高中数学 第一章立体几何初步 1.4.2 等角定理与异面直线所成的角课件 北师大版必修2.ppt

第2课时等角定理与异面直线所成的角 1 等角定理空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 做一做1空间两个角 的两边分别对应平行且方向相同 若 50 则 等于 a 50 b 130 c 40 d 50 或130 解析 由等角定理知 与 相等 答案 a 2 异面直线所成的角 如图所示 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的锐角 或直角 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是直角 我们称这两条直线互相垂直 记作 a b 做一做2如图所示 在四面体abcd中 e f g分别为bc ad db的中点 若ab与cd所成的角为60 则 fge 解析 因为e f g分别为bc ad db的中点 所以fg ab eg dc 所以 fge 60 或120 答案 60 或120 3 空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 则这两个角相等 2 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 且有一组对边方向相同 另一组对边方向相反 则这两个角互补 3 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 则这两个角相等 4 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反 则这两个角互补 5 两条异面直线所成角的范围为 0 90 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 一题多解 探究一等角定理的应用 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m m1分别是棱ad和a1d1的中点 求证 1 四边形bb1m1m为平行四边形 2 bmc b1m1c1 探究一 探究二 一题多解 分析 本题是在正方体中研究问题 1 欲证四边形bb1m1m是平行四边形 可证其一组对边平行且相等 2 可结合 1 利用定理证明或利用三角形全等证明 探究一 探究二 一题多解 证明 1 在正方形add1a1中 m m1分别为ad a1d1的中点 mm1 aa1 mm1 aa1 又aa1 bb1 aa1 bb1 mm1 bb1 且mm1 bb1 四边形bb1m1m为平行四边形 2 方法一 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 由平面几何知识可知 bmc和 b1m1c1都是锐角 bmc b1m1c1 方法二 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 又b1c1 bc bcm b1c1m1 bmc b1m1c1 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 变式训练1在三棱柱abc a1b1c1中 m n p分别为边a1c1 ac和ab的中点 求证 pna1 bcm 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 探究二求两条异面直线所成的角决 例2 如图所示 已知正方体abcd a b c d 1 哪些棱所在的直线与直线bc 是异面直线 2 求异面直线ad 与b c bc 与cd 所成角的大小以及a c与ab所成角的正切值 分析 1 按照异面直线的定义进行判断 2 根据异面直线所成角的定义进行求解 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 变式训练2如图所示 已知三棱锥a bcd ad bc e f分别是ab cd的中点 且ef ad 求异面直线ad和bc所成角的大小 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 典例如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成角的大小 分析 要求异面直线所成角的大小 关键是作出异面直线所成的角 然后把它归结到三角形中 再解三角形就可以得出答案 同时在解题中要注意异面直线所成角的范围 探究一 探究二 一题多解 解法1 直接平移法 如图所示 连接a1c1 b1d1交于点o 取dd1的中点g 连接ga1 gc1 og 则og b1d ef a1c1 goa1或其补角就是异面直线db1与ef所成的角 ga1 gc1 o为a1c1的中点 go a1c1 异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 探究一 探究二 一题多解 解法4 补形法 如图所示 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 连接b1q dq 则b1q ef 于是 db1q或其补角就是异面直线db1与ef所成的角 通过计算 不难得到b1d2 b1q2 dq2 故异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 一题多解 12345 1 若 aob a o b oa o a 且oa与o a 的方向相同 则ob与o b a 一定平行且方向相同b 一定平行且方向相反c 一定不平行d 不一定平行解析 由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平行 则ob与o b 不一定平行 答案 d 12345 2 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线 则它与另一条 a 相交b 异面c 相交或异面d 平行 解析 在如图所示的长方体abcd a1b1c1d1中 直线aa1与直线b1c1是异面直线 与b1c1平行的直线有a1d1 ad bc 显然直线aa1与a1d1相交 与bc异面 答案 c 12345 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f m分别为a1b1 b1c1 bb1的中点 下列说法中错误的是 a ba1c1 mefb a1bc1 emfc b1em ea1bd efm a1c1f解析 由等角定理 可知a b c均正确 答案