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第九讲：二次函数十大基本问题知识模块与方法知识模块一：二次函数的定义问题1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项知识、题型、方法例1：若是二次函数，则 。变式练习：已知，试讨论分别为何值时为正比例函数、反比例函数、二次函数？课堂演练一：1. 二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2. 若y(m1)x3x1是二次函数，则m的值为_3. 已知函数，则自变量的取值范围是 。4. 某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设 矩形的一边长为米，所花费用为元。则与之间的函数关系式为 。5. 已知函数，当为何值时： （1）是的正比例函数，且随着增大而增大。 （2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。 （3）函数图象是开口向上的抛物线。知识模块二：二次函数的图象及其性质1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质： 上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质： 左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值二次函数图象的过点问题与交点问题中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题 的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。知识、题型、方法例2：已知抛物线和直线都经过点（，）。（1）求，的值。 （2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。变式练习：1（2008，长春）已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为4，求的值。 第1题图 第2题图2（2008，辽宁大连）如图10，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式的解集(直接写出答案)。课堂演练二：1二次函数的图象经过两点A（，），B（，），则 。2若抛物线与轴的交点坐标是（，0）则 。3. 已知函数的图象与直线交于点（1，）， 则求 。4. 如图，是二次函数yax2xa21的图象，则a_ 第4题图二次函数图象的单调性问题：中考方法点拨： 判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴， 对称轴是二次函数单调性的分界点，即：1. 当时，抛物线开口向上：在范围内，随的增大而减小；在范围内，随的增大而增大；当时，有最小值。2. 当时，抛物线开口向下： 在范围内，随的增大而增大；在范围内，随的增大而减小； 当时，有最大值。知识、题型、方法例3：（2011，浙江舟山）如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 。例3图（1,-2）-1 变式练习第2题图例4：（2008，山东东营）若A（），B（），C（）为二次函数 的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A B C D变式练习：1（2011，广安）若二次函数当l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A=l Bl Cl Dl2（2011，浙江温州）已知二次函数的图象(0x3)如第9题图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，无最大值课堂演练三：1当时，二次函数的最小值是 ，最大值是 。2（2011，广东广州）下列函数中,当x0时y值随x值增大而减小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 3（2011，山东聊城）下列四个函数图象中，当x0 B b0 C c0 D abc0 2。（2010，湖北孝感）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0。其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 xy-11O1 第2题图 第3题图 第4题图3。（2011，甘肃兰州）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学 观察得出了下面四条信息： （1）；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你认为其中错误的有（ ）A2个 B3个C4个 D1个 4。（2011，山东日照）如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为和1；a-2b+c0。其中正确的命题是 。（只要求填写正确命题的序号）5。（2009，广西南宁）已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：，其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个1图4Oxy3 -1Ox=1yx图56。（2008甘肃兰州）已知二次函数（）的图象如图5所示，有下列 四个结论：； ； ； 。其中正确的结论有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个7。（2007，天津）已知二次函数的 图象如右图所示， 有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A。2个B。3个C。4个D。5个 8。（2007，南充）如右图是二次函数yax2bxc图象的一部分， 图象过点A（3，0），对称轴为x1给出四个结论： b24ac； 2ab=0； abc=0； 5ab。 其中正确结论是（ ）。（A） （B） （C） （D）二次函数的平移问题中考方法点拨：抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即的值不变。 解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置 变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎 样的平移即可。解答思路：先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出 平移后的抛物线解析式。（平移前先把二次函数的解析式化成顶点式）知识、题型、方法例8：（1）（2011，山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是( )A。先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B。先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C。先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D。先向右平移2个单位,再向上平移3个单位（2）（2010，毕节）把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为，则（ ） A。， B。，C。， D。，课堂演练六：1。（ 2011，重庆江津）将抛物线向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是 。2。（2009，泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）A B C D3。（2009，兰州）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A BC D4.（2008，资阳市） 在平面直角坐标系中，如果抛物线y2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( )Ay2(x2)2 + 2By2(x + 2)22 Cy2(x2)22Dy2(x + 2)2 + 25。要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）。A向左平移2个单位，再向下平移2个单位B向右平移2个单位，再向上平移2个单位C向左平移1个单位，再向上平移1个单位D向右平移1个单位，再向下平移1个单位6。（2008，山西省）抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）A向左平移1个单位，再向下平移3个单位B向左平移1个单位，再向上平移3个单位C向右平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向上平移3个单位7。如果将抛物线沿直角坐标平面向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线。你能确定、的值吗？试试看。二次函数图象与一次函数或反比例函数图象在同一坐标系内的问题中考方法点拨：（假设法与数型结合思想）知识、题型、方法例9：（1）（2011，四川凉山州）二次函数的图1像如图所示，反比列函数 与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ） 图1OxyOyxAOyxBOyxDOyxC （2）（2009，兰州）在同一直角坐标系中，函数和函数 （是常数，且）的图象可能是（ ）课堂演练七：1。（2011，山东德州）已知函数（其中）的图象如下图所示，则函数的图象可能正确的是（ ） yx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）2。（2011，安徽芜湖）二次函数的图象如图2所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）。 3。（2009，烟台）二次函数的图象如图3所示，则一次函数1Oxy 图3与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）yxOyxOBCyxOAyxOD 4。（2008，吉林省长春市）已知反比例函数的图象如下图4所示，则二次函数的图象大致为（ ）DC AB 图4 5。（2011，湖南湘潭）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） 6。（2009，湖北荆门）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A B C D7。（2007，云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象 OxyOxyOxyOxyABCD 可能为（ ）二次函数的解析式问题：知识、题型、方法用待定系数法求二次函数的解析式常用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式yax2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k3已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）， 设两根式：ya(xx1)(xx2) （其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例10：（1）已知二次函数过（，0），（3，0），（0，），求此抛物线 的解析式。 （2）二次函数图象经过（3，），对称轴，抛物线与轴两交点间的距离为 6， 求二次函数的解析式。变式练习：1. 已知二次函数过点（2，0），（4，0），顶点到轴的距离为1，求此函数的解析式。2. （2011，湖南湘潭节选）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B 两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）。求抛物线的解析式。 OCBA 课堂演练八：1. 已知二次函数当时有最小值3，且过（1，5），则二次函数的解析式为 。2. 已知二次函数的图象经过点A（，0），B（3，0）且顶点的纵坐标为，则这个二次函数的解析式为 。3. 若抛物线的顶点坐标为（1，3），且与的开口大小相同，方向相反，则二次函数的解析式为 。4已知一个二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的表达式。5. （2011，贵州安顺）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， 且A（一1，0）。 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值。 6. （2011，贵阳）如图所示，二次函数y= -x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， 另一个交点为B，且与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，。求点D 的坐标。 二次函数与配方法问题：知识、题型、方法例11：（1）（2011，济宁）将二次函数化为的形式，则 。（2）（2009，泰安）抛物线的顶点坐标为（ ）（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）例12：（2011，广东肇庆）二次函数有（ ）A最大值B最小值C最大值D最小值变式练习：分别在下列范围内求函数的最大值或最小值。（1）； （2）。课堂演练九：1（2011，上海）抛物线y(x2)23的顶点坐标是（ ）(A)（2，3）； (B)（2，3）； (C)（2，3）； (D)（2，3） 2（2011，湖南永州）由二次函数，可知（ ）A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线C其最小值为1 D当时，y随x的增大而增大 3(2009，上海)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD4（2009年北京市）若把代数式化为的形式，其中为常数，则= 。5若一次函数的图象过第一、三、四象限，则二次函数有（ ） A最大值 B最大值 C最小值 D最小值二次函数与一元二次方程问题：知识与方法：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴的交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。图象与轴的交点个数由一元二次方程的判别式来决定，具体如下： （1）当时，图象与轴交于两点，其中的 是一元二次方程的两根。这两点间的距。 （2）当时，图象与轴只有一个交点； （3）当时，图象与轴没有交点。 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有。 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，。 知识、题型、方法例13：已知抛物线（为常数）。 （1）证明：不论何值，抛物线与轴恒有两个不同的交点。 （2）若抛物线与轴的交点A（，0），B（，0）的距离AB4（A在B的左边），且抛物线交轴正半轴于C，求抛物线的解析式。变式练习： （2009，孝感）已知抛物线（k为常数，且k0）。（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值。例14：（2007，江西省）已知二次函数的部分图象如下图所示，则关于的一元二