高中数学 第1章 解三角形 1.2 余弦定理课件 苏教版必修5.ppt

1 2余弦定理 目标导航 预习引导 目标导航 预习引导 1 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 即a2 b2 c2 2bccosa b2 a2 c2 2accosb c2 a2 b2 2abcosc 预习交流1在 abc中 当a为直角 锐角 钝角时 三边有什么关系 提示 当a为直角时 cosa 0 a2 b2 c2 当a为锐角时 cosa 0 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosab2 c2 目标导航 预习引导 2 定理的变形b2 c2 a2 2bccosa a2 c2 b2 2accosb a2 b2 c2 2abcosc 预习交流2在解三角形的过程中 求某一个角有时既可以用余弦定理 也可以用正弦定理 两种方案有什么利弊呢 提示 用余弦定理求角时 运算量较大 但角与余弦值是一一对应的 无须讨论 而用正弦定理求角时 运算量较小 但由于在区间 0 上角与正弦值不是一一对应的 一般情况下一个正弦值可对应两个角 往往要依据角的范围讨论解的情况 目标导航 预习引导 3 余弦定理的应用利用余弦定理可解决以下两类解斜三角形问题 1 已知三边 求三个角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 一 二 三 一 余弦定理的简单应用活动与探究例1在 abc中 已知b 3 c b 30 求a c和a 思路分析 题目已知两边和一边的对角 要求另一边和其他两角 可首先由正弦定理求出c 然后再求其他的边和角 亦可由余弦定理列出关于a的方程 首先求出a 再由正弦定理求a c 一 二 三 一 二 三 迁移与应用1 已知 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且a 7 b 5 c 3 则 abc的内角中最大的角是 答案 120 解析 易知角a最大 a 120 一 二 三 一 二 三 名师点津 1 理论依据 在余弦定理中 每一个等式均含有四个量 三边一角 利用方程的观点 可以知三求一 2 题型分类 两边的夹角 两边中一边的对角 3 解题方法 若是已知两边及其夹角 可以由余弦定理求第三边 若是已知两边及其中一边的对角 可以应用余弦定理建立一元二次方程 解方程求出第三边 也可以两次应用正弦定理求出第三边 一 二 三 二 利用余弦定理判断三角形的形状活动与探究例2在 abc中 已知 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断该三角形的形状 思路分析 处理此类问题一般先用三角公式对条件进行化简 再用正弦或余弦定理变形判断 一 二 三 解 解法一 由已知得a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理 得sin2acosasinb sin2bcosbsina sinasinb sinacosa sinbcosb 0 sin2a sin2b 由0 2a 2 0 2b 2 即 abc是等腰三角形或直角三角形 解法二 同上可得2a2cosasinb 2b2cosbsina a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 c2 a2 b2 0 a b或c2 a2 b2 三角形abc为等腰三角形或直角三角形 一 二 三 迁移与应用1 在 abc中 若acosb bcosa 则 abc的形状是三角形 答案 等腰解析 方法一 由余弦定理 即a2 c2 b2 b2 c2 a2 从而a b 方法二 由正弦定理 得asinb bsina 从而tana tanb 故a b 方法三 2rsinacosb 2rsinbcosa 则sin a b 0 故a b 一 二 三 2 在 abc中 若已知 a b c a b c 3ab 并且sinc 2sinbcosa 试判断 abc的形状 一 二 三 名师点津判断三角形的形状特征 必须从研究三角形边与边的关系 或角与角的关系入手 充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化 由三角形的边或角的代数运算或三角运算 探寻出边与边或角与角的关系 从而作出正确判断 在三角形中 有一个角的余弦值为负值 该三角形为钝角三角形 有一个角的余弦值为零 该三角形为直角三角形 三个角的余弦值都为正值 该三角形便是锐角三角形 一 二 三 三 余弦定理的综合应用活动与探究例3在 abc中 已知a b c 且a 2c b 4 a c 8 求a c的长 一 二 三 一 二 三 迁移与应用1 已知 abc的三内角a b c所对的边分别为a b c 设向量p a c b q b a c a 若p q 则c的大小为 一 二 三 一 二 三 名师点津对余弦定理的考查常常与正弦定理 三角函数 函数 方程及向量等知识相结合 具有一定的综合性 解题的关键是从 统一 着眼 或统一化为角 利用三角函数知识作三角变形 或统一成边 作代数变形 也可统一化为面积问题 建立相应方程或函数关系 使问题得以解决 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 3 已知三角形三边的比为2 3 4 则三角形的形状为三角形 填 锐角 直角 或 钝角 答案 钝角解析 由题设 记a 2k b 3k c 4k k 0 2 3 4 5 1 6