圆与直线之关系.doc

4-2 圓與直線之關係重點整理1. 圓與直線之關係：圓與直線(1)求交點：將兩方程式解聯立，得一一元二次方程式，令其判別式為D， (i)若與相交二點。 (ii)若與 L相切。 (iii)若與L不相交。(2)圓心到直線距離與半徑比較：設圓C的半徑為，圓心到直線L的距離為 (i)若C與L相交二點 (ii)若C與L相切 (iii)若C與L不相交2. 圓的切線：若一直線及圓在同一平面上，且與圓恰有一交點（重合交點），則稱此線為此圓之切線。3. 切線公式：(1)過圓上一點（）的切線方程式為(2)過圓上一點）的切線方程式為(3)斜率且與相切的直線方程式為(4)斜率且與相切的直線方程式為(5)若在圓外部，則自向圓作二切線之切點連線之方程式為。(極線)4. 切線段長：若在圓外部，過向圓可作二切線段，則切線段長。5. 兩圓之相交關係：設二圓之半徑分別為，連心距外切內切外離內含 相交於二點。6. 公切線段長：(1)二圓的外公切線段長(2)二圓的內公切線段長。重要例題：例1. 求直線與的交點。例2. 設，試就值討論與之相交狀況。類1.設有相異兩實數解，求的範圍。類2. 若與相交於兩點，求的範圍？類3. 設圓，(1)若圓與相交，求的範圍？(2) 若圓與相交，求的範圍？類4. 直線平行，且與圓相切，求的方程式。Ans: 1.，2. ，3. (1),(2)，4.。例3. (1) 過作圓切線方程式為何？ (2) 試求經過點，而與相切之直線方程式，並求其切線段長。類1. 過點（4,3）又與相切之直線方程式為何？類2. 求過點且與圓相切的切線方程式？Ans: 1. ，2. 。例4. 與直線相切於，求。類1. 直線，圓，若直線與圓相切，且切點為，則序對 。類2. 已知圓與圓相外切，且與直線相切於點，求圓方程式。類3. 一圓與直線均相切，且圓心在直線之上，試求此圓。Ans: 1. (-16,-2,-15)，2. ，3. 13x2 + 13y2 78x 26y + 122 = 0。例5. (1)過作圓的割線交此圓於，則=？(2)過點向圓作二切線，令切點，求(1)之外接圓方程式，(2)方程式為何？(3)長為？(4)設兩切線夾角為，求。類1. ，圓且過之二切線之二切點為，則：(1) 。(2)及之方程式為。(3) 過三點之圓方程式為。(4) 之方程式為。(5) 。類2. 自向作二切線，令切點，若已知之方程式為，求之坐標。Ans:1.(1)5,(2),(3), (4),(5)，2. 。例6. 過一點之一直線交圓於，若，求此直線斜率之值。類1. 已知為內一點，求以為中點之弦長，並問含此弦之直線方程式。Ans: 弦長,。例7. 設，(1)若與相切，求(2)若與內含，求範圍(3)若與外離，求範圍(4)若與交於兩點，求範圍類1. 若兩圓與相交，求的範圍？類2. 若兩圓與圓相切，求。Ans: 1. ，2. 36或16。例8. 二圓，則(1)二圓的外公切線長為 ，(2)內公切線段長為 ，(3)二圓的外公切線為 ，(4)二條外公切線的交點為 ，(5)二圓的內公切線方程式為 。類1. 設圓，圓，求(1)外公切線的交點為 ，(2)外公切線方程式為 ，(3)內公切線交點為 ，(4)內公切線方程式為 。Ans: 1. (1),(2),(