一、曲顶柱体的体积.doc

第十三章 重积分13.1 二重积分一、曲顶柱体的体积1什么是曲顶柱体（略）2曲顶柱体体积的计算在中学，我们学过了一些空间立体体积的计算，如圆柱体积的计算、锥体体积的计算、球体体积的计算，等等。但是怎样求曲顶柱体体积的体积呢？与求曲边梯形面积的思想方法类似。设有以连续的曲面为顶，区域D为底的曲顶柱体（1）分割将区域任意分成n个小区域：，第k个小区域的面积为(k=1,2,n)。这样就把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体（2）代替当第k个小区域的直径很小时，第k个小曲顶柱体可近似看作平顶柱体。，于是，可用作为第k个小曲顶柱体的高。因此，第k个小曲顶柱体的体积为，(k=1,2,n)（3）作和原曲顶柱体的体积为（4）取极限当分割很细很密时，即每个小区域的直径(k=1,2,n)都很小时，上述和式二、二重积分的概念由上面的例子舍去其几何意义，抽取其数学结构，即可抽象出一个新的数学概念二重积分的概念。1定义2可积的条件，可积函数类从定义可以看到，二重积分是定积分的一个推广。因此，定积分的一些概念和结论，可类似移到二重积分中来。（1）小和与大和设函数在有界闭区域R上有界。分法T将R分成n个小闭区域R1，R2，Rn，第k个小区域的面积为(k=1,2,n)。令， 其中称为函数在区域Rk上的振幅。作和数， 分别称为函数在区域R上关于分法T的小和与大和。显然，小和与大和只与分法T有关。并且这里的小和与大和跟一元函数的小和与大和有类似的性质，这里从略。（2）可积的条件与定积分类似，二重积分有下列可积的充分必要条件：定理1函数在闭区域R上可积 （证明略）（3）可积函数类与定积分类似，下列两类函数是可积的。定理2 若函数在有界闭区域R上连续，则函数在有界闭区域R上可积定理3 若函数在有界闭区域R上有界，间断点只分布在有限条光滑曲线上（可以有无限多个间断点），则函数在闭区域R上可积。三、二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质：定理4 ，其中表示R 的面积。定理5 若函数在R 上可积，k是常数，则在R 上也可积，且四、二重积分的计算定理11 若函数在闭矩形域上可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且*（1）类似地，若函数在闭矩形域上可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且（2）常简写为，于是或 推论 若函数在区间a,b上可积，函数在区间c,d上可积，则函数在闭矩形域上可积，且例1求二重积分，其中例2求曲顶柱体的体积，其底是正方形区域，其顶是定义在R上的曲面（p、q是常数）解：所求曲顶柱体的体积为例3若函数在a , b是正值连续函数，则其中，上述定理11中，积分区域R是比较特殊的区域长方形区域。若积分区域是其它的区域，又怎样计算二重积分呢？定理12 设有界闭区域 R是由两条光滑曲线与，且，以及直线与所围成。若函数在R可积，且，定积分y = 2 (x)y = 1 (x)存在，则累次积分也存在，且*同样地，设有界闭区域 R是由两条光滑曲线与，且，以及直线与所围成。若函数在R可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且x = 1 (y)x = 2 (y)例4求四个平面所围成的四面体的体积。例5证明：函数在由曲线所围成的三角形区域R连续，则例6求二重积分，其中D是由直线和双曲线所围成。例7将二重积分化为按不同积分次序的累次积分，其中R是由上半圆周、抛物线和直线所围成。五、二重积分的换元有时把二重积分直接化为累次积分来计算会比较复杂。这时可仿照定积分的计算那样，进行变量替换，可达到化繁为简，化难为易的效果。二重积分的变量替换是怎样进行的呢？有下面的定理。定理13 若函数在有界闭区域R上连续，函数组将平面上的区域一对一地变换为平面上的区域R，且的所有一阶偏倒数都连续，有，则例8求曲线与直线所围成的区域R的面积。解：注意到区域R的面积 根据曲线方程的特点，作变换，即变为则原xy平面上的区域R：曲线与直线所围成 uv平面上的区域R：由与所围成。例9求两条抛物线和两条直线所围成的区域R的面积。解：根据曲线方程的特点，作变换，即则区域R变为矩形区域R：*二重积分变换中一种常用的变换极坐标变换：。（1） 一般地，当积分区域R或被积函数的表达式含有式子时，可考虑用极坐标变换；（2） 极坐标变换把圆域R：化为矩形区域；（3） 在极坐标变换下，所以（4） 当R由闭曲线围成，且原点是R的内点时，R变为，此时例10求以圆域R：为底，R上的曲面是的曲顶柱体的体积。例11求球体被圆柱面所截得的那部分立体的体积。例12求双纽线所围成区域的面积。六、曲面的面积1光滑曲面设有有界曲面S：若所有偏导数在R连续，且矩阵的秩是2，则称曲面S是光滑曲面。*曲面S的向量形式是：2光