解析版：浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）.doc

2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a，bR，则“|a|b|成立”是“a2b2成立”的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件2已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（） A m，nmn B m，nmn C m，n，mn D n，n3设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x1）|+g（x1），则下列结论中正确的是（） A h（x）关于（1，0）对称 B h（x）关于（1，0）对称 C h（x）关于x=1对称 D h（x）关于x=1对称4已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（） A 2 B 4 C 6 D 125已知，则的最大值为（） A B 2 C D 6若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（） A 1 B 2 C 3 D 47已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（） A B C D 8已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（2x）=0；f（x2）=f（x）；当x1，1时，f（x）=；则函数y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点个数为（） A 5 B 6 C 7 D 8二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）9设全集U=nN|1n10，A=1，3，4，5，8，B=1，3，4，6，9，则AB=，（UA）B=10已知数列an满足an0，a1=，an1an=2anan1（n2，nN*），则an=，a1a2+a2a3+a99a100=11已知函数f（x）=，则ff（2）=，不等式f（x）2的解集为12如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，则cosCAD=；又若cosBAD=，sinCBA=，则BC=13如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，平面与棱AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为14已知ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是ABC的外心，且=+（R），则ABC的面积是15如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（0，tan=3），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为公里三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知点（，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx图象的一个对称中心（）求实数a的值；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值17已知四边形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将AED沿AE翻折到AED1，使得二面角D1AED的平面角的大小为（）证明：BD1AE；（）已知二面角D1ABC的平面角的余弦值为，求的大小及CD1的长18已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且，GF1F2的面积为2（）求椭圆的方程；（）直线l：y=k（x1）（k0）与椭圆相交于，两点点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线的方程19已知数列an中，a1=a（实数a为常数），a2=2，Sn是其前n项和，且Sn=数列bn是等比数列，b1=2，a4恰为S4与b21的等比中项（）证明：数列an是等差数列；（）求数列bn的通项公式；（）若c1=，当n2时cn=+，cn的前n项和为Tn，求证：对任意n2，都有12Tn6n+1320已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=2x+a（a，bR），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点（）证明：当x0时，f（x）（x+b）2；（）若不等式f（a）f（b）L（a2b2）对题设条件中的a，b总成立，求L的最小值2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a，bR，则“|a|b|成立”是“a2b2成立”的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答： 解：若|a|b|，则|a|2|b|2成立，即a2b2成立，若a2b2成立，则等价为|a|2|b|2成立，即|a|b|成立，“|a|b|成立”是“a2b2成立”的充要条件故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键2已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（） A m，nmn B m，nmn C m，n，mn D n，n考点： 平面与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答： 解：在A选项中，可能有n，故A错误；在B选项中，可能有n，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确故选：D点评： 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养3设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x1）|+g（x1），则下列结论中正确的是（） A h（x）关于（1，0）对称 B h（x）关于（1，0）对称 C h（x）关于x=1对称 D h（x）关于x=1对称考点： 奇偶性与单调性的综合专题： 函数的性质及应用分析： 运用奇偶性的定义，可得f（x）=f（x），g（x）=g（x），由h（x）=|f（x1）|+g（x1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），将x换成x，结合对称性结论，即可判断解答： 解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）=f（x），g（x）=g（x），由h（x）=|f（x1）|+g（x1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），即有h（x+1）=|f（x）|+g（x）=|f（x）|+g（x）=h（x+1），即为h（1x）=h（1+x），则h（x）的图象关于直线x=1对称故选C点评： 本题考查函数的奇偶性和对称性的判断，注意定义法的运用，同时考查运算能力，属于中档题4已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（） A 2 B 4 C 6 D 12考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由三视图判断出几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，再利用三视图的数据，求出几何体的体积解答： 解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且ABCD是直角梯形，由三视图得，ABAD，AB=AD=2，BC=4，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA平面ABCD，PA=2所以几何体的体积V=ABPA=22=4故选：B点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是准确还原几何体，并由三视图中的相关数据求出所对应的几何元素的长度，考查空间想象能力5已知，则的最大值为（） A B 2 C D 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可解答： 解：由题意可知：ABBC，CDAD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC=，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评： 本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题6若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 简单线性规划专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，根据z=x+2y的最大值为3，即可求a的值解答： 解：作出不等式表示的平面区域，如图z=x+2y的几何意义是直线纵截距的一半由，可得x=y=a，根据图形可知在（a，a）处，z=x+2y的最大值为3a+2a=3a=1故选A点评： 本题考查线性规划知识，考查求函数的最值，正确作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义是关键7已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（） A B C D 考点： 双曲线的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系由离心率公式计算即可得到解答： 解：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得=x=，y=，B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c=a，即有e=故选C点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查学生的计算能力，属于中档题8已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（2x）=0；f（x2）=f（x）；当x1，1时，f（x）=；则函数y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点个数为（） A 5 B 6 C 7 D 8考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 数形结合；函数的性质及应用分析： 由可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由可得f（x）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）在1，1的图象，再由对称性，作出f（x）在3，3的图象，同时作出y=（）|x|在3，3的图象，通过图象观察即可得到零点个数解答： 解：由f（x）+f（2x）=0可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由f（x2）=f（x）可得f（x）的图象关于直线x=1对称，作出f（x）在1，1的图象，再由对称性，作出f（x）在3，3的图象，作出函数y=（）|x|在3，3的图象，由图象观察可得它们故有5个交点，即有函数y=f（x）（）|x|在区间3，3上的零点个数为5故选A点评： 本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）9设全集U=nN|1n10，A=1，3，4，5，8，B=1，3，4，6，9，则AB=1，3，4，（UA）B=6，9考点： 交、并、补集的混合运算；交集及其运算专题： 集合分析： 根据交、并、补集的定义求出交集和补集即可解答： 解：A=1，3，4，5，8，B=1，3，4，6，9，AB=1，3，4，UA=2，5，7，8，10，（UA）B=6，9，故答案为：1，3，4，6，9点评： 本题考察了交、并、补集的运算，是一道基础题10已知数列an满足an0，a1=，an1an=2anan1（n2，nN*），则an=，a1a2+a2a3+a99a100=考点： 数列递推式专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 通过对an1an=2anan1（n2，nN*）变形可得数列是以3为首项、2为公差的等差数列，计算可得通项，再利用拆项法、并项相加即得结论解答： 解：an1an=2anan1（n2，nN*），an0，2=，又a1=，=3，数列是以3为首项、2为公差的等差数列，=3+2（n1）=2n+1，an=；anan+1=（），a1a2+a2a3+a99a100=（+）=（）=，故答案为：，点评： 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形和并项相加法是解决本题的关键，属于中档题11已知函数f（x）=，则ff（2）=34，不等式f（x）2的解集为（，10，+）考点： 其他不等式的解法；函数的值专题： 不等式的解法及应用分析： 利用分段函数的解析式，求出ff（2）的值；把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求解答： 解：根据函数f（x）=，可得f（2）=24=16，则ff（2）=f（16）=216+2=34由不等式f（x）2，可得 或解求得 x1，解求得 x0，故不等式的解集为（，10，+），故答案为：34；（，10，+）点评： 本题主要考查利用分段函数求函数的值，不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题12如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，则cosCAD=；又若cosBAD=，sinCBA=，则BC=3考点： 三角形中的几何计算专题： 解三角形分析： 由题意在ADC中应用余弦定理易得cosCAD，进而由同角三角函数基本关系可得sinCAD和sinBAD，再由和差角公式可得sinCAB，在ABC中由正弦定理可得BC=，代值计算可得解答： 解：由题意在ADC中，AD=1，CD=2，AC=，由余弦定理可得cosCAD=，sinCAD=，同理由cosBAD=可得sinBAD=，sinCAB=sin（BADCAD）=sinBADcosCADcosBADsinCAD=+=在ABC中由正弦定理可得BC=3故答案为：；3点评： 本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题13如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，平面与棱AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为2考点： 多面体和旋转体表面上的最短距离问题专题： 空间位置关系与距离分析： 将正四面体展开为平行四边形，如图形式，根据两点之间线段最短解答解答： 解：将四面体展开为平面图形，即把面ADC沿着AD翻折到与面ADB共面上来，再到面DBC沿着BC翻折到面ABC中，再反这个面沿着AB翻折到面ADB中来，（其实就是得到四面体的展开图），当E，F，G，H四点在一条直线时，四面体中，四边形EFGH周长最小，最小值为2；如图点评： 本题考查了求几何体中折线最短的问题；关键是将空间问题转化为平面问题解决14已知ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是ABC的外心，且=+（R），则ABC的面积是或考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 设AC的中点为D，根据条件和O是ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出，可得BDAC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出sinBAC，代入三角形的面积公式求出ABC的面积；当=0时，ABBC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出ABC的面积解答： 解：如图：O是ABC的外心，设AC的中点为D，=，则，即B、O、D三点共线BDAC，sinBAC=，ABC的面积S=；当=0时，此时，即ABBC，ABC的面积S=，综上可得，ABC的面积是或故答案为：或点评： 本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题15如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（0，tan=3），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为3公里考点： 三角形中的几何计算专题： 应用题；解三角形分析： 以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系设P（m，n），依题意可先求出P的坐标，设A（a，0），进而表示直线AB，OB的方程，从而可求出OA+OB，利用基本不等式，即可确定A，B的位置，最后利用余弦定理即可求解解答： 解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系设P（m，n），0，tan=3，sin则m=OPsin=，n=OPcos=由题意可得，OB=2xB，直线OB的方程为y=x设A（a，0），则直线AB的方程：联立可得，=OA+OB=a+2xB=a+=a4+4+=a4+52=9当且仅当即a=6时取等号，此时OA=6，OB=3，OAB中，由余弦定理可得，AB=故答案为：点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知点（，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx图象的一个对称中心（）求实数a的值；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的最值专题： 三角函数的图像与性质分析： （） 由题意将点的坐标代入解析式求出a；（）由（）得到f（x）的解析式，由已知区间求出（2x）的范围，利用利用正弦函数的有界性求最值解答： 解：（） 由题意得f（x）=（asinx+cosx）cosx=sin2x+cos2x（2分）f（x）关于点（，0）对称，所以f（）=0；（5分）解得a=（7分）（）f（x）=sin（2x）；（9分）设a=2x+，则a；（11分）f（x）min=f（）=；（13分）f（x）max=f（）=1（15分）点评： 本题考查了三角函数的化简以及利用正弦函数的性质求sin（2x）；的最值17已知四边形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将AED沿AE翻折到AED1，使得二面角D1AED的平面角的大小为（）证明：BD1AE；（）已知二面角D1ABC的平面角的余弦值为，求的大小及CD1的长考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取AE中点H，通过AD1=AE=D1E、AB=AE=BE，及线面垂直的判定定理与性质定理即得结论；（）以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系，通过平面ABD1的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值为，即得结论解答： （）证明：取AE中点H，AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，D1HAE，BHAE，AE平面HBD1，AEBD1；（）解：以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，0），D1（0，cos，sin），=（1，0），=（0，cos，sin），设平面ABD1的法向量为=（x，y，z），则=，=（cos）y+（sin）z=0，=（sin，sin，1+cos），同理可得平面ABC的一个法向量=（0，0，1），二面角D1ABC的平面角的余弦值为，=，解得=，CD1=点评： 本题考查空间中线线垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题18已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且，GF1F2的面积为2（）求椭圆的方程；（）直线l：y=k（x1）（k0）与椭圆相交于，两点点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题： 向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、=0及GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；（）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线的方程可求解答： 解：（）椭圆+=1（ab0）的离心率为，e=，左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，|+|=2a，=0，GF1F2的面积为2，|2+|2=4c2，联立，得a2=4，b2=2，椭圆C的方程为；（）联立，得（1+2k2）x24k2x+2k24=0设A（x1，y1），B（x2，y2），=，当且仅当时，取得最值此时l：y=点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题19已知数列an中，a1=a（实数a为常数），a2=2，Sn是其前n项和，且Sn=数列bn是等比数列，b1=2，a4恰为S4与b21的等比中项（）证明：数列an是等差数列；（）求数列bn的通项公式；（）若c1=，当n2时cn=+，cn的前n项和为Tn，求证：对任意n2，都有12Tn6n+13考点： 数列的求和；等差关系的确定专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析： （）当n=1可得a1=a=0，进而有Sn=，当n2时利用累乘法可得an=a2=2（n1），即得结论；（）设等比数列bn的公比为q，则bn=2qn1，利用a4恰为S4与b21的等比中项可得公比q=2，进而可得结论；（）利用放缩法可得cn，进而有Tn，即得结论解答： （）证明：令n=1可得a1=S1=0，即a=0所以Sn=当n2时an=SnSn1=，可得（n2）