高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程课件 理.ppt

第八节函数与方程 1 函数的零点的概念对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 2 函数零点与方程根的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 3 函数零点的判断 1 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 的图象与零点的关系 a 3 有关函数零点常见的结论 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号也可能不变号 4 二分法的概念对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 5 用二分法求函数f x 零点近似值的步聚 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 6 常用的数学方法与思想函数零点个数的判断方法 函数与方程 转化与化归 数形结合思想 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 1 2 若函数y f x x d在区间 a b d内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 2 3 函数y f x 在区间 a b 内单调 且f a f b 0 则在区间 a b 内有且仅有一个零点 3 2 2015 安徽高考 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 12 a 解析 y cosx是偶函数且有无数多个零点 y sinx为奇函数 y lnx既不是奇函数也不是偶函数 y x2 1是偶函数 但没有零点 3 方程2 x x2 3的实数解的个数为 a 2b 3c 1d 43 a 解析 构造函数y 2 x与y 3 x2 在同一坐标系中作出它们的图象 可知有两个交点 故方程2 x x2 3的实数解的个数为2 4 若函数f x 2x m存在零点 则m的取值范围是 4 0 解析 由于y 2x在x轴上方 当x越小时 图象越接近y轴 所以m 0 时图象与x轴有且仅有一个交点 故m的取值范围是 0 解题思路 函数y x2和y x3的交点为 0 0 1 1 函数g x f x b有两个零点 则f x b 0有两个根 即直线y b与y f x 有两个交点 作出y x2与y x3的图象 如图 1 观察图象 可知当a1时 存在实数b使f x b 0有两个根 如图 3 当0 a 1时 f x b 0只有一个根或无根 如图 4 综上 当a1时 g x f x b有两个零点 参考答案 0 1 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 变式训练 2015 福州八中质检 对于函数f x x2 mx n 若f a 0 f b 0 则函数f x 在区间 a b 内 a 一定有零点b 一定没有零点c 可能有两个零点d 至多有一个零点c 解析 由于函数f x x2 mx n 图象开口向上 当 m2 4n 0时 图象与x轴有两个交点 结合题干条件知选项c正确 命题角度2 利用函数的零点研究函数的根的大小或方程 不等式 的解典例4已知函数f x x a x b 2 a b 若 是方程f x 0的两个根 则实数a b 之间的大小关系是 a a b b a bc a b d a b 解题思路 利用g x x a x b 的零点为a b 作出图象 利用平移变换 数形结合思想考查 令g x x a x b 显然函数g x x a x b 的两个零点是a b 而函数f x x a x b 2的两个零点是 又函数f x 的图象是将函数g x x a x b 图象向上平移2个单位得到 因此数形结合易知a b 参考答案 b 变式训练 1 设函数f x ex x 2 g x lnx x2 3 若实数a b满足f a 0 g b 0 则 a 00 f a 0 由零点的存在性定理知 a 0 1 同理可知 b 1 2 由于函数f x 和g x 都在定义域上单调递增 则g a f 1 e 1 0 于是有g a 0 f b 分类讨论思想在函数零点问题中的应用分类讨论思想在解决函数的零点与定区间的关系中起关键作用 这也是学生最易出错的地方 典例 2014 天津高考 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围为 解题思路 方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 即函数y f x y a x 1 恰有4个互异的交点 当a0 当y a x 1 与y x2 3x的图象相切时 方程x2 3x a x 1 即x2 3 a x a 0有两个相等的根 所以 3 a 2 4a 0 解得a 1 舍去 或9 所以当a 9时满足题意 当y a x 1 与y x2