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文档简介

几何证明初步整体分析民族实验中学 白艳红一 主要内容定义、命题、公理、定理 为什么要证明 平行线的性质定理与判定定理 三角形内角和定理 利用全等三角形证明角相等、线段相等二 本章的教学目标是:1。理解证明以及设置公理的必要性。2。关注现实,并通过具体例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件和结论。知道反例的意义和作用。3。初步掌握用综合法证明的格式。会证明与公理“同位角相等,两直线平行”有关的定理、与公理“两直线平行,同位角相等”有关的定理、“三角形内角和定理”及其推论。4。体会推理的严谨和结论的确定。初步树立步步有据的推理意识,发展推理论证能力。同时,要善于表达自己的想法,并能与同伴交流。5。通过欧几里得原本的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。三 本章的设计思路是:本章是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的。过去,对某些几何结论也曾作过简单的说理,这里则依严格步骤给出它们的证明。虽然这里只是证明的初步,但是它对认识证明的必要、引进公理的必要,对证明基础的定义、命题、定理等的了解,以及通过平行线和三角形的一些简单定理的证明,初步掌握证明的要求和格式,对发展证明素养十分重要。因此,在内容的选取上,一方面尽量从学生身边易于理解的事实出发引入相关概念和结论,另方面对证明的意义和格式等方面作了系统的介绍。特别对证明的格式,作了较高的要求。但是,对于技巧和难题不做要求,因此,对例题、习题的难度不希望膨胀、加码。四 本章的作用 几何证明初步可以使学生在原有基础上加强逻辑推理的训练,了解相关几何结论之间的逻辑关系,进一步感受公理化思想和演绎推理的意义与价值,增强科学理性精神,提高准确表达论证过程的技能。 几何证明初步在熟悉大量几何事实的基础上,帮助学生进一步体验几何证明的基本要求和范式,以提高其准确表达论证过程的技能;同时,还让他们感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响,使活动经验真正成为发现证明思路的支持系统。教材设置了一些学生未曾思考过的新命题,让学生经历发现、探索、证明的全过程。教材提供大量机会引导学生对命题进行拓展、引申,进一步思考和证明更具一般性的命题和规律,感受到“抽象与推广”是数学的重要特征和思维方式。五 教学建议 1.由于是学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示,所以,教学中会有相当难度,应该有一定思想准备教学中,教师应该摆正自己的位置,注意尊重差异,注意学生潜能的发挥对后进生应该进行适当的等待,并给以一定的学法和有关内容辅导;对学生中出现的多种思路和方法,应该予以充分肯定,并适当在全体同学中交流和展示,使其个性得以张扬和健康发展.2.教学中应该尽量用学生身边的例子创设情境,努力通过联系实际解释结论教学,应该努力在数学活动中进行,自始至终鼓励学生自主地作数学,鼓励学生主动地想,特别是有条理地想象和探索,同时鼓励学生努力表达并与同伴交流.3. 应该注意让学生体验证明的基本方法和过程必要的证明过程和格式应该落实但是,也应该知道,本章重在证明意识和定理本质的认识,不在难题作了多少,所以,难度应该控制难度一般应以课本习题为准.4.教学中,应该关注对证明必要性的理解、证明意识的建立要让学生知道数学需要证明,数学之外的其他事物,也应该追究其缘由、问个为什么体会演绎体系在数学和人类文明中的作用.5.某些软件和其他现代化手段对几何教学能产生较好的效果教学中,应该努力运用.11.1定义与命题教学目标(一)基础知识点1.命题的组成:条件和结论.2.命题的真假.3.了解数学史.(二)能力训练要求1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果,那么”的形式;能判断命题的真假.2.通过举例判定一个命题是假命题,使学生学会反面思考问题的方法.3.通过对欧几里得原本的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.(三)情感与价值观要求1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题,说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.2.通过了解数学知识,拓展学生的视野,从而激发学生学习的兴趣.教学重点找出命题的条件(题设)和结论.教学难点找出命题的条件和结论.教学方法讲练相结合法.教学过程1 注意突出重点、分散难点(关于命题的条件和结论.)观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?(1)如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等.(2)如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形.(3)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.(4)如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形.(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直,那么这个四边形是菱形.大家观察后,分组讨论.教师点拨:.大家刚才观察到上面的五个命题中,每个命题都有条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地,命题都可以写成“如果,那么”的形式.其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如:上面的命题(1)中,如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件,那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.有些命题没有写成“如果,那么”的形式,题设和结论不明显.如:“同角的余角相等”,对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果,那么”的形式.如:“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知”或者“若”等形式表述,命题的结论部分,有时也可用“求证”或“则”等形式表述.2练(注意练习的题目要具有代表性)1.下列各命题的条件是什么?结论是什么?(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角;(2)如果ab,bc,那么a=c;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(4)菱形的四条边都相等;(5)全等三角形的面积相等.3真假命题的判断.上述命题中哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?我们把正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.由大家刚才分析可以知道:要说明一个命题是一个假命题,通常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具有命题的结论.这种例子称为反例.注意:对于假命题并不要求,在题设成立时,结论一定错误.事实上,只要你不能保证结论一定成立,这个命题就是假命题了.因此,要说明一个命题是假命题,只要举出一个“反例”就可以了.4 课时小结本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.假命题只需举一个反例即可5 学习命题的拓展、引申、推广,意图是养成主动思考的习惯(如,逆命题成立吗?图形变化时结论能保持吗?极端情形呢?变换某些条件后情形怎样?考虑更一般的情形,)。突出体现了数学思维方式。112 为什么要证明教学目标(一)教学知识点1通过观察、猜测得到的结论不一定正确2让学生初步了解,要判定一个数学结论正确与否,需要进行有根有据的推理(二)能力训练要求1通过探索,让学生初步了解数学中推理的重要性2初步了解要判定一个数学结论正确与否,需要进行有根有据的推理教学重点判定一个结论正确与否需进行推理教学难点理解数学推理的重要性教学方法自学、讨论、引导法教学过程上节课我们学习了命题分为真命题和假命题.假命题只需举一个反例即可,那么如何证实一个命题是真命题呢?接着由学生讨论,学生应该能够想起以前学过的观察、实验、验证特例等方法.教师可以通过多举例子的方法使学生明白由观察、实验、归纳和类比得到的命题仅仅是一种猜想,未必都是真命题。要确定命题是真命题,还需要一步一步有根据地说明理由,通过推理的方法加以证实。113 什么是几何证明(第一课时)一、教学目标:1、了解公理、定理的含义,初步体会公理化思想,并了解本教科书所使用的定理。2 了解几何证明的一般步骤二、教学重点、难点:公理和定理的区别和联系三、教法:引导发现法四、教学过程:一创设情景想一想如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢?在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分不定义的数学名词(称为原名)和一部分公认的真命题(称为公理)作为证实其他命题的起始依据,定义出其他有关的概念,并运用推理的方法,证实了数百个有关的命题,使几何学成为一门具有公理化体系的科学。二回顾总结通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫做公理。例如,欧几里得将“两点确定一条直线”,“直角都相等”“经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”以及等式的基本性质和不等式的基本性质等五条基本几何事实作为公理。 本教科书选用如下命题作为公理:1、两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。也可以简单说成:同位角相等,两直线平行。2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。也可以简单说成:两直线平行,同位角相等。3、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。5、三边对应相等的两个三角形全等。6、全等三角形的对应边相等,对应角相等。三应用举例由上面给出的公理,可以证明如下命题的正确性:两直线平行,同旁内角互补这样,我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了。已经证明的定理可以作为以后推理的依据。例1 对顶角相等分析上面两个定理的证明过程,总结几何证明的过程应分哪些步骤一般三个步骤:1 根据题意,画出图形2 结合图形,写出已知、求证3 找出由已知推出求证的途径,写出证明。113 什么是几何证明(第二课时)教学目标1 会用公理同位角相等,两直线平行。证明平行线的判定定理1 、2。即:内错角相等,两直线平行。和同旁内角互补,两直线平行2。理解互逆命题与互逆定理 3正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点:1 会用逻辑推理的方法证明某些真命题2 区分互逆命题与互逆定理教学过程一关于两个定理的证明我的意见是放手让学生自己做,自己画图 自己写已知、求证 ,写证明过程 。从而培养学生的这种推理能力。在例题后应加入一定量的练习二 关于互逆命题与互逆定理 应该多举一些例子,让学生自己总结出互逆命题,至于互逆定理的判断还应该要求学生用推理的方法证明命题的正确性注意1真命题的逆命题可以是真命题也可以是假命题,假命题的逆命题可以是真命题也可以是假命题2逆命题、互逆命题不一定是真命题,但逆定理、互逆命题,一定是真命题4 一个命题一定有逆命题,但一个定理不一定有逆命题114三角形的内角和定理(第一课时)教学目标1、掌握“三角形内角和定理”的证明以及简单应用。并初步学会利用添加辅助线的方法进行命题的证明。 2、对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号转化的理性作用。3、通过多种证明定理的方法,初步体会思维的多向性,引导学生的个性发展。4、体会推理的严谨性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理论证能力,同时,善于表达自己的想法,并能与同伴交流。学生在小学里已知三角形的内角和是180,七年级又学习了三角形的有关概念,平角定义和平行线的性质,而且也用撕纸和简单说理来证明三角形的内角和是180,而本节课是借助了平角定义,平行线的性质,用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角,进行严格的演绎推理。并且让学生感受证明的必要性,对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。为九年级进一步学习证明奠定基础。因此定理的证明思路及方法是本节引导和探索的重点。七年级时学生用撕纸和简单说理证明了三角形的内角和是180,而本节课是让学生初步感受当问题的条件不够时,添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立已知与未知间的桥梁,把问题转化为自己已经会解决的情况,体会转化思想是数学学习的重要思想。而辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触,并且辅助线的添法没有统一的规律,所以添加辅助线找到多种证明方法是本节课的难点。114三角形的内角和定理(第二课时)11.5几何证明举例主要是强化证明的意识小学的折纸,是探索结论有效并且有趣的方法,值得学习。但是,也必须知道,一切试的结果都有可能错误。 欧几里德追究根源的方法,即公理法,十分高明。学习和生活中,也要追究为什么,也要说话有理有据,万不可什么事都“不求甚解”。学习几何证明,一是形成证明思路;二是书面表达。前者应充分利用背景经验,体察其中几何证明的基本策略,必要时进行思想策略的交流和评议。“证明”是基于对问题自身和图形的分析,发现不同知识之间的内在逻辑关系,有助于形成知识结构。不是对“解题术”中所罗列的各类方法的检索和匹配。对于后者,证明的表述要严谨、縝密、简洁、规范,要经得起推敲和质问,对此,需要做相应的训练。我在几何教学中重点注意做好以下工作: 1、加强对学生学习习惯的培养,从一些最基本的图形入手,让学生学会抓题目的关键,抓视图的感觉。 2、要以学习小组的形式让学生互相交流自己的感受,学生之间的交流收获比教师讲解的效果要好的多。 3、严格、规范的要求也是几何教学中要讲究的。应当注意加强作业讲评,多向学生展示比较规范的样本

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