高优指导高考数学一轮复习 第十三章 选修4系列 13.1 几何证明选讲课件 文 北师大版选修41.ppt

第十三章选修4系列 13 1选修4 1几何证明选讲 3 考纲要求 1 理解相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 2 会证明和应用以下定理 1 直角三角形射影定理 2 圆周角定理 3 圆的切线判定定理与性质定理 4 相交弦定理 5 圆内接四边形的性质定理与判定定理 6 切割线定理 4 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 2 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 5 2 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比和对应周长的比都等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 6 3 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 如图 在rt abc中 cd是斜边上的高 则有cd2 ad bd ac2 ad ab bc2 bd ab 7 4 圆周角定理与圆心角定理 1 圆周角定理及其推论 定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 5 弦切角的性质弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 8 6 圆的切线的性质及判定定理 1 定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 推论 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 9 7 与圆有关的比例线段 10 11 8 圆内接四边形的性质与判定定理 1 圆内接四边形的性质定理 定理1 圆内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 圆内接四边形的判定定理及推论 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 12 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 有一个角等于100度的两个等腰三角形相似 2 有一个角相等的平行四边形相似 3 圆内接四边形的对角和是180 反之 如果一个四边形的对角和是180 那么四点共圆 4 在一个圆内 平分弦的直径一定垂直于这条弦 5 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么它们所对应的圆心角也相等 13 1 2 3 4 5 2 2015天津 文6 如图 在圆o中 m n是弦ab的三等分点 弦cd ce分别经过点m n 若cm 2 md 4 cn 3 则线段ne的长为 答案 解析 14 1 2 3 4 5 3 如图 ad be是 abc的两条高 abc 60 则 ced 答案 解析 15 1 2 3 4 5 4 如图 pa是圆的切线 a为切点 pbc是圆的割线 且bc 3pb 则 答案 解析 16 1 2 3 4 5 5 如图 ab为圆o的直径 e为ab延长线上一点 过e作圆o的切线 切点为c 过a作直线ec的垂线 垂足为d 若ab 4 ce 2 则ad 答案 解析 17 1 2 3 4 5 自测点评1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角与对应边 2 弦切角是很重要的与圆相交的角 其主要功能是协调与圆相关的各种角 如圆心角 圆周角等 是连接圆与全等三角形 三角形相似及圆知识的桥梁 18 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点1平行线分线段成比例定理的应用例1如图 ad平分 bac de ac ef bc ab 15cm af 4cm 求be和de的长 答案 19 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 如何利用平行线分线段成比例定理进行计算或证明 解题心得 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 解决此类问题往往需要作辅助的平行线 要结合条件构造平行线组 再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题 20 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练1如图 在 abc中 de bc df ac ae ac 3 5 de 6 求bf的长 答案 21 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点2相似三角形的判定及性质例2 2015石家庄二中一模 如图 o的半径为6 线段ab与 o相交于点c d ac 4 bod a ob与 o相交于点e 1 求bd的长 2 当ce od时 求证 ao ad 答案 22 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 判定三角形相似的基本思路是什么 利用相似三角形的性质能解决哪些问题 解题心得 1 证明相似三角形的一般思路 1 先找两对内角对应相等 2 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 3 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 可间接证明线段相等 23 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练2如图 ab与cd相交于点e 过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p 已知 a c pd 2da 2 求pe的长 答案 24 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点3直角三角形的射影定理及其应用例3如图 ad be是 abc的两条高 df ab 垂足为f 直线fd交be于点g 交ac的延长线于点h 求证 df2 gf hf 答案 25 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 应用直角三角形的射影定理应注意什么 解题心得 应用直角三角形的射影定理应注意以下几点 1 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 2 要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 3 注意射影定理与勾股定理的结合应用 26 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练3如图 ab是 o的直径 ac是 o的切线 bc交 o于点e 1 若d为ac的中点 证明 de是 o的切线 2 若oa ce 求 acb的大小 答案 27 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点4圆周角 弦切角及圆的切线问题例4如图 ep交圆于e c两点 pd切圆于d g为ce上一点 且pg pd 连接dg并延长交圆于点a 作弦ab垂直ep 垂足为f 1 求证 ab为圆的直径 2 若ac bd 求证 ab ed 28 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 证明 1 因为pd pg 所以 pdg pgd 由于pd为切线 故 pda dba 又由于 pgd ega 故 dba ega 所以 dba bad ega bad 从而 bda pfa 由于af ep 所以 pfa 90 于是 bda 90 故ab是直径 29 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 2 连接bc dc 由于ab是直径 故 bda acb 90 在rt bda与rt acb中 ab ba ac bd 从而rt bda rt acb 于是 dab cba 又因为 dcb dab 所以 dcb cba 故dc ab 由于ab ep 所以dc ep dce为直角 于是ed为直径 由 1 得ed ab 30 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 解决与圆周角 弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是什么 解题心得 1 解决与圆周角 弦切角及圆的切线有关的问题常用的数学思想是转化的思想 常有以下相关转化 1 圆周角与圆周角之间的转化 2 圆周角与圆心角之间的转化 3 弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 4 圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化 5 圆周角与弦切角之间的转化 2 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 从而可求线段或角的大小 31 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练4 2015河北衡水中学二模 如图 圆o的直径ab 8 圆周上过点c的切线与ba的延长线交于点e 过点b作ac的平行线交ec的延长线于点p 1 求证 bc2 ac bp 2 若ec 2 求pb的长 32 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 33 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点5圆内接四边形的判定及性质例5 2015河北唐山一模 如图 圆周角 bac的平分线与圆交于点d 过点d的切线与弦ac的延长线交于点e ad交bc于点f 1 求证 bc de 2 若d e c f四点共圆 且 求 bac 答案 34 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 证明四点共圆的常用方法有哪些 解题心得 1 证明四点共圆的常用方法有 1 证四点与一定点距离相等 2 证四边形的一组对角互补 3 证四边形的一个外角等于它的内对角 4 当四点在一条线段同侧时 证它们对此线段张角相等 当两点在一条线段异侧时 证明它们对线段的张角互补 2 圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理 35 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练5如图 四边形abcd是 o的内接四边形 ab的延长线与dc的延长线交于点e 且cb ce 1 证明 d e 2 设ad不是 o的直径 ad的中点为m 且mb mc 证明 ade为等边三角形 答案 36 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 考点6与圆有关的比例线段例6 2014课标全国 理22 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 答案 37 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 思考 解决与圆有关的比例线段问题的一般思路是什么 解题心得 解决与圆有关的比例线段问题的一般思路是 1 利用圆周角或弦切角证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 2 利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 3 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 38 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 对点训练6 2015河北保定一模 如图 已知 o1与 o2相交于a b两点 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1 o2于点d e de与ac相交于点p 1 求证 ad ec 2 若ad是 o2的切线 且pa 6 pc 2 bd 9 求ad的长 答案 39 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 1 借助图形判断三角形相似的方法 1 有平行线的可围绕平行线找相似 2 有公共角或相等角的可围绕角做文章 再找其他相等的角或对应边成比例 3 有公共边的可将图形旋转 观察其特征 找出相等的角或成比例的对应边 2 与圆有关的辅助线的五种作法 1 有弦 作弦心距 2 有直径 作直径所对的圆周角 3 有切点 作过切点的半径 4 两圆相交 作公共弦 5 两圆相切 作公切线 40 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 3 证明四点共圆的常用方法要根据题干中的条件及图形灵活选择 当证明四点共圆以后 圆的各种性质都可以直接应用 41 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点6 1 在使用平行线截割定理时易