线性代数讲义-02矩阵.doc

第二章 矩阵第一节 矩阵的定义与运算一 矩阵的定义 行列式的形式是一个数表, 实质是一个多项式. 然而从很多实际问题中抽象出来的数学概念是真正的数表, 而且它的行数与列数还不一定相等, 这就是矩阵. 定义2.1 由个数(,)排成的行列的数表称为矩阵. 矩阵中的数称为它的元素. 矩阵的行与列的定义与行列式相同. 矩阵的第行，第列的元素记作.一般用大写的拉丁字母表示矩阵, 例如. 为了指出元素, 或者指出行数与列数, 又写作, 或者.只有一行(列)的矩阵又称为行(列)矩阵, 一般用小写的拉丁字母, 或小写的希腊字母表示行(列)矩阵. 为了区分行矩阵的元素，有时用逗号将它们隔开, 例如是一个行矩阵. 如果矩阵的所有元素都等于0, 称为零矩阵, 记作, 或者. 当矩阵的行数与列数相等时, 矩阵称为阶方阵.方阵的元素()称为它的主对角元素, 其余元素称为非对角元素.主对角元素组成方阵的主对角线. 非对角元素都等于零的方阵称为对角阵. 主对角元素依次为的对角阵常简记作. 主对角元素都等于1的阶对角阵称为阶单位阵, 记作, 或者.二 矩阵的运算 如果两个矩阵的行数与列数分别对应相等, 称它们为同型矩阵.定义2.2 如果两个矩阵与满足(; ), 则称它们相等, 记作.注意 一个矩阵的等式, 相当于个数量等式. 定义2.3 设与是同型矩阵, 则矩阵称为矩阵的和, 记作.设矩阵, 则将其所有元素变号得到的矩阵称为的负矩阵, 记作. 定义2.4 设是同型矩阵, 则矩阵称为矩阵与的差. 性质2.1 设是同型矩阵, 则有(1) 交换律: ;(2) 结合律: ;(3) 零矩阵: ;(4) 负矩阵: . 证 只证(1). 用定义, 得.注意 只有同型矩阵才可能相等, 也只有同型矩阵才可以相加减. 在矩阵加法中, 零矩阵的作用相当于数量加法中的0. 而负矩阵的作用相当于相反的数. 定义2.5 设是矩阵, 是数, 则矩阵称为数与矩阵的积, 记作. 性质2.2 设是同型矩阵, 是数, 则有(1) 结合律: ;(2) 分配律1: ;(3) 分配律2: ;(4) 数乘: , , ;(5) 零矩阵: ;(6) 消去律：如果, 则或者, 或者.证 只证(6). 设矩阵, 则已知. 由矩阵相等的定义, 有(;). 如果, 则 (;), 即.注意 矩阵相加减, 即前一个矩阵的每个元素加减后一个矩阵的对应元素. 数乘矩阵, 即用该数乘以矩阵的每个元素. 而行列式的相应运算只对一行或一列进行, 两者是完全不同的. 例2.1 设矩阵, , 求.解 用定义, 得.定义2.6 设矩阵,令, ; ,则矩阵称为矩阵与的积, 记作. 注意 只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 才可相乘. 相乘时, 第一个矩阵的第行的每个元素与第二个矩阵的第列的对应元素相乘, 再求和, 得到乘积的第行, 第列的元素. 性质2.3 矩阵乘法满足下面的运算律.(1) 结合律: ;(2) 分配律: , ;(3) 数乘矩阵: ;(4) 单位阵: 设, 则.证 只证(2). 设矩阵, 记, , 则对于; , 有.于是, . 在矩阵乘法中, 单位阵的作用相当于数量乘法中的1. 单位阵的名称即由此而来. 例2.2 设矩阵, , 求. 解 用定义计算, 得.按照矩阵乘法的定义, 没有意义. 即矩阵乘法一般不满足交换律. 因此, 在做矩阵乘法时, 一定要注意哪个矩阵在左边, 哪个矩阵在右边. 也正是因为没有交换律, 所以需要两个分配律, 即左分配律与右分配律. 例2.3 设方阵, 求所有满足的二阶方阵.解 设, 则, .由矩阵方程, 得四个数量方程,. 这个数量方程组有解: , . 因此, 满足条件的所有二阶方阵形如, 其中是任意数. 例2.4 设方阵, , 求与. 解 用定义计算, 得, . 在这里, 与都有意义, 且都是二阶方阵, 但是不相等. 即这两个矩阵相乘仍然不满足交换律. 而且又出现一个新现象. 矩阵都不是零矩阵, 但是是零矩阵. 因此, 由矩阵等式不能断定, 或者. 与此相关, 对于矩阵, 由条件, 同样也不能断定. 也就是说：对于矩阵乘法，消去律也不成立. 当同一个方阵连乘时, 可以表示成幂. 例如：. 用性质2.3可以证明下面的性质.性质2.4 设是方阵, 是自然数, 则(1) ;(2) .例2.5 设是阶方阵, 求证: 等式成立的充分必要条件为.证 根据性质2.3, 有.因此, 如果, 则有. 如果, 则有. 注意 因为矩阵乘法没有交换律, 数的乘法公式一般需要附加条件才能对于矩阵成立. 与此相关, 一般情况，, 除非方阵满足. 设多项式, 又是阶方阵，是阶单位阵， 则是阶方阵, 记作. 例2.6 设, 求证: .解1 用数学归纳法. 当时, 有恒等式. 假设当时等式成立, 即有. 当时, 有，即当时等式成立. 根据数学归纳法原理, 等式对于任意正整数成立. 解2 令, 则, 且. 根据性质2.3, 有. 注意 例2.5说明: 二项式定理一般不成立. 这里用到单位阵的特殊性质. 三 矩阵的转置定义2.7 设矩阵, 则矩阵称为矩阵的转置. 记作(或者). 注意 转置是将矩阵的每行变成对应列(同时每列变成对应行), 所得到的矩阵. 如果是矩阵, 则是矩阵. 性质2.5 矩阵的转置满足下面的运算律.(1) 自反律: ;(2) 加法: ;(3) 数乘: ;(4) 乘法: .证 只证(4). 设矩阵, 令, 则对于; , 有.于是, . 注意 在乘积的转置公式中, 右边的顺序与左边的顺序相反. 例2.7 设矩阵, 求.解1 先做乘法, 得.再取转置, 得.解2 先取转置, 得, .再用性质2.5做乘法, 得. 例2.8 设行矩阵, 求.解 首先, 有. 于是, 用矩阵乘法的结合律, 有. 注意 虽然例2.8中的一阶方阵只有一个元素, 但是它与数还是有区别的. 例如,作为数可以乘以二阶方阵, 而作为一阶方阵则不能与二阶方阵相乘. 例2.9 设是实矩阵, 且, 求证: . 证 设, , 则. 已知是实矩阵, 因此, 有, 即矩阵的第一列元素都等于0. 同理可证的其他元素等于0. 于是, . 注意 对于一般情况, 由不能推出, 或. 例2.9是一种例外情形. 定义2.8 设是阶方阵, 如果, 则称其为对称阵. 如果, 则称其为反对称阵. 如果用矩阵的元素表示上述概念, 则对称阵满足条件, 即其元素关于主对角线对称. 反对称阵满足条件. 因此, 有. 例2.10 设是方阵, 求证: 与是对称阵. 证 根据性质2.5, 有 ;. 例2.11 设是阶反对称阵, 求证: 对于任意的矩阵, 有. 证 首先, 乘积是一阶方阵, 因此是对称阵. 于是, 有,即. 习题2-11. 设矩阵, , 已知, 求矩阵.2. 计算下列矩阵的乘积.(1) ; (2) .3. 对于下列的矩阵与, 计算与.(1) , ; (2) , .4. 研究对角阵与任意同阶方阵相乘时的规律.5. 对于下列的矩阵, 求所有满足条件的矩阵.(1) ; (2) , 其中()两两不等.6. 设二阶方阵, 求满足下列条件的所有二阶方阵.(1) ; (2) .7. 对于下列的方阵, 求方阵.(1) ; (2) .8. 设方阵, 求方阵. 9. 求证: . 10. 设方阵, 验证: . 11. 设矩阵, 用两种方法计算. 12. 设是对称阵, 求证: 是对称阵的充分必要条件为. 13. 设实对称阵满足, 求证: . 14. 设是方阵, 求证: 是反对称阵. 15. 设是方阵, 求证: 存在对称阵与反对称阵, 使得. 16. 设是阶方阵, 求证: 存在阶对称阵, 使得对于任意的矩阵, 有.第二节 方阵的行列式与逆阵一 方阵的行列式 定义2.9 设方阵, 则称为的行列式. 行列式等于0的方阵称为奇异阵. 注意 只有方阵才有行列式. 方阵是一个数表, 而其行列式是一个数. 例如, 单位阵的行列式. 性质2.6 设是阶方阵, 是数, 则(1) 数乘: ;(2) 乘积: ;(3) 转置: .证 只证(1). 用行列式的性质, 有设, 则. 于是,. 例2.12 设是三阶方阵, 且, 求和. 解 用性质2.6计算, 得 ;.二 逆阵 由于矩阵的乘法没有交换律, 不可能定义分式形式的除法. 不过对于某些特殊的方阵, 存在另一个方阵, 这两个方阵之间的关系和数与其倒数之间的关系类似. 在数量代数中, 倒数满足条件. 而在矩阵乘法中, 单位阵的作用相当于数量代数中的1. 定义2.10 设是阶方阵, 如果存在阶方阵, 使得, 则称方阵是的逆阵, 记作. 此时, 称方阵为可逆阵, 或称方阵可逆. 注意 由于矩阵乘法的限制, 长方形的矩阵不可能定义这样的逆阵.性质2.7 如果方阵有逆阵, 则只有一个逆阵.证 设方阵都是方阵的逆阵, 用矩阵乘法的结合律, 有,即方阵的任意两个逆阵相等. 于是, 它只有一个逆阵.例2.13 设对角阵的主对角元素都不等于0, 求证：它是可逆阵. 证 设, 且(). 令, 根据对角阵的乘法, 有. 例2.14 设是可逆阵, 且, 则.证 用的逆阵左乘等式, 得. 用矩阵乘法的结合律, 有, 即. 定义2.11 设方阵, 则称方阵为的伴随阵, 其中()是方阵的元素的代数余子式. 注意 方阵的位于第行第列的元素的代数余子式位于伴随阵的第行第列. 定理2.1 方阵有逆阵的充分必要条件为: 它的行列式. 此时, 方阵的逆阵为. 证 必要性: 设方阵有逆阵, 则. 取行列式, 根据性质2.6, 有. 于是, 有. 充分性: 综合定理1.3与推论1.3, 有.于是, 有.已知, 则. 用行列式的列的类似结果可证. 根据定理2.1, 一个方阵有逆阵, 当且仅当它不是奇异阵. 推论2.1 设是方阵, 如果存在同阶方阵, 使得(或者), 则是可逆阵, 且是的逆阵.证 已知, 取行列式, 可得. 根据定理2.1, 方阵可逆. 用的逆阵左乘等式, 得. 用矩阵乘法的结合律, 有, 即.注意 如果用逆阵的定义, 必须分别验证与, 才能确定是的逆阵. 但是, 如果用推论2.1, 则只须验证其中之一. 例2.15 求方阵的逆阵. 解 计算行列式, 得. 计算伴随阵, 得. 于是, 得. 例2.16 设方阵满足, 求证: 方阵可逆, 并求它的逆阵.证 已知方阵满足, 即. 根据矩阵乘法的分配律, 有. 根据推论2.1, 方阵可逆, 且它的逆阵为. 注意 对于矩阵乘法, 消去律一般不成立. 但是可逆阵是一个例外. 例2.17 设阶方阵可逆, 求.解 对等式取行列式, 根据性质2.6, 有. 已知可逆, 根据定理2.1, 有. 于是, 有. 性质2.8 设是可逆阵, , 则有(1) 逆阵: ;(2) 数乘: ;(3) 乘积: ;(4) 转置: ;(5) 行列式: .证 只证(3)与(5). (3) 根据矩阵乘法的结合律, 有.根据推论2.1, 可逆, 且它的逆阵为.(5) 已知, 取行列式, 根据性质2.6, 有. 根据定理2.1, 有. 于是, 有. 注意 在乘积的逆阵公式中, 右边的顺序与左边的顺序相反.例2.18 设实对称阵可逆, 求证: 它的逆阵也是实对称阵.证 已知实对称阵可逆, 根据定理2.1, 逆阵是实方阵. 根据性质2.8, 有. 如果方阵可逆, 记.约定 如果是可逆阵, 约定.前面的性质2.4可以推广到任意整指数. 性质2.4* 设是可逆阵, 是整数, 则(1) ;(2)习题2-2 1. 设是阶方阵, 是数, 且行列式, 求行列式.2. 求证：奇数阶反对称阵的行列式等于0.3. 设方阵满足条件, 且不是单位阵, 求证: 不是可逆阵. 4. 求下列方阵的逆阵.(1) , 其中; (2) .5. 求二阶方阵, 使得. 6. 设方阵满足条件, 求证: 方阵可逆. *7. 设方阵可逆， 且方阵也可逆，求证：方阵可逆, 且它的逆阵为. 8. 设阶实方阵的每个元素()等于它的代数余子式, 求证: 方阵可逆. *9. 设上三角阵的主对角元素都不等于0, 求证: 方阵可逆, 且的逆阵也是上三角阵. 10. 设可逆阵的每一行的和都等于，求证：，且逆阵的每一行的和等于. *11. 设阶方阵满足条件, 求证: . 12. 已知阶方阵的行列式, 求行列式与.第三节 分块矩阵一 矩阵的分块 定义2.12 用若干条贯穿整个矩阵的横线和竖线将矩阵分成许多部分, 每个部分称为的一个子块. 将子块看作元素, 构成形式上的矩阵, 称为的分块矩阵. 仍然记作. 注意 矩阵的分块矩阵只是的简单写法. 实际上, 它与是同一个矩阵, 因此仍然记作矩阵. 同一个矩阵可以有不同的分块方法, 从而产生不同的分块矩阵. 下面, 用例子予以说明. 设矩阵, 考虑三种分块方法.(1) , 其中.这种分块方法的特点是: 方阵的行与列的分块方法相同. 因此位于分块矩阵的主对角线上的子块与是正方形数表. 这样的子块称为对角块, 其他的子块称为非对角块. 这里将方阵分成四块, 还可能分成九块, 十六块等等.(2) , 其中等. 这种分块方法的特点是: 矩阵的每一列作为一个子块. 为了区分它的子块, 有时用逗号将它们隔开. 常见的分块方法就是(1)和(2). 偶尔可能见到下面的方法(3).(3) , 其中. 与(1)类似, 将方阵分成四块. 不过右上角与左下角的子块与才是正方形数表. 性质2.9 分块矩阵的运算具有下面性质. (1) 加法: 设是同型矩阵, 且按照相同方法分块. 如果将它们的和也按照相同方法分块, 则的一个子块等于的对应子块的和. (2) 数乘: 设是一个矩阵, 按照任意方法分块, 又设是一个数. 如果将数与矩阵的积按照的方法分块, 则的一个子块等于数乘以矩阵的对应子块. (3) 乘法: 设是矩阵, 是矩阵, 且矩阵的列的分块方法与矩阵的行的分块方法相同. 如果将的乘积的行按照矩阵的行的分块方法, 而列按照矩阵的列的分块方法, 则的一个子块等于的分块矩阵的第行与的分块矩阵的第列上对应子块的乘积的和. (4) 转置: 设是一个矩阵, 按照任意方法分块. 如果将它的转置的行按照矩阵的列的方法分块, 而将它的列按照的行的方法分块, 则的一个子块等于的子块的转置. 注意 只要分块方法适当, 在分块矩阵运算时, 可以将子块看作元素, 使用矩阵运算法则. 而在子块与子块运算时, 将子块看作矩阵, 使用矩阵运算法则. 例2.19 设矩阵, , 求. 解 令分块矩阵, 其中. 令分块矩阵, 其中, , , 则. 于是, 有.因为子块之间的运算使用矩阵的运算法则, 所以有时将子块称为(子)矩阵. 其实, 前面已经将子块书写成矩阵的形式了. 例2.19说明: 矩阵的分块可以将一个规模较大的矩阵的等式分离成若干个规模较小的矩阵的等式, 以便于计算. 例2.20 设方阵, 其中是可逆阵, 是零矩阵, 求.解 按照方阵的分块方法, 设. 根据逆阵定义, 有.比较对应的子块, 得, , , .已知可逆, 从