湖北省武汉市高三数学二月调考试卷 理（含解析）.doc

湖北省武汉市2015届高三二月调考数 学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数的共轭复数是（）a1ib1+ic1+id1i2（5分）已知集合a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ay|0yby|0y1cy|y1d3（5分）若函数f（x）=在2，+）上有意义，则实数a的取值范围为（）aa=1ba1ca1da04（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd5（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）abcd6（5分）dx=（）a2（1）b+1c1d27（5分）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）a若，则b若mn，m，n，则c若mn，ma，则nd若mn，m，n，则8（5分）已知点p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则=（）abcd9（5分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角c=（）abcd或10（5分）已知点p为曲线xyx2y+3=0上任意一点，o为坐标原点，则|op|的最小值为（）abcd二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）11（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为12（5分）（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为13（5分）已知向量=（2，7），=（2，4），若存在实数，使得（），则实数为14（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）（选修4-1：几何证明选讲）15（5分）已知ab是o的弦，p是ab上一点，ab=6，pa=4，op=3，则o的半径r=（选修4-4：坐标系与参数方程）16在极坐标系中，点p（2，）到直线l：sin（）=1的距离是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数f（x）=2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（）解不等式f（x）018（12分）已知an是由正数组成的数列，其前n项和sn与an之间满足：an+=（n1且nn*）（）求数列an的通项an；（）设bn=（）nan，求数列bn的前n项和tn19（12分）在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形且边长为a，侧棱aa1=2a，点a在下底面的射影是a1b1c1的中心o（）求证：aa1b1c1；（）求二面角b1aa1c1所成角的余弦值20（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nn，n5）之间满足关系式：y=（）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0.01）21（13分）如图，f1，f2是椭圆c：+=1的左右两个焦点，|f1f2|=4，长轴长为6，又a，b分别是椭圆c上位于x轴上方的两点，且满足=2（）求椭圆c的方程；（）求直线af1的方程；（）求四边形abf2f1的面积22（14分）已知e=2.71828是自然对数的底数（）求函数f（x）=ln（x+1）x+在0，+）上的最小值；（）求证ln2；（）求证ln2+ln3+ln4+ln（n+1）（n1，nn）湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数的共轭复数是（）a1ib1+ic1+id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数=1+i的共轭复数为1i，故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2（5分）已知集合a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ay|0yby|0y1cy|y1d考点：交集及其运算 专题：计算题分析：首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合a和b，然后再求两个集合的交集即可解答：解：集合a=y|y=log2x，x1，a=（0，+）b=y|y=（）x，x1，b=（0，）ab=（0，）故选a点评：本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域3（5分）若函数f（x）=在2，+）上有意义，则实数a的取值范围为（）aa=1ba1ca1da0考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数成立的条件，解参数即可解答：解：函数f（x）=在2，+）上有意义，ax20在2，+）上恒成立，即a在2，+）恒成立，01，a1，故选：c点评：本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的定义域是解决本题的关键4（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体，结合数据求出该几何体的体积解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为v几何体=122=故选：b点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目5（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）abcd考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有有2件次品，7件正品；则第二次抽到正品的概率为p=故选：b点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制6（5分）dx=（）a2（1）b+1c1d2考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：=cosxsinx，dx=（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）|=+01=1故选：c点评：本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题7（5分）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）a若，则b若mn，m，n，则c若mn，ma，则nd若mn，m，n，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断解答：解：a不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；b不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；c不正确，由线面平行的性质定理知可能n；d正确，由mn，ma得n，因n，得故选d点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感8（5分）已知点p是双曲线y2=1上任意一点，过点p分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为a、b，则=（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（m，n），则n2=1，即m24n2=4，求出渐近线方程，求得交点a，b，再求向量pa，pb的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到解答：解：设p（m，n），则n2=1，即m24n2=4，由双曲线y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点a（，）；由解得交点b（，）=（，），=（，），则有=+=+=（m24n2）=4=故选a点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题9（5分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角c=（）abcd或考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosc，把已知等式变形后代入计算求出cosc的值，即可确定出c的度数解答：解：在abc中，b2+a2=c2+ab，即b2+a2c2=ab，cosc=，则c=，故选：b点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10（5分）已知点p为曲线xyx2y+3=0上任意一点，o为坐标原点，则|op|的最小值为（）abcd考点：两点间的距离公式；函数的最值及其几何意义 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论解答：解：设p（x，y），则|op|=，当且仅当，即取等号，故|op|的最小值是，故选：a点评：本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）11（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a31，退出循环，输出a的值为32解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a31，a=2不满足条件a31，a=4不满足条件a31，a=8不满足条件a31，a=16不满足条件a31，a=32满足条件a31，退出循环，输出a的值为32故答案为：32点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查12（5分）（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为75考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：把（1x）10 按照二项式定理展开，可得（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数解答：解：（1+x）（1x）10=（1+x）（1x+x2x3+x10），故（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为+=75，故答案为：75点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13（5分）已知向量=（2，7），=（2，4），若存在实数，使得（），则实数为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由垂直关系可得（）=0，由坐标运算可得的方程，解方程可得解答：解：向量=（2，7），=（2，4），=（2+2，7+4），存在实数，使得（），（）=2（2+2）4（7+4）=0，解得=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题14（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（，考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）若a=0，则目标函数为z=x，即x=z，此时满足目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，若a0，则由z=（a1）x+ay得，y=x，若a0，此时目标函数的斜率k=0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点a（1，0）时，直线截距最小，z最大，若a0，要使目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k=1，即a，此时满足0a，综上a，故实数a的取值范围是（，故答案为：（，点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键注意要进行分类讨论（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）（选修4-1：几何证明选讲）15（5分）已知ab是o的弦，p是ab上一点，ab=6，pa=4，op=3，则o的半径r=5考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：过点o作ocab，交ab于点c，连结oa，由垂径定理和勾股定理求出ocab，pc=paac=，oc=，由此能求出o的半径r解答：解：过点o作ocab，交ab于点c，连结oa，ab是o的弦，p是ab上一点，ab=6，pa=4，op=3，ocab，pc=paac=4=，oc=，r=oa=5故答案为：5点评：本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的合理运用（选修4-4：坐标系与参数方程）16在极坐标系中，点p（2，）到直线l：sin（）=1的距离是3考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：点p（2，）化为p，即p直线l：sin（）=1化为：=1，xy+2=0点p（2，）到直线l：sin（）=1的距离=3故答案为：3点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数f（x）=2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（）解不等式f（x）0考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由已知可得2sincos（）+asin=，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+，由周期公式即可求最小正周期t（2）由f（x）0，知：sin2x，由正弦函数的图象解得2k2x2k+（kz），即可得f（x）0的解集解答：解：（1）函数f（x）=2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，），则有：2sincos（）+asin=，故解得：a=1，f（x）=2sinxcos（x）+sin（2x+），=2sinx（cosxcos+sinxsin）+sin2xcos+cos2xsin，=2sin2xcos+（2sin2x+cos2x）sin，=sin2x+sin，=sin2x+，最小正周期t=6分（2）由f（x）0，知：sin2x，2k2x2k+（kz），f（x）0的解集为：k，k+（kz）12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查18（12分）已知an是由正数组成的数列，其前n项和sn与an之间满足：an+=（n1且nn*）（）求数列an的通项an；（）设bn=（）nan，求数列bn的前n项和tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（i）由an+=（n1且nn*），两边平方化为当n2时，an=snsn1可得anan1=1，利用等差数列的通项公式即可得出（ii）bn=an=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（i）an+=（n1且nn*），两边平方化为，a10，解得a1=1当n2时，an=snsn1=，化为（an+an1）（anan11）=0，an+an10，anan1=1，数列an为等差数列，an=1+（n1）1=n（ii）bn=an=，数列bn的前n项和tn=+，=+，=+，tn=1+=点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形且边长为a，侧棱aa1=2a，点a在下底面的射影是a1b1c1的中心o（）求证：aa1b1c1；（）求二面角b1aa1c1所成角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知得b1c1a1o，aob1c1，由此能证明b1c1面a1ao，从而得到b1c1aa1（）过b1作b1daa1，交aa1于d，连结dc1，由已知得b1dc1是二面角b1aa1c1的平面角，由此能求出二面角b1aa1c1所成角的余弦值解答：（）证明：a在底面a1b1c1上射影是下底面正a1b1c1的中心o，b1c1a1o，又ao平面a1b1c1，aob1c1，b1c1和两相交直线ao，a1o均垂直，b1c1面a1ao，又aa1面a1ao，b1c1aa1（）解：过b1作b1daa1，交aa1于d，连结dc1，aa1b1c1，aa1db1，aa1面db1c1，aa1dc1，b1dc1是二面角b1aa1c1的平面角，又a在底面a1b1c1上的投影是a1b1c1的中心，aa1=ab1=2a，在aa1b1中，由aa1=ab1=2a，由面积法知：=，同理dc1=，在c1db1中，由余弦定理得cosb1dc1=，二面角b1aa1c1所成角的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养20（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nn，n5）之间满足关系式：y=（）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0.01）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（）利用相互独立事件的概率公式，求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）利用每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nn，n5）之间满足关系式：y=，结合相互独立事件的概率公式，求这个车间一天内可能获取利润的均值解答：解：（）一天中每台机器发生故障的概率为0.1，某一天中有两台机器发生故障的概率为=0.0729；（）每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nn，n5）之间满足关系式：y=又p0=0.95，p1=0.50.94，这个车间一天内可能获取利润的均值p012+p19+p26+（p3+p4+p5）（6）=p012+p19+p26+（1p0p1p2）（6）=18p0+15p1+12p2610.42万元点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查相互独立事件的概率公式，正确运用相互独立事件的概率公式，是关键21（13分）如图，f1，f2是椭圆c：+=1的左右两个焦点，|f1f2|=4，长轴长为6，又a，b分别是椭圆c上位于x轴上方的两点，且满足=2（）求椭圆c的方程；（）求直线af1的方程；（）求四边形abf2f1的面积考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对于（），由焦距得c的值，由长轴长得a2的值，结合b2=a2c2，即可得椭圆c的方程对于（），延长ab，与x轴交于点m，由bf2为maf1的中位线，得m的坐标，由此设直线ab的方程，联立椭圆+=1，消去x，得到关于y的一元二次方程，由韦达定理，得y1+y2及y1y2，又由=2，得y1与y2的关系式，于是得y1，y2，m的值，继而求得x1的值，可得af1的斜率，即可得直线af1的方程对于（），易知四边形abf2f1为梯形由（）得x2的值，从而得到|af1|及|bf2|，再计算点m到直线af1的距离，即可根据梯形的面积公式计算出梯形abf2f1的面积解答：解：（）设f1（c，0），f2（c，0），由题意，得，即，从而b2=a2c2=5，所以椭圆c的方程为（）由（）知，f1（2，0），f2（2，0）设a（x1，y1），b（x2，y2），延长ab，与x轴交于点m，由=2知，bf2为maf1的中位线，|mf2|=|f1f2|，得m（6，0），如右图所示设直线ab的方程为x=my+6，联立，消去x，整理，得（9+5m2）y2+60my+135=0，由韦达定理，得又由=2，得（2x1，y1）=2（2x2，y2），y1=2y2联立、，得，从而，于是af1的斜率，直线af1的方程为（）易知四边形abf2f1为梯形由（）知，从而|af1|=，|bf2|=又点f2（2，0）