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利用数形结合提高解题能力策略分析方晓琴 数学解题历来是数学教育界关心的问题，数形结合又对数学解题具有一定的指导作用，因此，高中数学教学中运用数形结合提高解题能力是一个极有价值的研究课题，尤其是从数形结合的教育意义及教育价值的角度出发研究解题能力的提高。它有利于丰富和完善数学解题理论，有利于促进学生对数学知识的理解，有利于高中数学新课标要求的落实。文章基于此分析了数学利用数形结合提高解题能力的相关策略。一、数形结合的内涵数形结合要求我们考虑问题时数、形兼顾，以便将直观性与抽象性有机地结合起来，从而使我们的认识更加全面、更加深刻。于是，当所讨论的问题以代数的形式出现时，应注意借助直观意义解题，而当所讨论的问题以几何的形式出现时，则应注意借助抽象意义解题。数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。数形结合是一种重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。这是数形结合在解题方法基础上的一种提升，是目前数学教学中正在被接受的一种认识。它不再被看成是一种解题工具，而被看成是，站在更高角度上用于指导解题教学，甚至是数学教学的一种思想策略。数形结合是一种数学思想，是一个值得认可的观点。但数形结合可以从数学思想上升为一种数学意识，时刻活动在数学教与学中，所发挥的数学教育意义会更大，教育价值也就更大。数形结合是数学解题的一种重要的思想方法。它既可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，而一些几何图形的性质借助于数量的计算和分析可得以严谨化。二、利用数形结合提高解题能力的教学策略 在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。在数学教学中，教师可选一些探索性的题目，让学生去研究发现，让学生从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。(一)更新教学观念依据新课标的目标要求，数形结合解题教学不能只重结果、轻过程，也不能只重方法的直接给出、轻思路的分析探索过程：数形结合也不能只作为解题工具。只有充分揭示出数形结合的教育意义，数形结合在后续学习中才会有更旺盛的生命力，高中数学教学中数形结合提高解题能力的研究也才会有更宽、更好的奠基。而这一切都需要教学观念的更新。(二)培养学生的数形结合解题意识在课堂解题教学中，注意精选一些非常典型的、能很好地突出数形结合思想方法优势的例题来进行讲解，在精讲过程中，注意用问题引导学生运用数形结合思想方法解题，讲解完毕还可以对题中所用数形结合思想方法进行总结与提升。对解题进行回顾和概括是提高数学解题能力不可缺少的一个步骤，数形结合解题也不例外。因此，数形结合解题的回顾与概括阶段正是提升数形结合思想方法的好时机。(三)注意加强数与形之间的相互表征数与形的相互表征是数形结合解题的重点。数形结合解题过程中，数与形经常需要相互转化。这就有一个相互表征的问题。教师在平时的数学教学中，应该引导学生对数学内容从数与形两方面进行对应表征，注意数与形的“互译”，即当数学问题以代数形式给出时，应借助直观挖掘它的几何意义；当数学问题以几何形式出现时，则应注意其代数的抽象意义。 (四)注重对数形结合解题错误的分析 对数形结合解题错误的分析也是数形结合解题的重点所在。对数形结合解题错误进行分析，发现数形结合解题错误并不是最后的目的，我们要在发现数形结合解题错误的基础上。纠正错误，在以后的解题中学会主动防御解题可能出现的漏洞与错误，来提高数形结合解题能力。(五)训练学生寻找数形结合的突破口寻找运用数形结合解题的突破口也就是寻找数与形的转化途径。课堂解题教学，通过对学生进行“由数想形，由形想数”的训练，使得学生对一些常用的数形结合解题途径有了一定的了解，这除了可以使学生积累有关数形结合解题转化途径的相关经验外，还可以为以后巧妙地进行数形结合转换创造条件。数学处理问题时，总是将难处理的问题转化为较易处理的问题，将较易处理的问题转化为更易处理的问题。数形结合思想可以培养学生的发散思维、直觉思维和想像力，在激发学生的创造性潜力的基础上，来提高运用数形结合解题的能力。加强数形结合，提高学生的解题能力郭玲 数形结合，可以为我们解决某些问题带来很大的好处，可以减少某些计算过程的麻烦，提高我们的解题速度和解题能力。因此，在教学过程中，贯穿数形结合的思想是至关重要的。本文就一些常见的题目如何采用数形结合的方法、提高解题能力谈一谈浅显的看法，希望对教学有所帮助。一、渗透“数形结合”思想，提高学生的数学素养素质教育是通过科学有效的途径，开发受教育者的潜能，以完善和全面的提高学生素质为根本目的教育。数学素质在人的素质养成上具有不可替代的作用。这是因为数学的直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论明确无误等特征是每个学生应该具备的科学文化素质。由此可见，对数学教师来说，要突出素质教育的数学教学关键是加强数学思想方法的教学，因为数学思想方法作为数学知识的精髓，它既是数学中的深层次的基础知识，又是解决问题和思维策略。数学思想方法掌握的深、浅度，直接关系到能否顺利或比较简捷地解决问题；关系到是否深刻地对数学知识本质认识，数学规律的理性认识；关系到是否能把某些数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点加以应用。而这些数学知识的掌握是以解题思维能力作为起点的。因此，在中学数学教学中，如何引导学生选择恰当的方法来提高解题速度和效率，应注重培养学生解题能力，掌握多种方法。尤其“数形结合法”的教学更是学生应该熟练掌握的重要思维方法。数形结合是解决数学问题的重要思想，其实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象的思考研究直观的细节。著名数学家华罗庚先生说过:“数无形，少直观；形无数，难入微。”发掘数与形互相依存的关系，把数式运算的周密性和图形的直观性巧妙结合起来，对解决数学问题非常有益，它常能有效突破解题障碍，顺利沟通已知和未知，使问题由繁化简，由难化易。数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”。在中学数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。二、在数学教学中渗透“数形结合”思想本文特从以下几个方面，对“数形结合解题进行例析研究。1几何图形与数量关系相结合几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系；一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。2函数图象与数量关系相结合数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。3 图形的运动变化与函数问题的结合函数建立起两个变量之间的关系，运动变化便进入了数学，运动改变了图形的位置、形状，其中蕴涵的数量关系也会发生变化，研究图形运动变化体现出来的函数关系，使数形结合更具活力，更丰富多彩。4 注重数学思想方法的教学加深认识，让学生亲自参与“知识发现”的过程。恩格斯说：“世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集合体。”对于数学而言，知的发生过程就是思维方法的产生过程，因此教师在平时的教学过程中，应切实加深学生对知识的认识，让学生亲自去参与“知识发现”的过程，揭示事物的本质特征。数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。 人常说，数学是锻炼思维的体操，恐怕就是因为数学学科中，“数形结合”得最频繁最紧密的缘故吧！用数形结合思想解题，就是利用数学中“形中蕴数，数中涵形”的和谐统一，抓住数与形互相联系的纽带，找出数与形互相渗透的因素，准确地由形想数，正确地以数构形，使形象思维和抽象思维有机结合，互助互促，妥善、完美地解决问题。 “数形结合”为学生架起了具体到抽象的“桥梁”，它对提高学生解题能力的影响是多角度、多方面的，也是深远的，随着我们对“数形结合”认识的愈加深入，“数形结合”的作用也将发挥得愈来愈大。 小学数学课堂教学策略之十一渗透数形结合思想的策略 施纪云数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。对“数形结合”的理解就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美统一起来。一、实施策略（一）以形助数，显直观1. 以形助数，把握概念本质。数的产生源于对具体物体的计数，从数的概念的建立到数的运算处处蕴含着数形结合的思想。如，认识个、十、百、千。2. 以形助数，化解学习难点。对于教学中学生难以理解和掌握的教学内容，或者是容易引起混淆和产生错误的教学内容，教师可以充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得形象、直观，丰富学生的表象，引发学生的联想，引导学生探索规律，得出结论。如，异分母分数加减法3. 以形助数，理解数量关系。在数学教学中，可以通过训练，使学生在解决问题时，能自觉地利用线段图等来分析数量关系，把复杂的问题简单化、明朗化，把抽象的问题形象化，以提高解决问题的能力。4. 以形助数，探索数学规律。数形结合的思维方法，是儿童构建数学模型的基本方法。在数学教学中可以根据数与形的转化，让学生学会构建模型来直观描述数学问题。（二）以数辅形，助思维“形”有直观形象的优势，也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使学生更准确地把握“形”的特点。1. 以数辅形，揭示图形特点。2. 以数辅形，渗透代数思想。二、关于渗透数形结合思想的几点建议1. 几何是研究空间形式的科学，培养知觉能力、洞察力，代数是研究商量关系的科学，注重培养逻辑能力、符号运算能力。我们要从整体上把握，使二者相辅相成。2. 要培养学生数形结合的意识。教学中不仅要把数形结合作为重要的解题方法，更应该将它作为重要的学科思想和思维方式，有意识地培养学生见数想形、因形思数、数形结合的意识数形结合，培养学生解题能力孙春梅新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。而数和形的关系正如我国著名的数学家华罗庚所写的诗一样：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”“数”与“形”之间的关系实际上反映了事物两个方面的属性，而数形之间的结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。一、以形助数 根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征，规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论。在这里我们暂且称之它为“以形助数”， “以形助数”其实指在我们数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析和理解。 “以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。而小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？请看：1运用图形分析数量关系，知识一举两得用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。例如范新林老师的复式条形统计图一课，（之前学生在前半节课已认识了复式条形统计图，知道了图例等）出示2004年雅典奥运会前四强奖牌统计表（右下图），国家 奖牌（枚） 金牌银牌美国 35 39中国 32 17俄罗斯 27 27澳大利亚17 16师：如果把这张统计表制作成复式条形统计图，你会吗？现在脑子里想想，是怎样的一幅图？同学通过看统计表，绘出相应的复式条形统计图，从而更加直观地分析2004年雅典奥运会前四强奖牌信息：如你觉得哪些国家有可能是我们中国金牌的有力竞争对手？你能否从中预测出我们中国2008奥运会金牌第几名？同学们通过对复式条形统计图的仔细观察，分析得出了以下信息：美国队金、银牌最多，最有可能拿第一；俄罗斯金牌虽然比中国少5枚，但银牌数比中国多10枚，也会是中国的强劲对手；中国队是2008的东道主，也有可能取代美国登上金牌榜第一等等，同学们还根据统计图“复式条形柱”说出了自己这样预测的原因。范老师利用先只出示统计表，而表中只含有单纯的数字，同学们对其分析感到一定的困难，引导学生想到用复式条形统计图来进行分析，学生通过自己绘成的统计图，对统计表中的相关信息进行分析，体会图形带来的好处，这样学生在直观图形对照下，理解数与形的关系，感悟从中的数学思想。范老师利用“以形助数”既达成了本课的教学目标，又让学生在愉快的学习中感受了数学思想的魅力。2借助图形解决数学问题，问题迎刃而解其实“以形助数”在我们数学学习中非常常见，如解决问题中，我们也往往会借助线段图来理解题中的数量关系，从而来解决问题；再或者利用韦恩图等表示出问题中的包含关系，使问题简单化。如在解决问题中有这样一题“某班有57人，报名参加数学活动社团的有30人，参加英语口语社团的有38人，两项都没有参加的有7人，那么同时参加数学活动和英语口语的有多少人？”解决这一题我们就可以很好地利用韦恩图来表示此题中的数量关系。如下图，从图中我们可以清楚地看出，参加学生社团共57-7=50人，而参加英语口语和数学活动之和是30+38=68人，68比50多18人，而这18人正好就是参加两项的人数，也正好是英语口语和数学活动两者的交集部分，即同时参加了数学活动和英语口语两项学生社团。二、以数解形 有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。例如我教过浙教版的长方体的认识，学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册长方体的认识一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点。6个面中有两个相对的面是相等的（如右图）（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（如下图）（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等）， 学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面， 少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面， 求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。 通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。三、数形结合 数形结合是一种重要的数学思想方法。在小学数学中，它既表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决；又可以将复杂的几何形体用简单的数量关系来表示。1数形结合感悟数学符号特征罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学课程标准也强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法解决符号所表示的问题。”能选择适当的程序和方法解决符号所表示的问题，具体可以理解为，解决问题可以将问题用符号表示，然后选择算法，进行符号运算。例如在钱金铎老师图形的观察与思考一课中，钱老师利用数形的结合来感悟数学的符号性，提出这样两个问题：如果黄色（四分之一圆）的代表5，那么这个图形（指四分之三圆）代表几？（四分之一圆）的代表5，那么“四分之三圆”中有三个“四分之一圆”即3个5，三个5相加得15，通过数形结合，让学生进行符号运算，又知道了整个圆有4个“四分之一圆”，即4个5，等于20。把两个三角形（一个三角形代表4）又拼成正方形，把两个正方形拼在一起成长方形，现在代表几？一个三角形是4，拼成正方形需要两个三角形，4+4=8，两个正方形又拼成一个长方形，8+8=16，在这两个过程中让学生体会图形的变化同时，数字也在跟着变化，中，先得理解四分之一圆和四分之三圆的关系，以及它们和整个圆的关系，只有理解图形之间的关系，才能解决问题，同样在中，一边体会三角形、正方形和长方形之间的组合关系，一边计算，这样在一一体会“数”即是“形”，“形”又是“数”，数形结合在一起的乐趣，也让学生初步明白数学就是符号化的语言，一个数字可以代表一个图形，不同的图形可以用不同的数字表示出来，让学生懂得简约性是数学的基本特征之一。2数形结合深化课堂知识目标教学目标的确定是教学设计的核心，应该在把握学科本质，调研了解学生（了解学生的思维水平）的基础上确定教学目标，对于目标的确定当然不仅仅局限于教参给予我们的参考，更重要是自己对整堂课目标的把握，对所教班级学生已有知识基础的了解。与此同时教学实践却又是“主观见之于客观的东西”，具有直接的现实性，它不仅被真切观照，而且具有很强的说服力。所以，有时深化课堂目标往往要借助与形象直观的事物，从教学实践入手，达成具有可操作性、具体的目标，当然撰写、描述的目标不应