关于排队问题的数学模型研究.doc

哈尔滨师范大学学 年 论 文题 目 关于排队问题的数学模型研究学 生 朱彩琳指导教师 穆强 年 级 2008级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学 2011年6月论 文 提 要 本文通过对排队问题进行数学建模，并运用概率论的相关知识进行解答，得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。 关于排队问题的数学模型朱彩琳摘 要：本文通过对排队问题进行数学建模，并运用概率论的相关知识进行解答，得到了以下一系列不同类型排队模型的结论。关键词：排队 数学模型 最优方案一、排队系统的组成（一）输入过程：1.顾客总体可以有限或无限（如流入水库的水）。 2.顾客到达系统的方式可以逐个或成批。 3.顾客相继到来时间间隔可分为确定型（比如定期航班，定期的课程表等）和随机性（比如看病的病人，候车的旅客，进港口的船舶）。 4.顾客到达系统可以是独立的或相关的，输入过程可以是平稳、马氏、齐次等。（二）排队过程：1.排队规则可分为三种制式 损失制顾客到达系统时，如果系统中所有服务窗均被占用，则到达的 顾客随即离去，比如打电话时遇到占线，用户即搁置重打或离去另找地方或过些时候再打。 等待制顾客到达系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用，于是到达系统之顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的服务规则有先到先服务，后到先服务（比如仓库中同种物品堆垒后的出库过程），随机服务，优先服务（比如邮政中的快件与特快转递业务，重危病人的急诊，交通中让救火（护）车、警车及迎宾车队优先通过）等。 混合制它是损失制与等待制混合组成的排队系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其余顾客只好离去；或者顾客中有的见到排队队伍长而不愿费时等候，当队伍短时愿排队等候服务；也有排队等候的顾客当等候时间超过某个时间就离队而去均属这种系统。 2.排队队列可具体或抽象，系统容量可以有限或无限。 3.排队队列可以单列或多列。（三）服务窗 1.系统可以无窗口、一个窗口或多个窗口为顾客进行服务。 2.在多个服务窗情形，顾客排队可以平行多队排列，串列或并串同时存在的混合排队。 3.一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行服务。 4.各窗口的服务时间可为确定型（如交通路口红绿灯亮的时间，各单位固定的上下班时间）或随机型。服务时间往往假定是平稳的。 （四）排队系统的目标参量1.绝对通过能力，它为单位时间内被服务完顾客的均值。2.相对通过能力，它为单位时间内被服务完顾客数与请求服务顾客数之比值。3.系统排队均值，它即是系统内顾客数的均值。4.排队等候顾客的平均队列长度，它即是系统内排队等候顾客的均值。5.顾客在系统内逗留时间的均值；顾客排队等候服务的时间的均值；服务时间的均值为，显然有。6.服务窗连续繁忙的时间长度，即忙期。7.系统的损失概率，即系统满员概率。二、损失制排队模型（一）单服务窗模型1.单服务窗损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为（即仅有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且它们各自的参数为与的排队系统。比如只设一条外线的的电话交换台。2.因系统只有单个服务窗，故系统只能有两种可能状态：0（服务窗空闲着）及1（服务窗忙着），故由K氏微分方程，知t时刻系统处于空闲或忙着的概率或分别满足下列方程 ， ，及正则性 ，由初始条件，（表示开始时服务窗空闲着）可以解出 ，因系统仅有两个互通的状态，故必存在平稳状态，也即存在，事实上，由上式可得其中表示系统的负荷水平或强度。当系统中已有一个顾客时，新来的顾客只好离去，故就是系统的损失概率，它等于 ，单位时间内平均损失的顾客数和平均进入系统的顾客数各为 ， ；从而 ， 。（二）多服务窗模型1.多服务窗损失制排队模型是指系统内有个服务窗，顾客按泊松流到达系统，其强度为，倘若顾客到达系统时发现个服务窗均忙着，他即离开系统另求服务，又设各服务窗的服务时间服从负指数分布，强度为。如设有多条电话线路的电话交换系统，不许排队等候空位的街头停车场等均属此类排队类型。 2.对这类排队模型，其系统可能出现的状态必为中之一，这里0状态表示个服务窗均空闲着，系统内没有顾客到达；状态则表示系统内已有个顾客，且正在某个服务窗口前被服务着，而有个服务窗空闲着。当系统处于状态，即有某个服务窗正为个顾客服务，一旦其中一个顾客被服务毕离开系统时，系统便处于状态，由于个正被服务的顾客均有先被服务毕的可能（或个服务窗从忙到闲的可能性是均等的），故从状态转变到状态的转移强度为。于是，平衡条件下的K氏方程为：对0状态有，故有；对1状态有， 故有； 对k-1状态有 ， 故有； 对n-1状态有 ， 故有。利用正则性条件，可以得到的准确值，由此得到相应的值由此得到相应的目标参量1.损失概率 ；2.单位时间内平均损失的顾客数与平均进入系统的顾客数 ；3.系统的相对通过能力与绝对通过能力 ， ；4.系统在单位时间内占用服务窗的均值 平均值 = ，因为，故上式也等于。5.系统服务窗的效率；6.顾客在系统内平均逗留时间等于顾客被服务时间，即 。三、等待制排队模型（一）单服务窗模型1.单服务窗等待制排队模型是指系统内只有一个服务窗，顾客按参数为的泊松分布到达，如顾客到达系统时服务窗正忙着，则排队等候服务；且顾客到达的时间间隔与服务窗为每个顾客服务的时间均为负指数分布；平均服务率为。 2.此处状态表示系统内有个顾客，服务窗正忙着，且有个顾客等待排队则状态概率所满足的微分方程式为 ， ； ，于是，可以解出 ， ， ，平稳时系统内有个顾客的概率 再由正则性有 ，得 ，即是服务窗空闲的概率，并且恰好是服务窗忙着的概率。故相应的目标参量为1.系统内顾客的均值（包括正被服务和排队等候的顾客均值）。 ，2.顾客在系统内平均逗留时间 ；3.系统内排队等候的平均顾客数 ，其中为正被服务的顾客均值。因为正被服务的顾客数或为0（窗口空闲）或为1（窗口忙着），它们对应的概率为及。于是 ，从而 ；4.顾客平均排队等待时间为 。四、混合制排队模型 （一）单服务窗模型1.单服务窗混合制排队模型是指系统只有单个服务窗口，顾客到来的间隔时间服从负指数分布，参数为；服务时间是参数为的负指数分布；又设系统只有个排队容量。2.因系统内所有状态互通，且状态有限，故必存在平稳分布，则其氏代数方程为 对0状态有 ， 故； 对1状态有 ， 故； 对m-1状态有 ，故由正则性,可得的值从而 当时 当时，相应的目标参量为1.当系统中已有个顾客，新来的顾客不再排队而即离去另寻它处服务的概率 2. 3.因为所以4.单位时间内平均损失的顾客数为，而单位时间内平均到达系统的顾客数 (二)多服务窗模型1.多服务窗混合制排队模型是指系统内有个服务窗，顾客按泊松流到达系统，其到达强度为；又各窗口工作独立，服务时间均为负指数分布，服务强度为，并假定系统的容量为。2.在系统平衡条件下的氏代数方程为 对于0状态有 ； 对于1状态有 ； 对于状态有 ； 对于状态有 ； 对于m-1状态有 ； 于是，由正则性,得到的