理论物理综合第一章拉格朗日方程与哈密顿方程ppt课件.ppt

理论物理导论 讲授 吕航办公室 实验楼B205 电话 E mail 2013 2014学年度第一学期 1 普通物理 理论物理 四大力学 大学物理 力学 主要指牛顿力学 热学 电磁学 光学 原子物理学 理论力学 核心是分析力学 量子力学 电动力学 热力学与统计物理 感性认识建立在实验的基础上 理性认识形成系统的理论 知识结构 2 态度端正 不要有任何思想包袱掌握正确的学习方法除了教材以外 应准备1 2本相关的参考书数学基础知识的预备不要旷课 提前预习 按时交作业 怎样学好理论物理导论 3 参考书1 理论物理导论李卫刘义荣2 理论物理导论程建春3 量子力学I曾谨言4 统计物理学导论王竹溪5 统计热力学梁希侠 班士良 4 平时成绩 30 包括考勤 累计5次旷课则平时成绩以零分处置 课堂听课情况 作业完成情况 课堂测验成绩期末考试成绩 70 考核 5 现代力学 力学 牛顿力学 牛顿三大定律 万有引力定律 量子力学 微观 相对论力学 高速 分析力学 拉格朗日力学 哈密顿力学 力学的发展 经典力学 低速 宏观 历史发展的先后研究方法的不同 6 二 适用范围低速 宏观物体的运动 这里 l指物体的特征尺度 a指原子的尺度 牛顿力学回顾一 研究对象及研究方法物体的机械运动 物质世界最低级 最基本的运动形态 即物体的空间位置随时间变化的规律 拉格朗日在 分析力学 序中宣称 在这本书中找不到一张图 我所叙述的方法既不需要作图 也不需要任何几何的或力学的推理 只需要统一而有规则的代数 分析 运算 分析力学学科的特点 7 法国数学家 物理学家分析力学的创立者 在其名著 分析力学 中 把数学分析应用于质点和刚体力学 提出了运用于静力学和动力学的普遍方程 引进广义坐标的概念 建立了拉格朗日方程 把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式 改变为以能量为基本概念的分析力学形式 奠定了分析力学的基础 为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路 约瑟夫 拉格朗日 JosephLouisLagrange 1736 1813 8 爱尔兰人他的研究工作涉及不少领域 成果最大的是光学 力学和四元数 他研究的光学是几何光学 具有数学性质 力学则是列出动力学方程及求解 因此哈密顿主要是数学家 但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献 哈密顿量是现代物理最重要的量 当我们得到哈密顿量 就意味着得到了全部 哈密顿 Hamilton WilliamRowan 1805 1865 9 第一章拉格朗日方程和哈密顿方程 1 1自由度约束与广义坐标 自由度 为单值地确定一个系统的位置所必需给定的独立变量的数目 质点 为了确定一个质点在空间的位置 常需要三个坐标x y z a 假如质点是完全自由的 即x y z彼此独立 则称该质点有3个自由度 b 假如质点被限制在xy平面上运动 此时有z 0 它就是限制质点自由运动的条件 称为 约束 z 0称为约束方程 此时 这个质点只剩下两个坐标可以任意取值 则称该质点有2个自由度 10 c 把质点的运动平面扩展到空间中的任意平面 改制点的平面运动方程Ax By Cz D 0 该方程称为约束方程 独立地确定x y 就可以确定z 则称该质点有2个自由度 d 依此类推 假如限制质点只在一条直线上运动 则约束方程为两个 可供独立选择的坐标变量是一个 则称质点有1个自由度 e 假设有N个质点组成的一个系统 系统的质点自由运动时 自由度数为3N 若有k个约束方程 则自由度数为3N k 11 广义坐标 广义速度 假设一个系统有s个自由度 那么确定该系统位置 需要用到s个变量 把这s个变量用q1 q2 q3 qs来表示 称为该系统的s个广义坐标 广义坐标对时间t的微商 dq dt 记为 称为广义速度 导数 12 拉格朗日函数 它是由系统的动能和势能定义的函数 L T U 把牛顿运动方程写成关于动能和势能的形式 N个质点的牛顿运动方程写为 质点系的动能表示为 1 2拉格朗日方程 分力 13 分力为保守力 保守力系中 势能与力的关系 势能梯度的负值为力 势能下降最快的方向为力的方向 可表示为 得到 14 同理可得到 15 16 拉格朗日方程 用广义坐标表示的拉格朗日方程 j 1 2 s 拉氏方程的特点 是一个二阶微分方程组 方程个数与体系的自由度相同 形式简洁 结构紧凑 而且无论选取什么参数作广义坐标 方程形式不变 方程中不出现约束条件 因而在建立体系的方程时 只需分析已知的主动力 体系越复杂 约束条件越多 自由度越少 方程个数也越少 问题也就越简单 3 17 1 4哈密度函数哈密顿方程 哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量描述体系的运动 导出了三种不同形式的方程 哈密顿正则方程 哈密顿原理和哈密顿 雅可比方程 称为经典力学的哈密顿理论 哈密顿理论和拉格朗日理论 牛顿理论是等价的 广义动量 18 U与速度无关 19 勒让德变换 变换形式 令 微分 独立变量 20 勒让德变换公式 只换一个变量时 独立变量 21 对拉格朗日函数进行勒让德变换得到哈密顿函数 哈密顿函数和哈密顿方程 22 广义动量 对上式两边求微分 左边 右边 23 由拉格朗日方程 24 哈密顿正则 运动 方程是哈密顿函数的微分形式 25 1 5哈密度函数的物理意义 对于一个保守系 并且L不显含t时 哈密顿函数的物理意义 通过化简 H U T E 总能量 哈密顿函数正好为系统的势能和动能的总和 即为系统的总能量 26 27 欧勒定理 28 29 证明 30 通过变分 可以把微分方程变为最理想最简单的形式 即哈密顿正则方程 哈密顿用这个方程提供了一个普遍原理 对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论都提供了桥梁 人们发现 能量观点和拉格朗日方程 哈密顿原理及正则方程 完全适用