数学奥林匹克高中训练题.pdf

数学奥林匹克高中训练题 119 第 一 试 一 填空题 每小题7分 共56分 1 若实数a b c d满足a c b d 0 则S a a b b b c c c d d d a的取值范围 为 2 如图1 在 ABC的外部作 BDC 图1 AFB CEA 使 得 BDC AFB CEA 则 ABC和 DEF总 有 相 同 的 填重心 内心 外心或垂心 3 给定正实数a b 变量x y满足x y 0 x y a b 则函数 f x y a a 2 x 2 bb 2 y 2 的最小值为 图2 4 如图2 在单位 正四面体ABCD中 M N K分别在棱AB AD BD上 满足BM DN 1 3 DK 1 4 则面ACK与面CMN 所夹锐角的余弦值为 5 数列 xn 满足 0 x1 0 相切 证明 ABC 的外接圆必过某个定点 并求出定点的坐标 四 15分 数列 fn n 1 的通项 为fn n 3 k 0 C k n 2k an是 fn除以10以后的余 数 试问 an 是否为周期数列 如果是 请 求出 an 的最小正周期 如果不是 请说 明理由 第 二 试 图4 一 50分 求在图4所示的2 6的方 格中 圈 的个数 在这里 一条封闭的折线 叫做圈 如果这条折线的边均由方格的边组 成 且折线经过的 任意一个方格顶点 都只与折线的两条 边相连 04中 等 数 学 二 50分 如图5 在四边形ABCD中 对角线AC BD交于点O 过O作直线H1H2 图5 和H3H4 其 中 H1 H3在线段AD 上 H2 H4在线段 BC上 设 直 线 H1H4交 线段AB 的延长线于T 直 线H2H3交 线 段 CD的 延 长 线 于 S 证明 S O T三点共线 三 50分 n 是大于1的整数 正实数 ai i 1 2 n 满足 n i 1 ai 1 令an 1 a1 求证 1 n i 1 1 ai ai 1 n 1 2 n i 1 ai 1 ai 1 2 n i 1 ai 1 ai ai 1 n 1 n n i 1 ai 1 ai 四 50分 试求出所有的正整数组 m n p p 2 使得 pm n 1 m 2 n 2 参 考 答 案 第 一 试 1 2 5 2 因为a c 0 所以 f x x a c x a x c a c x ac x a c 在 0 ac 上是不减函数 故S 2 a a b c c b c c d a a d 2 b a c b a b c d a c d a d c 2 f b f d 2 又a c b 0 则 S 1 a a b b b c d c d d a d 1 a a b b b c n 即m n 1 考虑二次方程 x 2 pknx n 2 k 0 其中 m是方程 的一个根 设方程的另一根为y 由韦达定理有 m y pkn m y n 2 k 0 所以 y为正整数且y pkn m 下面证明 当n 2时 y n 事实上 n y m n pkn m n pn m 2 n 2 pm n 1 pm n 1 m n pn m 2 n 2 pm n 1 pm n 2 pn 3 m n pm n 1 又p 2 m n 1 则 pm n 2 pn 3 m n 2m n 2 2n 3 m n m 2n 2 1 2n 3 n n 1 2n 2 1 2n 3 n 2n n 1 1 3 0 所以 n y 0 yn0 1 是方程 的解 那么 m n n 0 pkn0 m0 也是方程 的解 而m0 n0 m n 因此 对方程 的 任意一个解 m n m n 1 用 n pkn m 来替换原来的 m n 式 仍然成立 只 要这里的n 1 这样的替换便可以继续下 去 而每经过一次这样的替换 n的值将会减 少 因此 经过有限步之后 必有n 1 下面讨论n 1时 方程 的解 i 若k 1 则方程 即为 m 2 pm 2 0 而m 1 故仅有解 m n p 2 1 3 此时 k 1 ii 若k 2 则有 m 2 1 2 pm 1 因为k m 2 1 pm 1 是正整数 所以 p 2 k p 2m2 p 2 pm 1 pm 1 p 2 1 pm 1 是正整数 故 pm 1 p 2 1 如果m p 1 则 p 2 1 pm 1 p 2 p 1 解得p 2 于是 p 2 m p 1 3 即 m n p 3 1 2 此时 k 2 如果m p 代入式 可得 m 2 1 2 m 2 1 即m 3 与m 2矛盾 因此 p只能取2 3 当p 2时 方程 的任意一个解 m n m n 1 经过有限次替换以后必将变为 3 1 反过来 对 3 1 作上述替换的逆变 换 m n 4m n m 将生成方程的全部 解 这些解可表示为 a i 1 ai i 1 2 在这里 数列 an 满足a1 1 a2 3以及递 推关系ai 1 4ai ai 1 同理 当p 3时 方程的全部解为 b i 1 bi i 1 2 在这里 数列 bn 满 足b1 1 b2 2以及递推关系 bi 1 3bi bi 1 当m n时 由对称性可知 方程的全部 解为 m n p a i ai 1 2 以及 b i bi 1 3 i 1 2 因此 全部解为 m n p a i 1 ai 2 ai ai 1 2 b i 1