广东省云浮中学、四会中学高二数学下学期联合竞赛试题新人教A版.doc

用心 爱心 专心1 n m d1 c1 b1 a1 d c b a 广东省四会中学 云浮中学广东省四会中学 云浮中学 2011 20122011 2012 下学期高二数学联合竞赛试下学期高二数学联合竞赛试 题题 注意事项 注意事项 1 考生务必将自己的姓名 班级 考号写在密封线内 2 本试卷满分为 150 分 考试时间为 120 分钟 考试过程中不得使用计算器 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 6 分 共 48 分 1 在 abc 中 角 a b c 所对的边长分别为 a b c 若 c 120 c 2a 则 a a b b a b c a b d a 与 b 的大小关系不能确定 2 若非零向量满足 则的夹角为 a b ab 2 0abb ab 与 a 300 b 600 c 1200 d 1500 3 观察下列各式 312555 1562556 7812557 则 2011 5 的末四位数字为 a 3125 b 5625 c 0625 d 8125 4 如图 2 所示 已知正方体的棱长为 2 长 1111 abcdabc d 为 2 的线段的一个端点在棱上运动 另一端点mnm 1 ddn 在正方形内运动 则的中点的轨迹的面积为abcdmn a b 4 2 c d 2 5 5 已知点p在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点p处的切线的倾斜角 则 的取值范围 是 a 0 4 b 4 2 c 3 24 d 3 4 6 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品 有公共点的两条棱所代表的化工产品放 在同一仓库是危险的 没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的 现 打算用编号为 1 2 3 4 的四个仓库存放这 8 种化工产品 那么安全存放的不 同方法种数为 a 96 b 48 c 24 d 12 7 7 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 a 0 62 b 1 2 2 c 62 62 d 0 2 2 用心 爱心 专心2 8 已知椭圆 22 22 1 0 xy cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点f且斜率为 0 k k 的直 线与c相交于ab 两点 若3affb 则k a 1 b 2 c 3 d 2 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 把答案填在题中横线上 9 9 若时 2 恒成立 求的取值范围 2 2x 2 3f xxaxa a 10 当 2 4 不等式恒成立 则 m 的取值范围是 x04 2 mxx 11 在等差数列 公差 求其前 n 项和的最大值是 32 1 aan中 4 d n s 12 已知方程有两个不相等的实数根 且两根都大于 1 则实数的取 2 220 xaxa a 值范围是 13 计算 123 23 n nnnn cccnc 可以采用以下方法 构造恒等式 0122 1 nnn nnnn cc xc xc xx 两边对x求导 得 123211 23 1 nnn nnnn cc xc xnc xnx 在上式中令1x 得 1231 232 nn nnnn cccncn 类比上述计算方法 计算 122232 23 n nnnn cccn c 14 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为 10km h 时 燃料 费是每小时 6 元 而其它与速度无关的费用是每小时 96 元 要使每千米的费用总和最小 则此轮船的速度为 三 解答题 本大题共 4 小题 共 66 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 已知多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd ac ad cd de 2a ab a f为ce的中点 1 求证bf 平面cde 2 求多面体abcde的体积 3 求平面bce和平面acd所成的锐二面角的大小 e f a b c d 用心 爱心 专心3 16 本小题满分 16 分 已知定点a 1 0 f 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点p与点f的距离是它 到直线l的距离的 2 倍 设点p的轨迹为e 过点f的直线交e于b c两点 直线ab ac 分别交l于点m n 1 求e的方程 2 试判断以线段mn为直径的圆是否过点f 并说明理由 17 本小题满分 16 分 在数列 n a中 1 a 1 1 1 21 n nn acacnnn 其中实数0c 1 求 n a的通项公式 2 若对一切 kn 有 求 c 的取值范围 221kk aa 用心 爱心 专心4 n m d1 c1 b1 a1 d c b a 18 本小题满分 20 分 已知函数 1 ln1 a f xxax x ar 1 试讨论 f x的单调性 2 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 求实数b取值范围 广东省四会中学 云浮中学广东省四会中学 云浮中学 2011 20122011 2012 下学期高二数学联合竞赛试题下学期高二数学联合竞赛试题 答案答案 1 1 在 abc 中 角 a b c 所对的边长分别为 a b c 若 c 120 c 2a 则 a a b b a b c a b d a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 2 若非零向量满足 则 a 与 b 的夹角为 c a b ab 2 0abb a 300 b 600 c 1200 d 1500 3 观察下列各式 312555 1562556 7812557 则 2011 5 的末四位数字为 a 3125 b 5625 c 0625 d 8125 答案 d 解析 观察可知当指数为奇数时 末三位为 125 又 11004 252011 即 2011 5 为 用心 爱心 专心5 第 1004 个指数为奇数的项 应该与第二个指数为奇数的项 7812557 末四 位相同 2011 5 的末四位数字为 8125 4 如图 2 所示 已知正方体的棱长为 2 长 1111 abcdabc d 为 2 的线段的一个端点在棱上运动 另一端点mnm 1 ddn 在正方形内运动 则的中点的轨迹的面积为abcdmn a b 4 2 c d 2 答案 d 5 5 已知点p在曲线 4 1 x y e 上 为曲线在点p处的切线的倾斜角 则 的取值范围 是 a 0 4 b 4 2 c 3 24 d 3 4 解析 选 d 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 6 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品 有公共点的两条棱所代表的化工产品放 在同一仓库是危险的 没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的 现 打算用编号为 1 2 3 4 的四个仓库存放这 8 种化工产品 那么安全存放的不 同方法种数为 b a 96 b 48 c 24 d 12 7 7 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连能 够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 a 0 62 b 1 2 2 c 62 62 d 0 2 2 答案 a 命题立意 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力 解析 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁 架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可知 ad 3 sd 2 1a 则有 2 1a 2 3 即 22 84 3 62 a 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 8 已知椭圆 22 22 1 0 xy cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点f且斜率为 0 k k 的直 线与c相交于ab 两点 若3affb 则k a 1 b 2 c 3 d 2 解析解析 b b 1122 a x yb xy 3affb 12 3yy 3 2 e 设 设 2 3at ct b t 222 440 xyt 直线 直线 abab 方程为方程为 3xsyt 代入消去 代入消去 x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 解得 2 1 2 s 2k 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 把答案填在题中横线上 9 9 若时 2 恒成立 求的取值范围 2 2x 2 3f xxaxa a 2225 a 10 当 2 4 不等式恒成立 则 m 的取值范围是 x04 2 mxxm 5 11 在等差数列 公差 求其前 n 项和的最大值是 144 32 1 aan中 4 d n s 12 已知方程有两个不相等的实数根 且两根都大于 1 则实数的取 2 220 xaxa a 值范围是 2a3 13 计算 123 23 n nnnn cccnc 可以采用以下方法 ks 5uks 5uks 5u 构造恒等式 0122 1 nnn nnnn cc xc xc xx 两边对x求导 得 123211 23 1 nnn nnnn cc xc xnc xnx 在上式中令1x 得 1231 232 nn nnnn cccncn 用心 爱心 专心7 类比上述计算方法 计算 122232 23 n nnnn cccn c 2 2 1 n nn 14 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为 10km h 时 燃料 费是每小时 6 元 而其它与速度无关的费用是每小时 96 元 要使每千米的费用总和最小 则此轮船的速度为 20km h 三 解答题 本大题共 4 小题 共 66 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 如图 已知多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd ac ad cd de 2a ab a f为ce的中点 1 求证bf 平面cde 2 求多面体abcde的体积 3 求平面bce和平面acd所成的锐二面角的大小 思路分析 1 如图 7 取 cd 的中点 g de 的中点 h 连接 fg fh 容易证明它们也是相 应边的垂线 再连接 bh 欲证线面垂直 先证线线垂直 如果 bf 面 cde 证明成立的话 则必 然有 bf ce 考虑到 f 为 ce 的中点 我们的目标就是要证明 bce 是等腰三角形 另外由于 bf 在平面 acd 上的射影 ag 是 adc 的边 cd 上的高 所以 bf cd 这样 bf 就垂直于平面 acd 上的两条相交直线 从而 bf 面 cde 2 求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几 个简单的几何体分别求体积后求和的方法 3 解 1 证明 ab 平面 acd ab ac 由 ab a ac 2a 得 bc a 同理 在直角梯形 abde 中 ab ad de ad 且 ab a ad de 2a 所以 be a 又 f 是 ce 的中点 bf ce bf 在面 acd 上的射影是等边 adc 的边 cd 上的高 bf cd bf 平面 cde 4 分 2 解 连结 bd 把原几何体分成三棱锥 b acd 与三棱锥 b cde e f a b c d 用心 爱心 专心8 vb acd ab sacd a 2a 2 a3 ce a cf a 而 bc a bf a vb cde bf scde a 2a 2 故所求多面体 abcde 的体积为a3 9 分 3 解 由 1 2 可知 fd fe fb 两两垂直 所以以 f 为原点 在 fd 上建立 x 轴 fe 上建立 y 轴 fb 上建立 z 轴 所以平面 bce 的法向量 1 0 0 平面 acd 的法向量 u v 2 2 0 aa 设平面 bce 与平面 acd 所成的锐二面角角为 cos 2 2 14 分 15 本小题满分 16 分 已知定点a 1 0 f 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点p与点f的距离是它 到直线l的距离的 2 倍 设点p的轨迹为e 过点f的直线交e于b c两点 直线ab ac 分别交l于点m n 求e的方程 试判断以线段mn为直径的圆是否过点f 并说明理由 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推 理运算能力 解 1 设p x y 则 22 1 2 2 2 xyx 用心 爱心 专心9 化简得x2 2 3 y 1 y 0 4 分 2 当直线bc与x轴不垂直时 设bc的方程为y k x 2 k 0 5 分 与双曲线x2 2 3 y 1 联立消去y得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 7 分 由题意知 3 k2 0 且 0 设b x1 y1 c x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k 9 分 y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为x1 x2 1 所以直线ab的方程为y 1 1 1 y x x 1 因此m点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y fm x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y fn x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y fm fn xx a 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 12 分 当直线bc与x轴垂直时 起方程为x 2 则b 2 3 c 2 3 ab的方程为y x 1 因此m点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 fm 用心 爱心 专心10 同理可得 33 22 fn 因此 2 333 222 fm fn a 0 综上fm fn a 0 即fm fn 故以线段mn为直径的圆经过点f 16 分 17 本小题满分 12 分 在数列 n a中 1 a 1 1 1 21 n nn