c)0，则|c|的最大值是 8. 若，若两向量夹角为钝角，则实数的取值范围是_9. 已知的重心为，且，则10. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，则11. 将函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量=_12. 直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足，则= .13. 等边ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数的值是 14. 三角形ABC中AP为BC边上的中线，=3，则|= 15.扇形半径为，圆心角AOB60，点是弧的中点，点在线段上，且则的值为 16. 向量，设向量，则 .17. 如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求的值；（2）若，且与的夹角为时，求的值。18. 已知（1）若，求；Ks5（2）若的夹角为60，求；（3）若，求的夹角19. 已知,若,(1) 试求当为何值时，点在第三象限内.(2)求的余弦值.(3) 过作交于点,求点的坐标.(4)求20. 已知在直角坐标系中（O为坐标原点），,.() 若点A、B、C是一个三角形的三个顶点，求x的取值范围；（）当x=6时，直线OC上存在点M，且,求点M的坐标.（四）平面向量模问题的应用1. 已知向量，满足，则的最小值为 坐标法、特殊化、向量方程的转化2. 已知a,b,c是平面内的三个向量，其中a=（1,2）。（1） 若，且c/a，求c的坐标；（2） 若，a+2b与2a-b垂直， 求a,b的夹角。3. 集合D=平面向量，定义在D上的映射f满足对任意xD，均有（1） 若，且a,b不共线，试证明：（2） 若A（1,2），B（3,6），C（4,8），且求4. 向量的基本概念及向量的线性运算（一）向量的基本概念的考察1. 已知向量与不共线，若存在，使，则2. 若向量与满足，则的取值范围是_3. 已知点是内一点，若，则点是的_心4. 与同向的单位向量可表示为_；与共线的单位向量可表示为_；研究：已知是所在平面上一定点，动点P满足：（1），点形成的图形一定通过的 心（填外心、内心、重心、垂心） 内心（2），点形成的图形一定通过的 _ 心 重心（3），点形成的图形一定通过的 _ 心 垂心5. 表述并证明向量的共线定理.（存在性和唯一性）6. 证明向量的三角不等式：，并交待等号成立的条件.（同号相等是同向，异号相等是反向）7. 三个重要的向量模型：（1）三角形中线模型：（2）三点共线模型：若是平面内的任意一点，则三点共线（证明充要条件）（3）重心模型：若是的重心，结论有：（1）若，则（2）；（3）（4）结合中线模型：等价变形：变式：的重心为，的中点分别是则8. 在平行四边形中，设则向量的基本运算抓住两条主线：形与数。一是基于形，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和（差）；二是基于数的对上述操作的概括（或称形式化），向量的多边形法则。注意“形”与“数”的结合与印证。9. 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为_ 直角三角形；10. 若点是内一点，若，且，则的形状为_ 正三角形；11. 如图所示，已知的面积为，分别是边上的点，且，则的面积为_ 12. 已知点分别是和的重心，且，则解：对向量进行算三次，利用重心模型，可得结论.13. 平面内有一个和一个点，线段的中点分别为，边的中点分别是，设（1）试用表示向量（2）证明：线段交于一点且互相平分.（二）线性运算问题的考察1. 已知是一对不共线的非零向量，若,，且共线，则 变式1：已知是一对不共线的非零向量，若，若三点共线，则 -8变式2：已知是一对不共线的非零向量，若，若，证明：三点共线变式3：已知向量,，其中是一对不共线的非零向量，向量,问是否存在实数，使与共线2. 已知是平面上的三个点，直线上有一个点，满足，则（用表示） 插点法3. 已知向量满足,则平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和4. 在中，点是的中点，若则5. 若是平面内的任意一点，则三点共线变式1：若是平面内的任意一点，若，试确定点的位置.解：，线段上或的延长线上；，在线段的反向延长线上时，点与点重合.变式2：已知是所在平面内一点，且（）（1）若点在直线上，则应满足什么条件？（2）若，证明：点必在内可优化的一类问题：引例1. 如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 引例2. 是圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围是_1.（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知为锐角三角形的外心，若，且，则2.在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 . 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向若且，C点所有可能的位置区域的面积为 4. 若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 5. 在中，已知，为线段上的点，且，则的最大值为_ 3由题易得：，求的最大值（可考虑三角换元或直接基本不等式）6. 在中，设是的中点，是所在平面内一点，且，则的值是_.1另解1：坐标法；另解2：加上一个向量,也可以完成；另解3：或者将三个向量同时插入一个点也可以；6. 在任意四边形中，分别是的中点，求证：（算两次的数学思想，教材习题，三种方法）7. 已知是线段外一点，且（1）若点是线段的三等分点，试用向量表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源8. 已知是单位向量，向量的模为2，若，则实数的值为_9. 在中，点为的中点，则10. 已知所在平面内一点（点与点不重合），且,则与的面积之比为_ 作图发现规律：2变式1 是内一点，则= 变式2 已知为内的两点，且，则与的面积之比为_变式3 设在内，且，则_；_变式4 内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积