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Summary by _A_MMGD 曲线运动 第五章 曲线运动一、基本概念：（一）曲线运动：1、在曲线运动中,质点在某一时刻(某一位置)的速度方向是在曲线上这一点的切线方向。2、物体做直线或曲线运动的条件：（已知当物体受到合外力F作用下,在F方向上便产生加速度a）（1）若F（或a）的方向与物体速度v的方向相同，则物体做直线运动；（2）若F（或a）的方向与物体速度v的方向不同，则物体做曲线运动。3、物体做曲线运动时合外力的方向总是指向轨迹的凹的一边。4、平抛运动：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。两分运动说明：（1）在水平方向上由于不受力，将做匀速直线运动；（2）在竖直方向上物体的初速度为零，且只受到重力作用，物体做自由落体运动。5、以抛点为坐标原点，水平方向为x轴（正方向和初速度的方向相同），竖直方向为y轴，正方向向下，则物体在任意时刻t的位置坐标为：6、水平分速度：竖直分速度： t秒末的合速度：任意时刻的运动方向可用该点速度方向与x轴的正方向的夹角表示： （二）圆周运动1、匀速圆周运动：质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的圆弧长度相同。2、描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度v：质点通过的弧长和通过该弧长所用时间的比值，即vs/t，单位m/s；属于瞬时速度，既有大小，也有方向。方向为在圆周各点的切线方向上匀速圆周运动是一种非匀速曲线运动，因而线速度的方向在时刻改变。（2）角速度：/t(指转过的角度，转一圈为)，单位 rad/s或1/s；对某一确定的匀速圆周运动而言，角速度是恒定的（3）周期T，频率f1/T（4）线速度、角速度及周期之间的关系： 3、向心力：，或者， 向心力就是做匀速圆周运动的物体受到一个指向圆心的合力，向心力只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。4、质点做匀速圆周运动的条件（1）具有一定的速度；（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。5、 向心力有关说明向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。6、向心加速度：，或或 描述线速度变化快慢，方向与向心力的方向相同， 7、注意的结论：（1）由于方向时刻在变，所以匀速圆周运动是瞬时加速度的方向不断改变的变加速运动。（2）做匀速圆周运动的物体，向心力方向总指向圆心，是一个变力。（3）做匀速圆周运动的物体受到的合外力就是向心力。8、离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受的合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。二、圆周运动常见问题及处理要点（一）解决圆周运动问题的步骤1. 确定研究对象；2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。基本规律：径向合外力提供向心力F合=F向。1、皮带传动问题例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）A. a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相等图 1解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为 ，则a点向心加速度，由，所以，故，D正确。本题正确答案C、D。点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。2、水平面内的圆周运动转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的 倍。求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。（2）当转盘的角速度时，细绳的拉力。图2解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即=0。（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得。点评：当转盘转动角速度时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。图3解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力FN的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图3所示有由此可得，可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。3、竖直面内的圆周运动竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类（图4）。图4这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有，即，否则不能通过最高点；（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，否则车将离开桥面，做平抛运动；（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。b当弹力大小时，向心力有两解；当弹力大小时，向心力只有一解；当弹力时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。结合牛顿定律的题型例3：如图5所示，杆长为 ，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。图5解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。（1）若F向上，则，；（2）若F向下，则，点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。需要注重的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。结合能量的题型例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为、，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么、R和应满足的关系是 。解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。对于A球有对于B球有根据机械能守恒定律由环的平衡条件而，由以上各式解得图6点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。连接问题的题型例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？图7解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为，由牛顿第二定律得解以上各式得，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于，方向竖直向下。说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。（二）难点问题选讲1、 极值问题例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B，A的重心到O点的距离为。若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。（取）图8解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。对于B：对于A：联立解得所以点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判定物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（非凡是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。2、微元问题例7：如图9所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为（），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？图9解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为由机械能守恒定律得由圆周运动规律可知，列车的最小速率，联立解得3、数理问题例8：如图10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距 ，长的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力不断增大，每转半圈的时间t不断减小。在第一个半圆内在第二个半圆内在第三个半圆内在第n个半圆内令，得，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为三、平抛运动的一个推论在高考解题中的应用（一）推论的得出： 如图1所示，设位移s与水平方向的夹角为，速度与水平方向的夹角 则： 故推论：做平抛运动的物体经过一段时间，到达某一位置时，设其末速度与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则，该推论同样也适用于类平抛运动（二）推论的应用例1（08年全国理综I14题）如图2所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足（）ABCD 答案：D（根据推论直接能选出正确答案）例2（08北京理综24题）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图2所示。为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）。在D曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45，求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。解析：以O为原点，建立直角坐标系xoy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有： 在M点，所以设A通过M点时的速度为v，由机械能守恒定律：，解得：位移与水平方向夹角为45，设速度与水平方向夹角为，根据推论：例3（03上海物理21题）质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的合力提供，不含升力）。测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：在高度h处飞机的动能。解析：设位移与水平方向的夹角为，速度与水平方向的夹角，则设在高度h处飞机速度为，则故动能四、两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，她取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔，如何分析此类问题呢？下面笔者就以一道例题谈一谈她的一些分析方法。例题：将小球A以初速度VA=40 m/s竖直向上抛出，经过一段时间t后，又以初速度VB=30m/s将小球B从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析t应满足的条件。解析：由于是在同一点抛出且VAVB，故相遇的位置一定是在A球下降阶段，B球有可能是在下降或上升阶段，其抛出的时间间隔就由这两过程决定。方法一：利用空中的运动时间分析要使两小球在空中相遇，t应满足的条件一定是介于某一范围内，因此，只要求出这个范围的最大值和最小值就可以了。当小球B抛出后处于上升阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较大，故t的最大值为小球A刚要落回抛出点的瞬间将小球B抛出。而小球A在空中运动的时间为：，即t的最大值为tmax=8s。当小球B抛出后处于下降阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较小，故t的最小值为A、B两小球同时落地，先后抛出的时间间隔。而小球B在空中运动的时间为：，则t的最小值为tmin=tA-tB=2s。故要使A、B两小球在空中相遇，t应满足的条件为2st8s。方法二：利用位移公式分析A、B两小球在空中相遇，不管其是在上升还是下降阶段相遇，相遇时的位移必相等。设小球B抛出后经时间t与小球A相遇，则小球A抛出后的运动时间为（t+t），由位移公式可得整理后可得，相遇时小球B所经过时间为： （1）考虑到A、B小球在空中相遇，则0t6s。由（1）式可得：0 （2）6 （3）解（2）式得：1t8解（3）式得：t2，或t6（不合题意）综合上述可得，要使A、B两小球在空中相遇，t应满足的条件为2st8s。方法三：巧选参考系分析小球B经t再抛出后，以小球A为参考系，小球B作匀速直线运动，其相对速度为v=30（40gt）=gt10而此时小球A的位移为，则小球B与小球A相遇的时间为同样，考虑到A、B小球在空中相遇，则0t6s，亦可以得到上述的（2）（3）两式，亦可求出要使A、B两小球在空中相遇，t应满足的条件为2st8s。方法四：利用图象分析1利用位移图象分析由位移公式可得A、B两小球的位移随时间的关系为SA=40t5t2SB=30t5t2可见，它们的图象均为抛物线，在位移-时间图象中分别作出它们的图象，如图1所示的图线A和B。经过不同时间t后再抛出小球B，只要将图线B逐渐向右移动，要使A、B两小球在空中相遇，必须使A、B两图线存在交点，交点的横坐标为相遇时的时刻，纵坐标为相遇时的位移。由图1可知，当移动的时间间隔为2s时，与图线A开始有交点，如图1中的B1位置；当移动的时间间隔为8s时，与图线A开始没有交点，如图中1的B3位置。由图可知，当2st5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段，当5st8s时，其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。因此可得A、B两小球在空中相遇，t应满足的条件为：2st8s。2利用速度图象分析由速度公式可得，A、B两小球的速度随时间的变化关系为：VtA=4010t，VtB=3010t在速度时间图象中分别作出它们的图象，如图2所示的图线A和B。要使A、B两小球在空中相遇，必须使小球B抛出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移为速度图线与坐标轴所围成的面积，由如图2可知，将B的速度图线逐渐向右移动，移动的时间间隔在2s以内，小球A的位移总是大于小球B的位移，且小球B总先于小球A落地，A、B两小球不可能相遇，当时间间隔等于2s时，如图中B1位置，两球同时落地。继续将B的速度图线向右移动，在小球A落地之前的时间内，如图中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移总是大于零，即说明了A、B两小球在空中相遇了。由图可知，当2st5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段，当5st8s时，其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。故要使A、B两小球在空中相遇，t应满足的条件为：2st8s。点评：由以上四种分析方法可以看出，采用图象法简单、直观、易懂，对于A和B两小球是在上升阶段还是下降阶段相遇非常清楚；方法一虽然也简单，但不易弄懂，要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，若能结合图象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，逻辑性很强，但要解不等式，相对来说要复杂一些。五、相关例题（包括受力分析及牛顿运动定律）：（PS：自己画的图，不是很好，凑合着看吧！）1、滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图1所示。斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为u。假设滑雪者由斜面低端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变，求：（1）滑雪者离开B点时的速度大小；（）（2）滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离。（）2、高台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的O点水平飞出，斜坡与水平面的夹角，运动员连同滑雪板的总质量，他落到了斜坡上的A点，A点与O点的距离，如图2所示，忽略斜坡的摩擦和空气阻力的影响，重力加速度。求：（1）运动员在空中飞行了多长时间；（7.2m）（2）运动员离开O点时的速度大小；（8.0m/s）图 2图 13、 如图3所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各部相同：中弹簧的左端固定在墙上；中弹簧的左端受到大小也为F的拉力作用；中弹簧的左端栓着一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；中弹簧的左端栓着一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以依次表示四个弹簧的伸长量，则有（ ）A、 B、 C、 D、4、如图4所示，用AO、BO绳吊一重物P静止，其中AO绳水平。现用水平向右的力F缓慢的拉起重物P的过程中，绳OB索收的拉力的变化为 （ ）A、变大 B、变小 C、先变大再变小 D、不变 图 3 图 45、在倾角为30的光滑斜面底端固定一个垂直于斜面的挡板，物体A、B用轻弹簧连接并放在斜面上，如图5所示。一直物体A的质量，物体B的质量，弹簧的劲度系数为，现将物体B从静止状态沿斜面向下压10cm后释放，g取10m/s2，则在B运动的过程中 （ ）A、物体A不会离开挡板，A对挡板的最小压力为5NB、物体A不会离开挡板，A对挡板的最小压力为10NC、物体A不会离开挡板，物体B振动的振幅为15cmD、物体A不会离开挡板6、小木块放在倾角为的斜面上，受到一个水平力F（F不等于0）的作用处于静止，如图6所示。则小木块受到斜面的支持力和摩擦力的合力的方向及其与垂直向上的方向的夹角可能是 （ ）A、合力的方向竖直向上，=0 B、合力的方向向右上方，C、合力的方向向左上方， 图 5 图 67、如图7所示，两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块，质量分别为m1、m2，拉力F1和F2方向相反，与轻线沿同一水平直线，且F1F2。试求在两个物块运动过程中轻线的拉力。（）8、如图8所示，一平板车以某一速度匀速行驶，某时刻一货箱（可视为支点）无初速地放置于平板车上，货箱离车后端的距离为，货箱放入车上的同时，平板车开始刹车，刹车过程可视为做的匀减速运动。已知货箱与平板车之间的动摩擦因数为，g取10m/s2。为使货箱不从平板车上掉下来，平板车匀速行驶的速度应满足什么条件？（） 图 7 图 8对竖直平面内圆周运动的一点补充：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置最高点和最低点。一、两类模型轻绳类和轻杆类1、轻绳类:运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度。2、轻杆类:运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小，；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度。过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力，最低点的向心力，由机械能守恒，质点运动到最低点和最高点的向心力之差，向心加速度大小之差也等于。二、可