一轮复习定积分教案.doc

第三讲 定积分与微积分基本定理一基础知识梳理1.定积分的概念：1、定积分概念定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.注：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代 替；求和；取极限.2.定积分性质（1）；（2）（3）3.微积分基本定理 一般地，如果是在上有定义的连续函数，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7）5、定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.6、应用定积分求曲边梯形的面积（1）如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线围成的曲边梯形的面积（2） 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：； （3）如图，由曲线，及直线，围成图形的面积公式为：.注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.7、利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.二、典型例题题型一 定积分的定义将和式的极限表示成定积分（ B ） A B C D题型二、微积分基本定理求定积分1、计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）（4） （）（1）；（2）；（3） 2=（C）（）A21 B 22C 23 D 243. 赢在高考第51页例2题型三、用定积分求面积yxo122-1-1ABCD例1图1、如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍由得C（1，-1）同理得D（2，-1） 所求图形的面积S= 例2图A2、如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a0)交于O、A两点若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为，求直线l的方程解：设过原点的直线方程为y=kx，解方程组，得x1=0，x2=k+2a当k+2a0时，于是 (k+2a)3=27a3，解得k=a所以，直线l的方程为y=ax当k+2a0当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为2设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a0)，其中温度的单位是，时间的单位是小时，t=0表示1200，t取正值表示1200以后若测得该物体在800的温度为8，1200的温度为60，1300的温度为58，且已知该物体的温度在800和1600有相同的变化率（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在1000到1400这段时间中（包括1000和1400），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数在上函数值的平均值为，求该物体在800到1600这段时间内的平均温度解：（1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，则d=60，b=0，a=1，c= -3，因此，温度函数T(t)= t3-3t+60（2），当时，；当时，因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即t= -1是极大值点由于T（-1）=T（2）=62，所以