江苏省南京市高三数学二轮复习 专题9 数列通项 求和 综合应用导学案.doc

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)班级 姓名 一、前测训练1(1)已知数列an中，a11，anan13n(nn且n2)，则an (2)已知数列an中，a11，an2nan1(nn且n2)，则an 答案：(1)an；（2）an22已知数列an中，a11，snn2an(nn*)，则an 答案：an3已知数列an中，a11， anan11 (nn且n2)，则an 答案：an32()n14已知数列an中，a11， an=2an-12n (nn且n2)，则an 答案：an(2n1)2n15已知数列an中，a11， an (nn且n2)，则an 答案：an6 (1) 已知数列an中，a12a2nann2(n1)，则an (2) 已知数列an中，a1a2ann2，则an 答案：(1) an2n；(2) an7 (1) 已知数列an中，anan12n，a11 (nn*)，则an (2) 已知数列an中，anan12n，a11 (nn*)，则an 答案：(1) an；(2) an8 已知数列an中，an1，若a1，则a2014的值为 答案：9(1)数列12，124，1248，1242n的前n项的和为 (2)数列an的前n项的和为 (3)数列an(2n1)3n的前n项的和为 (4)设f(x)，则f()f()f()f()的值为 (5)已知数列an(1)nn，则sn 答案：(1)2n2(4n)；(2)()；(3)(n1)3n13；(4)；(5) sn10(1)数列an通项公式为anan2n，若an满足a1a2a3a4a5，且anan1对n8恒成立，则实数a的取值范围为 (2)已知数列an()n2，bnann2，若数列bn是单调递减数列，则实数的取值范围为 答案：(1)(17，9)；（2）111求数列an4n2()n1(nn*)的最大项答案：最大项为a9二、方法联想1形如anan1f(n)(nn且n2)方法 叠加法，即当nn，n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1形如f(n)(nn且n2)方法 用叠乘法，即当nn*，n2时，ana1注意 n不满足上述形式，所以需检验2形如含an，sn的关系式方法 利用an，将递推关系转化为仅含有an的关系式(如果转化为an不能解决问题，则考虑转化为仅含有sn的关系式)注意 优先考虑n1时，a1s1的情况3形如anpan1q (nn且n2) 方法化为anp(an1)形式令bnan，即得bnpbn1，转化成bn为等比数列，从而求数列an的通项公式4形如anpan1f(n) (nn且n2) 方法两边同除pn，得=，令bn，得bnbn1，转化为利用叠加法求bn(若为常数，则bn为等差数列)，从而求数列an的通项公式5形如an (nn且n2) 方法两边取倒数得，令bn，得bnbn1，转化成bn为等差数列，从而求数列an的通项公式6形如a12a2nanf(n)或a1a2anf(n) 方法 (1)列出 (nn*且n2)，两式作差得an (nn*且n2)，而a1f(1)(2)列出 (nn*且n2)，两式作商得an (nn*且n2)，而注意 n是否满足上述形式须检验7形如anan1f(n)或anan1f(n)形式方法 (1)列出，两式作差得an2anf(n1)f(n)，即找到隔项间的关系(2)列出，两式作商得，即找到隔项间的关系8归纳猜想方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项9形如anbn的形式 方法 分组求和法形如或等形式方法 采用裂项相消法形如anbn形式(其中an为等差，bn为等比)方法 采用错位相减法首、尾对称的两项和为定值的形式方法 倒序相加法正负交替出现的数列形式方法 并项相加法10数列的单调性方法1 转化为函数的单调性，如利用图象分析注意 图象分析时，数列图象为离散的点方法2 利用an1an与0的关系(或与1的关系，其中an0)判断(或证明)数列的单调性11数列的最值方法1 利用an1an与0的关系(或与1的关系，其中an0)判断数列的单调性方法2 若第m项为数列的最大项，则 若第m项为数列的最小项，则三、例题分析第一层次学校例1 已知数列an，bn，ann16，bn(1)n|n15|，其中nn*(1)求满足an1|bn|的所有正整数n的集合；(2)n16，求数列中的最大项和最小项；(3)记数列anbn的前n项和为sn，求所有满足s2ms2n (mn)的有序整数对(m，n)答案：(1) n|n15，nn* (2)最大项为第18项，最小项为第17项2； (3)m7，n8教学建议(1)主要问题归类与方法：1求数列的最大项与最小项问题：方法 利用数列的单调性，即用比较法判断an1与an的大小方法 利用通项所对应的函数的单调性2数列中的解方程问题：方法：利用数列的通项公式、求和公式及递推关系转化为关于自然数n的一元或多元方程， 对于多元方程，若方程的个数不够，往往是根据数的整除性来求解的 (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题中通项所对应的函数是基本函数，单调性已知，便于处理，但要注意最值点必须是自变量取正整数；所以选择对于问题2，本题中第一小问，直接解一个含绝对值的方程，即可求得n的值；对于第三小问，既可以去求前n项和，再去解二元方程s2ns2m，但显然这样运算量大，而且前n项也不太好求，本题是将条件s2ns2m化归为去找相邻若干项(从某个奇数项到某个偶数项)的和为0例2 已知数列an的各项都为正数，且对任意nn*，都有aanan2k (k为常数).(1)若k(a2a1)2，求证:a1，a2，a3成等差数列；(2)若k=0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；(3)已知a1a，a2b (a，b为常数)，是否存在常数，使得anan2an1对任意nn*都成立?若存在.求出；若不存在，说明理由.答案：(1) 用定义证； (2)q1或q (3)存在常数使得anan2an1对任意nn*都成立 aanan2k，aan1an1k，n2，nn* aaanan2an1an1， 即aan1an1aanan2，an0， = anan2an1 a1a，a2b，aanan2k，a3， 存在常数使得anan2an1对任意nn*都成立教学建议(1)主要问题归类与方法：1证明一个数列是等差数列：方法定义法：an1and(常数)，nn*；等差中项法：2anan1an1，n2，nn*；2等比数列的子列构成一等差数列，求公比：方法利用等差(比)数列的通项公式，进行基本量的计算3存在性问题：方法假设存在，由特殊情况，求参数的值，再证明；转化为关于n的方程恒成立问题； (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题是研究3个数构成等差数列；所以选择对于问题3，学生一般会选择，对于存在性问题，常规的方法就是先从特殊性出发探究出参数和值，再进行证明，这样处理思路清晰，运算量小。所以选择方法例3 已知数列an满足n (nn*)，且a2=6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn (nn*，c为非零常数)，若数列bn是等差数列，记cn=，sn=c1c2cn，求sn.答案： (1) an=n(2n1)，nn* (2) sn=4 教学建议(1)主要问题归类与方法：1由递推关系求数列的通项：方法利用等差(比)数列求和公式；叠加(乘)法；构造等差(比)数列；猜想证明2已知数列是等差数列，求参数的值：方法选特殊化，求参数的值，再证明；转化为关于n的方程恒成立问题；3数列求和问题：方法等差(比)数列求和；分组求和；拆项相消；错位相减；倒序相加；并项求和法. (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为递推关系形如anan1f(n)(nn且n2)，所以选择叠加法对于问题2，学生一般会选择方法，因为选择方法，运算量比较小对于问题3，学生一般会选择，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，所以选择方法第二层次学校例1 已知数列an中，an1(nn*，ar，且a0)(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nn*，都有ana6成立，求a的取值范围答案 (1)数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)10a8.教学建议(1)主要问题归类与方法：1求数列的最大项与最小项问题：方法 利用数列的单调性，即用比较法判断an1与an的大小方法 利用通项所对应的函数的单调性方法 在等差数列中，可以通过解不等式组求最大项ak，解不等式组求最小项ak2数列中的不等式恒成立问题：方法：转化为求数列的最大项与最小项问题方法：分离常数后，再求最值 (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题中通项所对应的函数是基本函数，单调性已知，便于处理，但要注意最值点必须是自变量取正整数；所以选择本题第一小问选择也是比较简单的对于问题2，学生一般会选择方法，因为数列通项所对应的函数的单调性已知例2 一位幼儿园老师给班上k(k3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第n(n1，2，3，k)个小朋友.如果设分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.(1)当k3，a012时，分别求a1，a2，a3；(2)请用an1表示an；令bn(n1)an，求数列bn的通项公式；(3)是否存在正整数k(k3)和非负整数a0，使得数列an (nk)成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)a17，a26，a36 (2)an(an12)，bnn(n1)a0； (3)a00时，对于任意正整数k(k3)数列an (nk)成等差数列；教学建议(1)主要问题归类与方法：1由递推关系求数列的通项：方法利用等差(比)数列求和公式；叠加(乘)法；构造等差(比)数列；猜想证明2探究数列能否构成等差(比)数列问题：方法由必要条件(特殊情况)，求参数的值，再证明；考虑一般情形，转化为关于n的方程恒成立问题；(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题递推关系符合：bn1bnf(n)；所以选择对于问题2，学生一般会选择，由必要条件出发比较容易找出参数的值，并且为证明有也提供了思路。所以选择方法本题还有变式：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求a0的最小值.例3 已知数列an满足n (nn*)，且a2=6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn (nn*，c为非零常数)，若数列bn是等差数列，记cn=，sn=c1c2cn，求sn.答案:(1) an=n(2n1)，nn* (2) sn=4 教学建议(1)主要问题归类与方法：1由递推关系求数列的通项：方法利用等差(比)数列求和公式；叠加(乘)法；构造等差(比)数列；猜想证明2已知数列是等差数列，求参数的值：方法选特殊化，求参数的值，再证明；转化为关于n的方程恒成立问题；3数列求和问题：方法等差(比)数列求和；分组求和；拆项相消；错位相减；倒序相加；并项求和法. (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为递推关系形如anan1f(n)(nn且n2)，所以选择叠加法对于问题2，学生一般会选择方法，因为选择方法，运算量比较小对于问题3，学生一般会选择，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，所以选择方法第三层次学校例1：一位幼儿园老师给班上k(k3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第n(n1，2，3，k)个小朋友.如果设分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.(1)当k3，a012时，分别求a1，a2，a3；(2)请用an1表示an；令bn(n1)an，求数列bn的通项公式；(3)是否存在正整数k(k3)和非负整数a0，使得数列an (nk)成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)a17，a26，a36 (2)an(an12)，bnn(n1)a0； (3)a00时，对于任意正整数k(k3)数列an (nk)成等差数列；教学建议(1)主要问题归类与方法：1由递推关系求数列的通项：方法利用等差(比)数列求和公式；叠加(乘)法；构造等差(比)数列；猜想证明2探究数列能否构成等差(比)数列问题：方法由必要条件(特殊情况)，求参数的值，再证明；考虑一般情形，转化为关于n的方程恒成立问题；(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题递推关系符合：bn1bnf(n)；所以选择对于问题2，学生一般会选择，由必要条件出发比较容易找出参数的值，并且为证明有也提供了思路。所以选择方法本题还有变式：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求a0的最小值.例2：已知二次函数f(x)x2axa (xr)同时满足以下两个条件：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立设数列an的前n项和snf(n) (1)求函数f(x)的表达式； (2)求数列an的通项公式； (3)设bn()，cn (nn*)，数列cn的前n项和为tn，求证：tn 答案：（1）f(x)x24x4(2)an (3)tn，证明略教学建议(1)主要问题归类与方法：1求二次函数的解析式问题：方法 待定系数法，可设一般式，零点式与顶点式2求数列的通项问题：方法:利用数列的通项an与前n和sn的关系，在已知sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项3与数列有关不等式证明： 方法：将数列的项与和具体求出来后，再用证明不等式的方法(比较法、综合法，分析法，反证法等)处理； 方法：利用放缩法，先去掉一些项(或项中的一部分)后，再将数列的项或和具体求出后，再比较 (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择用待定系数法，但本题条件实际上是一个等式与一个不等式，从等式中可求出a的值，但有2个，不等式中可确定a的取值范围，从而确定a的值，本小题的难点在于对条件的转化，要求学生对二次函数的图象及性质有全面的认识对于问题2，学生一般会选择方法，因为数列的前n项已知，可由通项与前n项之间的关系来求对于问题3，学生一般会选择方法，因为本题