小学数学中若干科学性问题的探讨_上_张奠宙.pdf

2011 01数学版 我是一名大学数学教师 对小 学数学教学知之甚少 近来读了一 些文章 从数学上看 有一些问题需 要澄清 借贵刊一角 谈谈我的看 法 供大家讨论 一 分数 的份数定义需要修 改 突出引进 新 数的意义 许多小学数学教材和教案 都 把分数定义为 把一个整体平均分 以后 表示其中一份或几份的数叫 做分数 这个定义含混不清 表示 一份或几份 的数 究竟是自然数 还是分数 分数是自然数的扩展 对学生 来说 是要认识一种 新 的数 任何 数 都是表示数量大小的 因此 我 建议分数定义中加 大小 两个字 即 将一个整体平均分之后 表示其 中一份或几份的 大小 的数 叫做 分数 这里的 大小 二字 非常重要 分数的价值在于能够表示不能整除 情形下平均分以后得到的那个结果 的大小 这就是说 a能整除b时 其商是整数 不能整除时 其商就是 新的数 我们叫它为分数 这样表 达 分数就体现为是新引进的一种 数 相关论述详见本刊2010年 第1期 二 估算的基础是精确计算 没 有精确度的估算是 胡算 小学不要过分强调估算 精确 计算是基础 估算只是辅助 正如楷 书是基础 在基础教育中不能强调 草书一样 从数学上看 估算必须有精确 度的标准 没有精确度的估算是胡 算 瞎算 明明正确答案是1000 我 估算为1 是不是胡算呢 因此只有 附加精确度的近似计算 才是真正 理解估算 小学的估算不可能正面谈近似 计算 也不宜提精确度 那么应该如 何处理呢 答案是 我们不可以笼统 地 一般地谈估算 只能学习几种具 体的估算方法 如四舍五入法 截尾 法 进位法等 具体的方法里已经有 精确度的要求 例如 323 424 用 截去百位以下尾数的估算法 答案 是700 这就明确了 此外 对一张上海南京路照片 上密密麻麻的人头数目进行估计 乃是 估数 这和前面 在算法上简 化 的估算不是一回事 现在混称 估算 不合理 至于问 100万粒 大米有多重 没有意义 人们要知 道其结果有什么用呢 重要的在于 把握构成百万的过程 而无需和具 体的事物相联系 三 统计是新内容 许多教材内 容不够科学 首先 关于数据的收集上有许 多不确切的表述 现在强调联系学生的日常生 活 教材要求学生做许多调查 收集 数据 这是好的 但是出现的问题也 不少 例如 统计班级同学睡眠时间 但学生并不知道自己每天的 准确睡眠时间 往往毛估估地随便 说 统计去年过年收到的贺卡数 学生根本没有记录 即使记录 了 数据也早忘了 只能胡编乱造数 据 而且统计贺卡多少有何意义 是 越多越好吗 某地绿化亩数增加 于是降 雨量增加 这样的数据之间是否存在着因 果关系 难以判明 电 视 机 销 量 A牌 20 B 牌 15 C牌 10 D牌 8 其 他 47 A牌最畅销 你同意吗 其 他呢 教材上说 上面的统计提供的 数据不清 无法全面反映有关彩电 市场每个品牌占有率的情况 这样 探讨 上 刊 稿 本 特 张奠宙 小学数学中 若干科学性问题的 6 2011 01数学版 断言 不够科学 题中的数据很清 楚 没有不清 只是不够 数据不完 全 是正常现象 由于 其他 部分的 数据不知道 固然不能给出全面的 结论 但是仍然有参考价值 就目前 的数据来分析 A牌电视机仍然是 畅销的 至于是否 最畅销 目前还 不能判断 因此 教材的断言和结 论 都不确切 其次是关于抽样和预测上存在 的问题 小学数学里 用数据进行预测 已经大量出现 但是依据的原理各 不相同 又没有明说 因此在科学 性方面缺失很多 我们可以作预 测 但是必须附带的是 可能是 也许是 很可能是 能够参考的 是 这样的语句 不可绝对化 以免 产生误导 本月第一 第二 第三周的 冰糕销量分别是8箱 7箱 9箱 本周进多少箱合适呢 你能帮他解 决吗 教材未给答案 其实 这是无法 回答的问题 如果用外推的方法 则 要基于回归方法 但是三个数据太 少了 不能形成回归直线 根据本班同学生日的月份统 计 估计新同学的出生月份 这也是不可以的 实际上 出生 月份一般是随机的 无法预知 就像 生了4个孩子都是女孩 如果因此 说第5个孩子是男孩的可能性大 是不对的 至于用上次数学平均分估计下 次 用过去投篮成绩估计今天的状 态 是借用回归 线性 的思想 总体 上逐步上升 或者逐渐下降 但是数 量变化未见得都是如此 例如我国 奥运金牌数 过去几届都是一年比 一年多 但是我们不能得出结论 伦 敦奥运会金牌数一定会多于北京奥 运的51块 蒜苗生长观察 预测第20天蒜苗的高度 试 问 这能预测吗 蒜苗生长是有限度 的 不可能无限地生长下去 这就是 说 预测是要有前提或假设的 四 大数的进率和数的读法 需 要顾及国际化 我国处理大数是四位一级制 这是中华民族的习惯 当然要学习 但是国际上通用的是三位一级制 我们的导向是和国际接轨 如千克 千米的使用 因此 不妨也 少量地 介绍一下国际上的三位一级制 这 对英文教学也是一个数学上的铺 垫 此外 在大数的读法上 也不能 强求汉语的唯一读法 例如2010 年 不必一定要读两千零一十年 直 接读数字反而是常用的 英文的读 法则是两位两位地读 twenty ten 总之 这些都是习惯上的不同 没有对错之分 在国际化的趋势下 小学数学应该主动适应为好 五 小数教学的本质在于 位置 计数法 的拓展 而不在 十分之几 的表述 日常生活中小数比分数有用 学生离开学校以后 如果只是简单 地在社会上从事工作和生活 几乎 可以不接触分数 却时时不能离开 小数 元 角 分的货币自不必说 老 式的 几尺几寸 几斤几两 仍在使 用 0 5千克 身高一米六三等现代 说法都离不开小数 至于分数 日常 生活里几乎碰不到 我曾经问过好多 位受过义务教育的普通工人 1 2 1 3 等于多少 多数人说 忘了 究其原 因 是因为日常生活中几乎不用 可 是让他们计算小数乘法 则基本都 会 小数有自己的概念系统 不能 也不必都依赖于分数的理解 小学 教育界的流行观点是 小数教学要 基于分数教学 否则是科学性错 误 未免耸人听闻 确实 小数乃是一种特殊的分 数 理论上先出分数 再叙述其特殊 情形 小数 从一般到特殊 在逻 辑上有一定道理 但是教学安排上 却未必都要从一般出发 事实上 我 们也可以从特殊推广到一般 正如 先有自然数 再逐步推广到分数 实 数一样 在实际教学中 小数因其具 体而容易学 分数则因抽象而难以 把握 因为小数有其独立的价值体 系 所以可以独立于分数教学而存 在 我见过俄罗斯的一种教材 就是 先学小数 完全独立于后学的分数 中国传统的珠算 只谈小数 不谈分 数 小数的本质在于 位置计数 法 的拓展 而不在 十分之几 的 表述 也就是说 小数是将个 十 百 千等不断扩大的位置计数方式 朝着另一个方向进行 不断缩小 的 计数方式加以延伸 即增加了十分 位 百分位等新位置的设置 使之成 为更完善的一种位置计数制度 小 数的教学 可以抓住这一总的线索 展开 不要什么都回到分数意义上 理解 六 什么是代数 只说字母代 表数是不够的 什么是方程 含有 未知数的等式叫方程 的定义要淡 化 代数学的西文名称是Algebra 是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的 一部著作的名称 原意是 还原与对 消的科学 什么叫做对消 大家知 道的有正负对消 就是解方程时所 谓的移项 还原 就是把本来淹没在 方程中的未知数x暴露出来 还原 x的本来面目 所以方程是和代数 紧密联系的 单单用字母代表数 还不是代 数 例如加法交换律写为a b b a 虽然也用字母代表数 却和代数思 想方法没有关系 用字母代表数 即 设某量为x这样的做法 只是运用 代数方法的第一步 代数思想方法 的核心是基于含有x的 式 的运算 来求得未知数 最后解决数学问题 天数3691215 高度 cm46101617 稿 本 刊 特 7 2011 01数学版 从数的运算到 式 的运算 是算术 与代数的根本区别 含有未知数的等式叫方程 大家都把它当做方程的定义 以为 非常准确 其实 这是一个不大好 也不重要的表述 把它过分地渲染 就会问 x 1是不是方程 0 x 0 x x 0 a b b a是不是方程 等这 样的怪问题 其实这句话只谈了方 程的表面 实在不重要 方程的本质 是为了求未知数 在已知数和未知 数之间建立的一种等式关系 这样 讲 就把 方程 说活了 这好比要结 识 朋友 就得通过别人介绍 借助 中介关系 如此而已 现在 既然方程的本意就是要 求未知数 如果x 1 未知数已经 求出来了 也就没有方程的问题 了 0 x 0 x x 0 a b b a等 虽然 有字母 但和求未知数的目标无 关 因而和方程知识没有关系 正 如西南师范大学的代数学家陈重 穆先生所说 需要 淡化形式 注重 实质 简单的方程及方程思想逐步 渗透在小学各个阶段中 对于没有 学过代数式的小学生来说 未知数 的引入是一个难点 需要用鲜明的 例题让学生产生认同感 只有让他 们思想上感到理性精神的震撼 才 会自觉地运用方程来解决问题 欣 赏方程思想所带来的理解上的便 捷 试问 方程法比算术法好 到底 好在哪里 有多好 让我们在以下 问题的两种解法的对比中寻找规 律 小明今年10岁 爸爸的年龄是 他的3倍多6岁 求爸爸的年龄 算术方法 爸爸年龄 3 10 6 这是从小明的年龄10出发 一 步步接近爸爸的年龄 得到答案 36 代数方法 设爸爸年龄为x 则 有方程 x 6 3 10 解之得 x 36 这是 从未知的爸爸年龄x出发 寻找和 已知的小明年龄的关系 根据关系 解出未知的x 通过对消方法 将未 知数还原出来 这一例子使我们看到用方程法 或算术法解题的思维路线往往是相 反的 打一个比方 如果将要求的答 案比喻为在河对岸的一块宝石 那 么算术方法好像摸石头过河 从我 们知道的岸边开始 一步一步摸索 着接近要求的目标 而代数方法却 不同 好像是将一根带钩的绳子甩 过河 钩住对岸的未知数 建立了一 种关系 然后利用这根绳子 关系 慢慢地拉过来 最终获得这块宝石 两者的思维方向相反 但是结果相 同 七 问题解决与应用题的教学 在新课程改革中 以前特别熟 悉的应用题不见了 取而代之的是 解决问题 这在逻辑上说不通 事实 上 数学问题分为两类 一类是纯数 学问题 像哥德巴赫猜想等 另一类 称为应用问题 是各行各业提出来 的数学问题 问题和应用题是严格 的包含关系 不能用问题取代应用 题 应 用 问 题 是 客 观 存 在 的 似 乎不必回避 我们反对的是过去 小学数学中那些 矫揉造作 的 远离现实的 使学生得不到什么 教育的应用题 新的应用题 其情 境更有真实性 方法上强调数学 模型的建立 条件可以冗余 数据 需要取舍 模型需要建立 结果需 要验证 应用题可以改进 却不宜 取消 数学应用题的本质是数学建 模 把一个用文字叙述的复杂情景 里的数量关系 用数学符号加以描 述 并通过式的运算 得出满足问题 条件的答案 这和高等数学中的数 学建模程序大体相同 因此 我们要 用数学建模的思想改造应用题教 学 而不是取消 长期以来 为了强调某种数量 关系的理解 我们常常强化某种类 型问题的解题方法 如行程问题 工 程问题等 弄得非常复杂 一直是小 学数学教学的难点 也一直为大家 所诟病 近年 则索性一刀砍掉 全 盘否定 不过 进行这样的分类是正常 现象 在微积分课程里要讨论瞬时 速度问题 切线问题 曲边梯形问 题 微分方程课程里有热传导方程 电磁波方程 中学数学也要研究抛 物问题 等周问题 投影问题 掷骰 子问题等 将一类情景中发生的问 题给以特殊的名称 未尝不可 但 是 作为一个研究领域来说 上述的 问题都只是一个名词 便于称呼而 已 并非一个数学领域 比如行程问 题 尽管题目花样翻新 也可以出得 很难 但总不过是s vt这样的数量 关系的各种不同的变式 宏观地看 没有单独设立一个数学课题的必 要 但是 也不能走向另一个极端 不讲类型 有的地方不准叫 应用 题 今天学 铅笔有几支 明天学 燕子飞走了 不做一些基本的分 类和概括 是作茧自缚 矫枉过正的 表现 实际上 应用题的分类并非主 观臆造出来的 而是为客观存在的 数量关系所决定的 尤其是国家实 行社会主义市场经济模式 让孩子 们了解一些经济学的初级术语和规 律 是小学数学课程的有机组成部 分 无论如何 以下的7种类型是 应该正面提出 让学生认真学习 的 行程问题 路程 速度 时间 工程问题 工作量 工作时间 工作效率 价格问题 总价 单价 数量 利息问题 利息 本金 利率 利润问题 利润 成本 利润率 折扣问题 金额 价格 折扣率 百分数问题 数量 总量 百分 比 刊 稿 本 特 8 2011 01数学版 其中涉及的利息 利润 速度 效率等概念 是生活需要的常识 又是语文 社会等其他学科不会详 细涉及的 它们并非数学问题 却是 小学数学应用题教学的任务 责无 旁贷 八 小学几何有哪些新增的内容 新课程在 图形与几何 的领域 多了一些新的内容 为什么要增加 几何学的内容很丰富 首先是直观 几何学 就是对平面图形 立体图形 的认识 其次是一些求面积 体积的 问题 属于度量几何 在新课标以 前 小学数学主要包括这两部分内 容 后来我们发现 大学数学的许 多问题 它的原始思想是非常简单 的 非常朴实而又非常重要的 于是 就增加了以下三个方面的内容 第 一是演绎几何 比如垂直 平行 线 段 射线这些名词都属于演绎几何 的范畴 第二是运动几何学的平移 旋转和对称 第三是引进了坐标 总 体来看 现在小学数学里的几何学 从过去的两块扩大到五块 扩大了 我们几何学的视野和感受 是十分 有意义的改革 小学数学当中 直观几何最根 本的或者最核心的内容就是用平面 来描述立体 因为我们每个人所处 的世界的事物都是立体的 但是留 在眼睛视网膜上的 画在教科书上 的都是平面的 因此 空间图形平面 化 通过平面图形想象空间物体是 直观几何的重要内容 新课标通过 照相机从 不同角度下拍摄照片 通过三视图科学描述简单对象 都 是如此 这里要强调一下运动几何内 容的诠释 小学里原来就有图形的 运动 例如 求平行四边形面积 要 通过三角形的运动拼成矩形 这就 是平移运动 面积是平移运动下的 不变量 那么为什么在知道了平移 和旋转之后 还要谈轴对称变换 呢 可以从数学上思考这三者原始 的价值 我们分几步考虑 1 从一 点到另一点的运动 只要知道方向 和距离 用平移就能实现 2 如果 是两条一样长的有向线段 如火柴 棒 先将一根火柴移动过去 使得火 柴头和火柴头重合 但是火柴尾不 一定重合 还得转一转才行 3 如 果是两个一模一样的三角形ABC 和A B C 如何看它们的运动过程 呢 首先 平移运动使得A和A 重 合 然后转动 使得AB和A B 重合 这时两个三角形可能已经重合了 但 也可能不重合 还需要反射一下才 行 如图 因此 我们在平面上通过 运动定义两个图形重合 需要平移 旋转 轴对称三种不同的变换 这三 种变换及其合成 称之为 刚体运 动 补充一句 有些教材或者材料 里面说镜面对称就是轴对称 我认 为不太妥当 因为轴对称都是在同 一个平面当中的两个图形 镜面对 称的两个图像不在一个平面内 所 以不是平面上的轴对称图形 虽然 二者有联系 但毕竟是不同的 我们 不能混为一谈 九 小学里渗透平面坐标思想要 源于定位 但高于定位 这是坐标几何学的内容 新的 数学课程标准 在小学里就引入了 平面直角坐标系 不过只有第一象 限 也只有整数坐标 那么小学数 学的学习为什么要渗透平