八年级数学寒假专题——平移旋转在几何解证中的作用华东师大版知识精.doc

用心 爱心 专心 初二数学初二数学寒假专题寒假专题 平移旋转在几何解证中的作用平移旋转在几何解证中的作用华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 寒假专题一 平移旋转在几何解证中的作用 主要内容 平移旋转在几何解证中的作用 在几何题或代数几何综合题的解证过程中 经常会使用几何变换的观点来解决问题 从图形的特点出发 利用几何变换 可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置 构成 一个新的关系 从而使问题获得解决 这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小 而只是它的位置发生了变化 这种移动有利于找出图形之间的关系 从而使解题更为简捷 移动图形一般有三种方法 1 平移法 2 旋转法 利用旋转变换 3 对称 可利用中心对称和轴对称 典型例题典型例题 例 1 如图所示 A B 两村之间有一条河 河宽为 a 现要在河上修一座垂直于河岸的 桥 要使 AB 两村路程最近 请确定修桥的地点 分析 分析 假设桥为 MN 从 A B 要走的路程为 AMNB 要使路程最近 只需 AM NB 最小即可 例 2 在 ABC 的边 BC 上 取两点 D E 使 BD CE 观察 AB AC 与 AD AE 的 大小关系 分析 分析 四条线段 AB AC AD AE 比较分散 可利用平移的方法将它们集中到一起 即可求出大小关系 用心 爱心 专心 证明 证明 将 AEC 沿 EB 的方向平移到 FBD 位置 FB AE FD AC 设 FD 与 AB 的交点为 O 在 AOD 中 AO OD AD 在 FOB 中 FO OB FB ABFDAOOBFOOD AOODFOOB ADFB ABACADAE 例 3 已知 AB CD 1 AB 与 CD 交于 O 点 DOB 60 比较 AC BD 与 1 的 大小 分析 分析 利用平移将 AC 与 BD 集中 再利用三角形三边关系进行比较大小 解 解 ACBD 1 证明 证明 过 C 作 CE AB 过 B 作 BE AC 连结 DE 四边形 ABEC 为平行四边形 AC BE AB CE DOB 60 AB CE DCE 60 AB CD 1 CE CD 1 DCE 为等边三角形 DE 1 在 DEB 中 DB BE DE 即 DB AC 1 例 4 已知 如图 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点 AF 平分 EAD 交 CD 于点 F 说明 AE BE DF 的理由 用心 爱心 专心 分析 分析 由于要证的 3 条线段 AB BE DF 分散在两个三角形中 可利用旋转变换 将 其放到一个三角形中 解 解 把 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 则点 D 转到了点 B 的位置 点 F 转到了点 F 的位置 根据旋转的性质得 3 1 F B FD AF B AFD ABCD 为正方形 D ABF 90 F B E C 在一条直线上 又 1 2 EAB 90 3 2 EAB 90 F AE 2 90 又 AFD 1 90 AF B 1 90 1 2 F AE AF B AE F E F B BE FD BE 例 5 如图 P 是正方形 ABCD 内一点 将 ABP 绕点 B 顺时针旋转 90 使 AB 与 CB 重合 BP 到达 BP 处 AP 到达 CP 处 若 AP 的延长线正好经过 P 求 APB 的度数 分析 分析 此题运用旋转将 ABP 绕点 B 顺时针旋转 90 根据旋转性质求出 BP C 的 度数即可 而 BP C 又是 BP P 与 CP P 之和 可各个击破 从而得解 解 解 由旋转的性质及特征可知 PBP 90 AP P C BP BP 在 BPP 中 BP PBPP 1 2 1809045 用心 爱心 专心 又 AP 的延长线正好经过 P 点 AP C 90 BP C AP C BP P 135 从而可得 APB 135 例 6 已知 如图 E F G 分别是正方形 ABCD 中 BC AB CD 上的点 且 AE FG 求证 AE FG 分析 分析 AE FG 所在位置不易证明相等 可将其一改变位置 如可用平移 旋转将其 位置改变后再进行证明 证明 证明 延长 AB 至 F 使 BF BE 连结 CF 正方形 ABCD AB CB ABC 90 又 CBF 90 BE BF ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 可得 CBF AE CF AE CF FG AE FG CF 又 正方形 ABCD AB CD 四边形 GFF C为平行四边形 CF FG AE FG 例 7 如图 P 是正方形 ABCD 中 AC 上一点 PE AD 于 E PF CD 于 F 求证 1 OE OF 2 OE OF 用心 爱心 专心 分析 分析 充分利用正方形的中心对称性及旋转变换 证明 证明 正方形 ABCD ADC 90 DAC 45 DE AD PED 90 PF CD PFD 90 四边形 EPFD 为矩形 PE DF 又 PED 90 DAC 45 APE 45 AEP 中 AE PE AE DF 正方形 ABCD 为中心对称图形 AOD 绕点 O 顺时针旋转 90 与 DOC 重合 A 与 D 为对应点 又 AE DF E 与 F 为对应点 由旋转变换的特征知 OE OF OE OF 例 8 ABC 为等边三角形 点 D E F 分别在边 AC AB BC 上 且 AE BF CD 连结 AF BD CE 分别交于点 G H M 1 求 1 的度数 2 判断 GMH 的形状 分析 分析 等边三角形是旋转对称图形 且每个角都是 60 1 是 BCH 的外角 可知 1 2 3 而 2 4 1 4 3 60 从而得证 解 解 1 等边 ABC 是旋转对称图形 且 AE BF CD 所以 ABC 绕旋转中心旋转 120 后 AEC BFA CDB 能够重合 2 4 由 1 2 3 1 4 3 60 2 同理可得 GMH MGH 60 GMH 是等边三角形 模拟试题模拟试题 1 两个长为 12cm 的线段 AB 与 CD 相交于点 O AOD 120 判断 AC BD 的最 用心 爱心 专心 小值 2 如图 ABC 中 BAC 90 P 是 ABC 内一点 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转一 定角度后能与 ACQ 重合 如果 AP 3 那么 APQ 的面积是多少 3 ABC 是等边三角形 D 为 BC 边上一点 CDE 也为等边三角形 请你画出将 ACD 以 C 点为旋转中心 逆时针方向旋转 60 后的三角形 并说明 AD 与 BE 的关系 4 在四边形 ABCD 中 ADC ABC 90 AD CD DP AB 于 P 若 求 DP 的长 SABCD 25 5 ABC 中 BAC 1