物理学中的对称性与守恒律.doc

物理电气信息学院 本科毕业论文 I 毕 业 论 文 2011 届 题 目 物理学中的对称性和守恒律 学 院 物理电气信息学院 专 业 物理学 师范 年 级 2007 级 学生学号 12007244017 学生姓名 关亚琴 指导教师 张 亦 物理电气信息学院 本科毕业论文 II 物理学中的对称性与守恒律 摘 要 对称和守恒作为一个古老而又常新的概念 经历了从分 立到综合的漫长发展历程 对称性对物理学的发展起到了重 要作用 由于对称性意味着不变性 也就是经过某种对称变 换后物理规律的不变性 这就意味着某种物理量的守恒 本 文是从对称性的发展 到能量守恒的产生与分类 最后阐述 了对称性与能量守恒的关系 关键词 对称 守恒 物理学 物理电气信息学院 本科毕业论文 III ABSTRACT As an old and new concepts semmetry and conservation often experienced the long development from the division to integration The development of physics symmetry has played an important role Due to the symmetry means inflexibility namely after a symmetry transform the laws of physics this means that some physical quantities of conservation Based on the development of energy conservation to generate and classification finally describes the relationship with the energy conservation symmetry Keywords Symmetrical Conservation Physics 物理电气信息学院 本科毕业论文 IV 目 录 引 言 1 第一章 物理学中的对称性 1 1 1 物理对称性的分类 1 1 1 1 直观对称 1 1 1 2 抽象对称 2 1 1 3 数学对称 3 1 2 对称破缺 5 1 3 对称操作与对称性 6 1 3 1 空间反演操作与镜像对称 6 1 3 2 空间平移对称操作与平移对称 8 1 3 3 空间旋转对称操作与转动对称 8 1 3 4 时间平移对称操作与时间对称 10 1 4 对称性在物理学发展中的作用 10 第二章 物理学中的能量守恒 12 2 1 能量守恒的转化与转移 12 2 2 能量守恒的具体表达形式 12 2 3 能量守恒定律的重要意义 14 第三章 物理学中的对称性与守恒律 15 3 1 对称性与能量守恒的发展历程 15 3 2 守恒定律和对称性的关系 15 3 3 应用对称性思想推导基本守恒定律 16 3 3 1 势能对时间平移变换的对称性导致机械能量守恒 17 3 3 2 势能对空间平移变换的对称性导致动量守恒 19 3 3 3 势能对空间转动变换的对称性导致角动量守恒 19 3 4 李政道与杨振宁的宇称不守恒 20 物理电气信息学院 本科毕业论文 V 第四章 结语及展望 23 参 考 文 献 24 谢 辞 25 物理电气信息学院 本科毕业论文 1 引引 言言 作为物理学中最原始 最基本的概念 对称和守恒各自有其深刻的思想渊 源 人类对于对称和守恒的认识也是由表及里 而对称和守恒也经历了从分立 走向综合的漫长发展历程 特别是在现代物理学中 对称性和守恒律对科学家 来说始终具有非凡的吸引力 是一个非常有趣和深刻的话题 本文将通过物理学中对称性的分类 对称操作与对称性 对称性在物理学 中的发展作用 物理中的能量守恒的转化 转移 具体表达形式及作用 引出 了对称性与各种守恒律的关系及发展 第一章 物理学中的对称性 对称性是人类认识自然界中各种现象和事物时产生的一种观察方法 它是 指自然界的一切物质和过程都存在或产生它的对应方面 这种对应表现为现象 的相同 形态的对映 物质的反正 结构的重复 性质的一致和规律的不变性 等 对称给人一种圆满 匀称 均衡的美感 它内含或表现出某种有序 重复 的成份 对称性深刻地解释了自然界相互联系中的一致性 不变性和共同性 是反映自然规律的一条基本原则 1 1 物理对称性的分类 根据对称性的抽象程度 物理学中的对称性主 要表现为直观对称 抽象对称 数学对称 对称破 缺四种 1 1 1 直观对称 对称性的概念最初来源于生活 也就是直观唯象对称性 是许多事物所显 图 1 1 雪花的六角对称 物理电气信息学院 本科毕业论文 2 示的直观形象的对称 直观对称又表现为空间的 时间的和物理知识表达形式 上的对称 空间对称表现为 人体的左右对称 雪花完美的六角对称 图 1 1 我国古代的宫殿 庙宇和陵墓建筑的对称设计 正电荷与负电荷 反射与折 射 图 1 2 杠杆的平衡 单摆的运动和磁场的南北极等 时间对称表现为 音乐的等间隔重复节奏 地球的周期性公 转和自转 匀强电场不随时间发生变化等 物理学知识 如概念 规律 公式等 在 表达式上也表现出明显的直观对称 对称 的数字 公式和图像是数学形式美的重要 标志 因为中心对称 轴对称 镜像对称 都是令人愉悦的形式 如晶体结构具有一 定的几何学上的对称性 描述电磁场规律的麦克斯韦方程组具有形式上的对称 性等 对称性在解释天体运行规律中也有功不可没的作用 托勒密的地心说认为 各行星都在一个较小的圆周上运动 而每个圆的圆心则在以地球为中心的圆周 上运动 他把绕地球的圆叫 均轮 每个小圆叫 本轮 同时假设地球并 不恰好在均轮的中心 均轮是一些偏心圆 日月行星除作上述轨道运行外 还 与众恒星一起 每天绕地球转动一周 托勒密这个不反映宇宙实际结构的数学 图景 却较为完满地解释了当时观测到的行星运动情况 并在航海上取得了实 用价值 被人们广为信奉 后来 天文学家哥白尼从对称美的角度考虑了宇宙 的结构 他发现 地心说 的体系过于复杂 难以反映宇宙体系的和谐 统一 并以崭新的日心模型为出发点 建立了对称性更高的 日心说 来解释天体运 行规律 1 1 1 2 抽象对称 随着人类认识的深入和发展 科学家面临着越来越多的抽象问题 许多问 题仅仅依靠简单直观的对称图像难以解决 这时抽象对称性就起到了重要的作 图 1 2 反射与折射 物理电气信息学院 本科毕业论文 3 用 抽象对称性是将对称的直观表象和抽象思维相结合 从得出的某一个概念 规律或理论中反映出新的对称性 是人类思维活动对于对称性的更深层次的认 识和理解 统计力学和误差理论中的概率思想 就是一种抽象对称 分子热运 动在三维空间各自由度上发生的概率都相等 气体对容器的压强处处都相等 例如 德布罗意从对称思想认识到 19世纪科学家对于光学的研究过于强调了 波动性 忽视了粒子性的研究方法 而对于物质的研究则过分强调了物质的粒 子性 而忽视了物质的波动性 他认为物质也应该具有与粒子性相对称的波动 性 提出了物质波假说 再如 1931年 狄拉克运用对称思想提出了磁北极和 磁南极是可以分开而单独存在的学说 称为磁单极子理论 他的这一预言虽然 至今未被确证 但许多物理学家正在通过各种实验探寻磁单极子 1 1 3 数学对称 数学对称是指 如果某一现象 或事件 在某一数学变换下不变 那么该现 象 或事件 就具有该变换所对应的对称性 也叫做数学变换下的不变性 而 在某种变换下不变的理论叫做对称理论 数学对称是比抽象对称更加深刻的对 称性 通常用群论来描述对称性 如物理定律在洛仑兹变换下保持形式不变 就是数学对称性的体现 再比如电磁场的规范对称变换 电磁势 A 变为 A 后 B E及其 1 c A AA a 或加 运动方程保持不变 并引出电磁场是一种 U 1 规范场 在爱因斯坦建立相对 论的过程中 数学对称性起到了重要作用 爱因斯坦认为 自然科学的理论不 仅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的对称性 而且要求理论本身具有 内在对称性 1905年 爱因斯坦发表的 论动体的电动力学 提出了狭义相对 论的基本原理 并深刻领悟了对称性的威力 狭义相对论是以爱因斯坦的两个基本假设为出发点 这两个基本假设也称 为狭义相对论的基本原理 具体内容如下 1 相对性原理 所有物理规律在一切惯性系中皆有各自的同一形式 即在不 物理电气信息学院 本科毕业论文 4 同惯性系 同一物理规律的数学表达式不变 也就是说不存在一个特殊的惯性 系 2 光速不变原理 在真空中 对任何惯性系而言 光在各方向上的速度都是 c 与光源的运动无关 对经典力学的相对性原理 只有在伽俐略变换下对力学 定律成立 而爱因斯坦的相对性原理 却是在一种新的变换 即洛仑兹变换下 对所有的物理规律都成立 时空观由光速不变原理赋与了全新的内容 与经典 力学的速度变换公式有着本质的区 别 具体的洛仑兹变换如 图1 3 所示 设有两个惯性系s和s 若它 们的坐标轴彼此平行 且当 t t O时 两坐标系的原点 0 O 重合 s系以速度并相对s系 沿公共的x轴正方向作匀速运动 如图1 3所示 则某事件P在s系看来 是在t时 刻 x y z 点发生的 在s 系看来 是在t 时刻 x y z 点发 生的 则这个同一事件的两组时空点的关系如下 22 22 22 11 11 11 11 xxutxxut yyyy u c zzzz ttux cttux c 或者 洛仑兹变换使得空间与时间发生了联系 空间的变换依赖时间 时间的变 换也依赖空间 由相对论的基本原理及洛仑兹变换下物理规律的不变性 可以 得出 物理规律具有对称性 这种对称性指的是 l 不因时而异 即与t的变化 无关 称之为时间的均匀性 2 不因地点而异 即与地点无关 这是空间的均 图 1 3 洛伦兹变换 物理电气信息学院 本科毕业论文 5 匀性 3 不因人而异 即与参考系无关 即相对性的原理 2 此外 对称性揭示了能量守恒定律 动量守恒定律 角动量守恒定律 电 荷守恒定律的出现不是偶然的 而是必然的 是多种对称的必然结果 以下章 节中将会介绍到如何用对称性推导基本守恒定律 1 2 对称破缺 物理学中的对称破缺 是指由于某一种对称被破坏 引发出了更深化的思 维认识 从而展现出物理学更高层次的对称 如核子同位旋守恒遭电磁作用和 弱作用破坏时表现出来的破缺 铁磁材料中空间各向同性的破坏 真空对称性 的自发破缺等 再如 杨振宁和李政道提出了弱相互作用中宇称不守恒 将在 第三章中详细讲到 就是运用对称性原理解开了 之谜 并得到了吴健雄 的实验验证 使现代物理学中产生了 对称加破缺 的美学思想 物理学中有两种对称破缺的方式 一种是上面讨论过的明显的对称破缺 它是由较弱的相互作用不具有这种对称性而引起对较强的相互作用的对称性的 破坏 在这种情况下 作为整体 对称性是近似的 它只有在可以忽略较弱相 互作用的过程中才近似地成立 例如 当体重差不多的两个小孩在玩跷跷板时 两个小孩分坐两端 在静止状态下 跷跷板保持水平状态 达到平衡 当一个 小孩离开后 跷跷板失去平衡 有小孩的一端着地 另一端则必然上翘 使原 来的水平状态被打破 原有的对称性就发生了破缺 又比如 水是各向同性流 动的液体 水分子在水中沿各个方向运动皆可 但当温度下降到零度以下时 水结成了冰 水分子在冰中按一定的择优方向排列 形成了冰的几何结构 对 称性降低 不再保持原来水中各向同性的对称性 即发生了对称性破缺 另一种更重要的对称破缺方式称为对称性的自发破缺 这时描写系统动力学 的拉格朗日量具有对称群G的对称性 但是能量最低的真空态或基态不只一个 而是一组互相不能穿透的退化的状态 形成群G的表示 由于真空态 基态 影 响到在其上运动着的一切事物 一旦真空态已经确定在一个特定的状态上 群G 物理电气信息学院 本科毕业论文 6 的对称性就受到了破坏 例如磁铁在居里点以下显示出铁磁性 它的磁矩指向 特定的方向 虽然磁铁的拉格朗日量是各向同性的 具有转动群的对称性 但 基态不只一个 相应的磁矩可以指向空间不同方向 当磁铁由于某种原因已经 选定了一个磁矩的特殊方向 在这块磁铁上发生的现象就不再是各向同性的了 这时我们说转动群的对称性产生了自发破缺 常常从退化的基态中具体实现的状态仍然具有G群的子群H的对称性 例如 磁矩指向z轴方向时 磁铁仍然可以具有围绕z轴转动的对称性 因此对称性只 在G群除以H群得到的H的陪集G H上产生了自发破缺 明显的对称破缺的方式不依赖于系统所处的状态 而对称性的自发破缺则 依赖于系统的状态 随着某些条件 例如温度 的变化 处于对称性自发破缺 状态的系统常常可以通过相变过渡到对称的状态 例如铁磁和超导在临界温度 以上都恢复到对称的状态 构成今天世界的粒子很可能处于对称性自发破缺的相中 它们的质量和相 互作用都由这个相决定 在早期宇宙发展过程中 世界很可能处于高度对称的 状态 那时粒子的性质可能与今天观察到的很不相同 宇宙经过冷却和相变才 达到今天的样子 1 3 对称操作与对称性 德国数学家魏尔 H Weyl 在1951 年给出了对称性的普遍的严格定义 对一个事物进行一次变动或操作 如果经过此操作后 该事物完全复原 则称 该事物对所经历的操作是对称的 而此操作就叫做对称操作 3 由于操作 变换 方 式不同可以有若干种不同的对称性 下面我们介绍几种不同的对称操作 1 3 1 空间反演操作与镜像对称 空间反演操作类似于物体的平面镜成像 具有对 某一轴线或平面的对称性 如物理学中的位置矢量r r 图 1 4 镜像对称 物理电气信息学院 本科毕业论文 7 经过空间反射后 与镜面垂直的分量反向 与镜面平行的分量则不变 如图1 4 再比如 求解电场的区域内有自由电荷 我们必须解泊松方程 一种重要的特 殊情形是区域内只有一个或几个点电荷 区域边界是导体或介质界面 而解决 这类问题 我们用镜像法就显得尤为简便 4 例 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q 求空间中的电场 解 从物理上分析 在点电荷Q的电场作用下 导体板上出现感应电荷分布 若Q为正的 则感应电荷为负的 空间中的电场是由给定的点电荷Q以及导体面 上的感应电荷共同激发的 而另一方面感应电荷共同分布又是在总电场作用下 达到平衡的结果 平衡的条件就是导体的静电条件 即导体表面为一等势面 所以这问题的边界条件是 常数 导体面上 或者说 电场 线必须与导体平板垂直 怎样才能满足这一边界条件呢 我们 设想 感应电荷对空间电场的作用能否用 一个假想电荷来代替 如图 1 5 设想 在导体板下方与电荷Q对称的位置上做一 个假想电荷 然后把导体板抽去 若 Q 则假想电荷与给定电荷Q激 Q Q Q 发的总电场如图1 5所示 由对称性容易得出 在原导体板平面上 电场线处处 与它正交 因而边界条件得到满足 因此 导体板上的感应电荷确实可以用板 下方一个假想电荷代替 称为Q的镜像电荷 Q Q 导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电荷 Q共同激发的电场 Q 以r表示Q到场点P的距离 表示像电荷到P的距离 P点的电势为 r Q 0 1 4 QQ P rr 选Q到导体板上的投影点O作为坐标原点 设Q到导体板的距离为a 有 222222 0 1 4 QQ x y z xyzaxyza 图 1 5 镜像法 物理电气信息学院 本科毕业论文 8 即得解 1 3 2 空间平移对称操作与平移对称 当某一物理规律经过坐标平移后仍与原规律相同 则为平移对称 例如 我们在一定的位置上做一个实验 然后在空间的另一个位置上建立另一套仪器 或者把原来的仪器搬过去 那么凡是在前一套仪器中按一定的时间顺序发 生的一切 在后一套仪器中也将以同样的方式出现 只要我们安排好同样的条 件 并且对前面讲过的一些约束予以应有的注意 即周围环境中所有使仪器不 能同样工作的特征都要排除掉 这样在两地会得到相同的物理定律 即物理定 律具有空间平移对称性 1 3 3 空间旋转对称操作与转动对称 在物理转动问题中 有些问题如果用常规方法则显得很繁琐 不容易计算 而如果用转动对称性来解决问题 则会简化很多 而转动对称如何来表述呢 例如 太阳绕通过其中心的任意轴旋转某一角度后 其现状与原状一样 进行 物理实验的仪器转动某一角度后 所得到的物理规律不会因空间的转动而发生 变化 即物理定律具有空间转动对称性 以下就是一个用转动对称性解决问题的例子 考虑一个刚体转动问题 如图1 6所示 有一个质量为M 半径为R的密度均 匀的圆盘 在距圆心O为d的地方挖去一个半径为r的小圆 则这个圆盘就出现了 一个空洞 求这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动 惯量 对于这个物体转动问题 要计算其转动惯量 一般是用转动惯量的定义式 去对整个刚体进行积分运算 但由于这个刚体有一个小空洞 使得这 2 Ir dm 一处地方很难进行积分运算 求解起来相当复杂 但从对称性的角度来看这个 问题 就变得较为简单了 物理电气信息学院 本科毕业论文 9 图 1 6 带有空洞的圆 盘如果将空缺的小圆盘补上 则这个大圆盘就对O点完全对称了 空洞的圆盘 重新作为一个完整圆盘 其转动惯量可设为 而小圆盘对自己圆心的转动惯 1 I 量可设为 再考虑到小圆盘的平移对称性 应该还有一个因为平移的转动惯 2 I 量 则这个带有空洞的圆盘以过圆心O点并垂直于这个圆盘的Z轴的转动惯量 3 I 就为整个刚体的转动问题变得很简单 将空缺圆盘视为一个新的 123 IIII 完整圆盘 则其密度发生了变化 设其质量面密度分布为 则有 1 1 22 MRr 则新的完整圆盘的转动惯量 为 1 I 1 2 4 1 1 2 IR 小圆盘对于自身圆心的转动惯量为 2 I 1 3 4 2 1 2 Ir 再考虑平移对称性问题 则有小圆盘平移的转动惯量为 3 I 1 4 22 3 Ir d 则整个圆盘的转动惯量I为 1 5 4422 123 22 1 2 2 M IIIIRrr d Rr A 由此可见 利用对称性分析 这个物体的转动惯量问题变得十分简单 不 需要繁杂的数学积分运算 只需要简单的代数加减法就能解决问题了 物理电气信息学院 本科毕业论文 10 1 3 4 时间平移对称操作与时间对称 我们所熟悉的24小时的昼夜循环 在时间上就表现出具有周期性的平移对 称 周期性变化的单摆只对周期T及其整数倍的时间平移变换对称 空间对称性 和时间对称性是最基本的 最常见的对称性 统称为时空对称性 另外 量子 力学中全同粒子互换后 得到具有交换对称性的哈密顿算符 全同粒子体系波 函数的对称性不随时间的平移而改变 5 第三章还会为大家介绍到 时间对称 与能量守恒之间的关系 1 4 对称性在物理学发展中的作用 对称性是人们试图领悟与创造秩序和美的观念 人类有追求完美对称的生 理和心理倾向 当观察者看到他视野内的观察对象或研究对象 实物或理论 不 对称 即对称破缺 时 就会在心理上产生一种不舒服和紧张的感觉 等到他想 方设法填补了空缺 使对象达到了一种新的对称时 便会感到轻松满意 6 对称性为科学家研究物理学提供了强有力的方法论工具 物理学家对于公 式 定律的形象对称性和内在对称性的追求 促进了物理学的极大发展 从物 理学的发展来看 正是 对称 不对称 新的对称 的不断循环往复 才使物 理学理论从较低的对称层次向较高的对称层次发展 从较小范围的统一向较大 范围的统一发展 使人类对自然界的认识不断深化 例如 牛顿把天上的力学 与地上力学对称综合起来 建立了经典力学体系 麦克斯韦依据电与磁的对称 关系 统一了电 磁 光三种运动 创立了经典电磁理论和具有对称形式的麦 克斯韦方程组 在物理学的发展史上 许多物理学家正是通过对称这一美学思 维工具 做出了许多重大发现 科学家发现 当某种不对称出现时 可以通过扩大其对称性而使自然规律 的普遍性进一步扩大 进一步推动物理学向着更高层次的对称发展 爱因斯坦 在狭义相对论的原始论文 论动体的电动力学 中指出 麦克斯韦电动力学 像现在通常为人们所理解的那样 应用到运动的问题上时 就要引起一些不 物理电气信息学院 本科毕业论文 11 对称 而这种不对称似乎不是现象所固有的 5 而爱因斯坦坚信自然现象是 具有内禀对称性的 当理论描述出现不对称时 正表明理论本身需要修正 他 也正是由此出发进行探索而创立狭义相对论 再如 坚持数学美的狄拉克认为 自然界是对称的 有正能粒子存在就应该有负能粒子存在 因此 他预言 存 在着一个与电子质量相等而电荷相反的负能粒子 正电子 1932年安德逊发现 了正电子 证实了狄拉克的预言 狄拉克的这一伟大贡献开拓了人类对基本粒 子研究的新领域 其后 物理学家相继发现了许多现在我们所熟知的反粒子 物理学家对于对称性的理解是辩证的 对称是美丽的 而不对称 对称破缺 也是一种科学美 例如 根雕艺术所展示的错落有致的景致 往往是对称与不 对称相结合而产生美感的真实表现 在现实中广泛存在着不对称 如蜗牛 人 的心脏等 在生物界的分子水平普遍存在着更深刻的左右不对称性 法国科学 家路易 巴斯德在研究物质时有两个信念 一是光活性与晶体形状不对称密切 相关 二是光活性必定有与生命过程相联系的起源 6 1848 年巴斯德提出物质 的光活性 旋光性 是由于分子的不对称结构所引起的 他对酒石酸钠铵进行了 研究 并首次将酒石酸钠铵拆分为具有实物和镜像关系的两种晶体 一种使偏 振面向右旋转 另一种使偏振面向左旋转 在溶液中也是如此 这些事实说明 了物质的光活性 旋光性 是它的分子本身所固有的 光活性与分子的不对称结 构有关 这些实例更进一步说明 对称性在物理学中的广泛应用 物理电气信息学院 本科毕业论文 12 第二章第二章 物理学中的能量守恒物理学中的能量守恒 在经典力学中 从牛顿方程出发 在一定条件下可以导出力学量的守恒定 律 粗看起来 守恒定律似乎是运动方程的结果 但从本质上来看 守恒定律 比运动方程更为基本 因为它表述了自然界的一些普遍法则 支配着自然界的 所有过程 制约着不同领域的运动方程 能量守恒定律表述 能量既不会凭空 产生 也不会凭空消失 它只能从一种形式转化为别的形式 或者从一个物体 转移到别的物体 在转化或转移的过程中其总量不变 能量守恒定律如今被人 们普遍认同 但是并没有严格证明 2 1 能量守恒的转化与转移 自然界中不同的能量形式与不同的运动形式相对应 物体运动具有机械能 分子运动具有内能 电荷的运动具有电能 原子核内部的运动具有原子能等等 不同形式的能量之间可以相互转化 摩擦生热是通过克服摩擦做功将机械能 转化为内能 水壶中的水沸腾时水蒸气对壶盖做功将壶盖顶起 表明内能转化 为机械能 电流通过电热丝做功可将电能转化为内能等等 这些实例说明了 不同形式的能量之间可以相互转化 且是通过做功来完成的这一转化过程 某 种形式的能减少 一定有其他形式的能增加 且减少量和增加量一定相等 某 个物体的能量减少 一定存在其他物体的能量增加 且减少量和增加量一定相 等 2 2 能量守恒的具体表达形式 保守力学系统保守力学系统 在一定过程中 若质点系机械能始终保持恒定 且只有该 质点系内部发生动能和势能的相互转换 就说该质点系机械能守恒 机械能守 恒的系统称保守力系统 根据机械能守恒的含义和功能原理 可写出机械能守恒定律 在一过程中 物理电气信息学院 本科毕业论文 13 若外非保守力不做功 又每一对内非保守力不做功 则质点系机械能守恒 即 kp EE 常量 在定律中 先是要求外非保守力不做功 至于 每一对内非保守力不做功 并非要求成对的内非保守力中每个力都不做功 只要求每一对内非保守力所 做的功的代数和为零 实际上 在机械能守恒的质点系中 仅允许内保守力做 功不为零 内保守力做功仅意味着动能与势能的相互转化不影响总机械能 7 热力学系统热力学系统 在研究物理现象时 人们通常只注意某一物体或物体系 并 想象地把它同周围的物体隔离开来 在热学中 我们把这一被确定为研究对象 的物体或物体系叫做热力学系统 简称系统 根据对热学系统描述方法 宏观描述和微观描述 的不同 形成了热学的 两种理论 宏观理论与微观理论 即热力学和统计物理学 19世纪40年代 德 国医生迈耶 Robert von Mayer 德国物理学家和生理学家亥姆霍兹 H Helmholtz 英国律师格罗夫 W R Grove 丹麦物理学家柯尔丁 L A Colding 等先后通过不同的研究途径确定了热力学第一定律 热力学第一定律是能量转化和守恒定律在涉及热现象的过程中的具体形式 因为它所说的状态是指系统的热力学状态 它所说的能量是指系统的内能 如 果考察的是所有形式的能量 机械能 内能 电磁能等 热力学第一定律就推 广为能量守恒定律 这个定律指出 自然界中各种不同形式的能量都能够从一 种形式转化为另一种形式 由一个系统传递给另一个系统 在转化和传递中总 能量守恒 8 相对论性力学相对论性力学 在相对论里 质量和能量可以相互转变及质量改变带来能 量变化 能量守恒定律依然成立 历史上也称这种情况下的能量守恒定律为质 能守恒定律 9 总的流进系统的能量必等于总的从系统中流出的能量加上系统内部能量的 变化 能量能够转换 从一种形态转变成另一种形态 系统中储存能量的增加 物理电气信息学院 本科毕业论文 14 等于进入系统的能量减去离开系统的能量 2 3 能量守恒定律的重要意义 能量守恒定律 是自然界最普遍 最重要的基本定律之一 从物理 化学 到地质 生物 大到宇宙天体小到原子核内部 只要有能量转化 就一定服从 能量守恒的规律从日常生活到科学研究 工程技术 这一规律都发挥着重要的 作用人类对各种能量 如煤 石油等燃料以及水能 风能 核能等的利用 都 是通过能量转化来实现的能量守恒定律是人们认识自然和利用自然的有力武器 物理电气信息学院 本科毕业论文 15 第三章第三章 物理学中的对称性与守恒律物理学中的对称性与守恒律 3 1 对称性与能量守恒的发展历程 人类在很早就孕育了守恒的思想 守恒的思想认为大自然是周而复始 无 限循环的 现在我们知道 从本质上讲守恒性来源于对称性 实际上 由于对 称性意味着不变性 进一步发展就意味着经过某种对称变换后物理规律的不变 性 这就意味着守恒 人类最初对于守恒观念的认识还是非常原始和朴素的 随着自然科学的发展 人们对于守恒概念的认识也逐步深入 对称性与守恒律 密切联系的见解最早来源于经典力学 从17世纪开始 伽利略 笛卡儿 莱布 尼茨 伯努利 拉格朗日等科学家从不同的方面阐述了动量和能量守恒的思想 19世纪40年代 迈尔 焦耳 亥姆霍兹等科学家从不同侧面独立地发现了物质 运动之间能量的守恒性 于是物理学就把这些不同的发现综合上升为能量守恒 定律 随后 对称性和守恒律的对应关系也逐步推广到电磁学 量子力学 量 子场论以及基本粒子理论等领域 3 2 守恒定律和对称性的关系 1918年德国女数学家尼约特 A E Noether 提出了一个关于对称性与守 恒定律之间存在对应关系的著名定理 尼约特定理 作用量的每一种对称性都 对应一个守恒定律 有一个守恒量 10 尼约特定理引导物理学家们去寻找新领 域中的守恒定律和守恒量 由此确定其中的对称性 从而获得作用量的形式和 基本守恒定律 反过来 如果知道了使一个给定的作用量保持不变的对称变换 也就可以知道相应的守恒定律和守恒量 尼约特定理为物理学家研究未知事物 物理电气信息学院 本科毕业论文 16 提供了强有力的方法论工具 是物理学家探索自然的基本依据和出发点之一 由尼约特定理推广 可以得到如下结论 如果运动定律在某一变换下具有不变 性 必然有一相应的守恒定律 例如 下列每一种对称性 即变换不变性 都对 应着一个守恒定律 空间平移不变性动量守恒定律 空间转动不变性 角动量守恒定律 时间平移不变性 能量守恒定律 空间反演不变性 宇称守恒定律 整体规范不变性 电荷守恒定律 具体地说 如果物理系统具有某种对称性 那么这个系统必有相应的守恒 量 例如 经典系统由拉格朗日函数描述 且此函数遵循拉格朗日方程 当此函 数具有空间平移 空间转动对称性时 必定导致动量 角动量守恒 当此函数具 有时间平移不变性时 必定导致能量守恒 又如 量子系统由波函数描述 整 体规范变换是波函数的一种相角变换 在这种变换下若波函数仍然满足同一个 薛定谔 E Schro dinger 方程 则可得出电荷守恒 3 3 应用对称性思想推导基本守恒定律 在经典理论力学中 对于保守力系中的质点系 其拉格朗日函数L对时空均 匀性应用拉格朗日方程 0 jj dLL dtqq 可以推导出广义的能量 动量和角动量三个守恒定律 这里我们用一种较为简单的方法 应用保守力系中质点系的势能对时空的 物理电气信息学院 本科毕业论文 17 对称性导出三个基本的守恒定律 对于n个质点组成的质点系在外保守力场中 外力场对质点系作用的外势能V 不仅是各质点位置坐标的直接函数 也是时间 参数t的直接函数 即V V x y z t 外保守力对质点系作功 3 1 式为 11 nn i iiii ii iii VVV ed rdxdydz i xyz F A 3 1 系统势能增量 3 2 式为 11 nn iiii ii iii VVVVV dVe d rdtdxdydzdt i txyzt F A 3 2 相应在柱坐标系下有 3 3 式 1 n iii i iii VVVV dVdxdpddt xpt 3 3 3 3 1 势能对时间平移变换的对称性导致机械能量守恒 由质点组的动能定理有 3 4 式 3 4 ei k dwdwdE 3 5 式是 dw i p dE 3 5 为质点系内保守力的功 其值等于质点系内势能的减少 将 3 1 式 3 p E 4 式和 3 5 式代入 3 3 式 有 3 6 式 kp V d EVEdt t 3 6 由 3 6 式可得 当且仅当外势能V与时间参数t无关 即V具有时间平移对称 性时 系统的机械能量守恒 p E V k EE 机 恒量 为了更好地理解系统对时间平移变换的不变性与能量守恒定律的内在联系 我们来分析一个简单的问题 一个质量为m的物体 从离地面距离为h的地方竖直下落 写出以下两种情 况下系统的哈密顿函数H x t 并讨论其能量与时间的对称性关系 1 自由落体 z p 物理电气信息学院 本科毕业论文 18 运动 2 存在与运动速度成正比的空气阻力作用 取物体开始下落的A点为坐标原点 轴竖直向下 如图3 1所示 任一瞬间 物体的位置坐标为x 阻力为 mkv k为常数 下落运动开始为系统计时零点 系统的哈密顿函数为 3 2 1 2 H tTUmvmg hx 7 分别讨论两种情形 1 自由落体运动 不计阻力 系统只有保守力作用 在时刻 t 物体的速度和位置分别为 3 2 1 2 v tgt x tgt 8 将式 3 8 代入式 3 7 得到系统的哈密顿 函数 3 2 22 11 22 H tmg tmg hgtmgh 9 因此有 系统机械能守恒 其值为mgh 是一个不随时间变化的 0 dH t dt 量 也就是说 系统的哈密顿函数在时间平移变换下不变 即系统具有时间平 移对称性 2 存在空气阻力 由牛顿运动定律得 3 10 mamkvmg 或 dv kvg dt 分离变量后积分得 v t dv dt kvg AA 由此得物体的下降速度为 3 11 1 kt g ve k 再由速度定义和初始条件可求出在t时刻位置为 dx v dt 图 3 1 物理电气信息学院 本科毕业论文 19 3 12 2 1 t kt gg xvdtte kk A 将式 3 12 和式 3 11 代入式 3 7 得系统的哈密顿函数 3 13 2 2 22 222 2 22 1 1 1 2 1 1 1 2 ktkt ktkt mggg H temg het kkk mgmgmg eetmgh kkk 因此 3 14 222 2 2 1 1 0 ktktkt kt dH tmgmgmg eee dtkkk mg e k 这表明系统能量随时间减少 故系统的能量不守恒 也就是说 系统的哈 密顿函数不具备时间平移交换下不变的性质 系统产生了对称性破缺 3 3 2 势能对空间平移变换的对称性导致动量守恒 设想质点系在空间中整体任意平移 即 iii r dxx dyy dzz 对于年n个质点都成立 故 3 2 式可改写成 3 15 式 i drr 3 15 11 nn iii ii VV dVdtF edrdtF er tt 将质点系动量定理 代入 3 15 可得 3 16 式 1 n i i dp F e dt 3 16 Vdp dVdtr tdt 由于外势能V不随任意的空间平移而变化 有于是 3 r 0 V dVdt t 16 式可改写为 由于的任意性 可得 由此表明 外势0 dp r dt r 0 dp dt 能对空间平移的对称性导致质点系的总动量守恒 3 3 3 势能对空间转动变换的对称性导致角动量守恒 设想质点系在空间中整体绕柱坐标系的Z轴转动任意角度 物理电气信息学院 本科毕业论文 20 对于 3 3 式可表示成 3 17 式 0 ii dzdpd 3 17 1 n i i VV dVdt t 由质点组对Z轴的角动量定理得 111 nnn e z iziii iii ii dJV MF dt 注 为第i个质点在外保守力场中外保守力作功等于外势能的减少 i ii V F 于是 3 17 式可改写成 z dJV dVdt tdt 由此可得 外势能对空间转动任意保持不变的充要条件是 即 0 z dJ dt 质点系关于Z轴的角动量守恒 又因为Z 轴为任意方向 表明外势能V对O点空间 方向的任意转动的对称性导致质点系关于O点的角动量守恒 11 从表3 1中我们可以看出 对称性和守恒律之间的关系 此关系是深刻而本 质的 并且是广泛存在的 其中包含着值得进一步探索的秘密 表3 1 对称性和守恒律之间的关系 不客观测量对称性守恒量 时间的绝对时刻时间平移能量 空间的绝对位置空间平移动量 空间的绝对方向转动角动量 与电荷相关的相位电荷规范变换电荷 与重子数相关的相位重子规范变换重子数 重荷 与轻子数相关的相位轻子规范变换轻子数 轻核 注 轻子的相位变换与轻子数守恒实际上分三种 对电子 子 子分别成立 在最近的粒子物理实验中 发现夸克和轻子之间很可能有一种对称的对应 关系 这促使人们猜测 它们可能是同一种粒子经过对称性的自发破缺而形成 物理电气信息学院 本科毕业论文 21 的 在这种猜测中 质子可能是不稳定粒子 它的寿命虽然很长 约1032年 但有可能是有限的 会衰变为轻子和介子 现在正在积极地测定质子的寿命 如果得到实验的证实 这将是粒子物理的又一次重大突破 3 4 李政道与杨振宁的宇称不守恒 李政道早在留学期间就对左右不对称发表了自己的见解 后与杨振宁共同 提出宇称不守恒 即正反粒子的演化规律不严格对称 也即在微观世界中左和 右不严格对称 的思想 对粒子物理的发展做出了重大贡献 人们在研究中发 现 粒子的演变规律通常具有空间反映和时间反演的对称性 其中时间反演是 把物理中的t变成 t 让时间倒流 实验表明 一般的物理规律 除热力学第二 定律外 在时间反演下都是不变的 而空间反映是把物理规律中的r换成 r 其 中一个重要的例子就是前面提到的 镜面反映 例如 右手在镜子中的像会 是 左手 左手在镜中的像则是 右手 右手坐标系在镜中的像成为左手 坐标系 在图3 4中 左旋粒子在镜中的像是右旋的 相对于运动方向 科研 工作者依据两 图 3 4 左旋粒子对称 字规律在镜像反映下不变 给各种基本粒子定义了一种反映左右对称的量子数 宇称 人们发现在强作用和电磁作用下 宇称这一量子数守恒 称为宇称 守恒定律 后来李政道与杨振宁两人推翻了宇称守恒定律而获得1957年的诺贝尔物理 物理电气信息学院 本科毕业论文 22 学奖 这一思想是说 在弱相互作用的微观领域 左和右是不对称的 即正 反粒子的演化是不对称的 12 后来研究表明 弱相互作用过程虽然宇称不守恒 即在空间反映下会不同 但在CPT联合反演下则是不变的 即弱相互作用过程 CPT守恒 其中 C表示正反粒子变换 电荷要变号 P表示空间反映 T表示 时间反演 CPT变换时指这三种变换一起进行 实验表明 强 弱 电磁相互作 用都保持CPT守恒 13 需要强调的是 单独的时间反演不严格对称 并不会显示出 时间箭头 CPT联合对称表示量子过程对时间依然是可逆的 这一点与热